二面角平面角求法

1、二面角教學(xué)目的：1. 掌握二面角 的概念。2.掌握二面角的一般作法。3.熟練掌握二面角的求解方法。4.能在復(fù)雜圖形中找到二面角。5.提高空間想象能力和綜合解題能力返回主頁二面角的定義二面角的定義從空間一直線出發(fā)的從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。圖形叫做二面角。二面角二面角返回主頁這條直線叫做二面角的棱二面角的棱，每個半平面叫做二面角的二面角的面面記作l二面角的平面角的定義二面角的平面角的定義 以二面角的以二面角的棱棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)兩個面內(nèi)分別作分別作垂直垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角

2、角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角的三個特征二面角的平面角的三個特征: :1.點(diǎn)在棱上點(diǎn)在棱上2.邊在面內(nèi)邊在面內(nèi)3.邊與棱垂直邊與棱垂直AOBl二面角的平面角范圍二面角的平面角范圍：001800點(diǎn)點(diǎn)P在棱上在棱上AB定義法定義法二面角p返回主頁講解例題常見的圖形例例1.1.如圖，已知如圖，已知P P是二面角是二面角-ABAB-棱上一點(diǎn)，過棱上一點(diǎn)，過P P分分別 在別 在 、 內(nèi) 引 射 線內(nèi) 引 射 線P MP M 、 P NP N， 且， 且 M P N = 6 0 M P N = 6 0 BPM=BPN=45BPM=BPN=45 ，求此二面

3、角的度數(shù)。，求此二面角的度數(shù)。ABPMNCDO解解：在PB上取不同于P 的一點(diǎn)O，在內(nèi)過O作OCAB交PM于C，在內(nèi)作ODAB交PN于D，連CD，可得COD是二面角-AB-的平面角設(shè)PO = a ，BPM =BPN = 45CO=a， DO=a， PC a ， PD a22又MPN=60 CD=PC a2COD=90因此，二面角的度數(shù)為因此，二面角的度數(shù)為90aOPC二面角返回主頁.23大小的，求二面角，且，的三個側(cè)面與底面全等已知三棱錐ABCDBCACABABCDO90垂面法垂面法點(diǎn)點(diǎn)P在二面角內(nèi)在二面角內(nèi)ABO二面角p返回主頁講解例題常見的圖形例例2 2如圖如圖P P為二面角為二面角 內(nèi)一

4、點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，PA,PBPA,PB,且且PA=5PA=5，PB=8PB=8，AB=7AB=7，求這二面角的度數(shù)。，求這二面角的度數(shù)。 過過PA、PB的平面的平面PAB與與 棱棱 交于交于O點(diǎn)點(diǎn)PA PA PB PB 平面PABAOB為二面角的平面角又PA=5，PB=8，AB=721cosP由余弦定理得由余弦定理得P= 60 AOB=120 這二面角的度數(shù)為這二面角的度數(shù)為120解：解：ABPO二面角返回主頁0120,10,.PaPPa變式： 為的二面角內(nèi)一點(diǎn)到 和 的距離均為 求 到棱 的距離aPNMO三垂線法三垂線法點(diǎn)點(diǎn)P在一個半平面上在一個半平面上pAB返回主頁講解例題常見的圖形OABPC取

5、取AB 的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為E，連連PE，OEO為為 AC 中點(diǎn)中點(diǎn)， ABC=90OEBC且且 OE BC212221在RtPOE中， OE ，PO 22tanPEO22所求的二面角所求的二面角P-AB-C 的正切值為的正切值為例例3 3如圖，三棱錐如圖，三棱錐P-ABCP-ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC上的射影上的射影是底面是底面RtRtABCABC斜邊斜邊ACAC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O O，若，若PB=AB=1PB=AB=1，BC= BC= ，求二面角，求二面角P-AB-CP-AB-C的正切值的正切值。2PEO為二面角為二面角P-AB-C 的平面角的平面角23在在RtPBE中中，B

6、E ，PB=1，PE21OEAB ，因此因此 PEABE解：解：EOP二面角返回主頁ABCOcos =SS射三角形ABC在平面N內(nèi)的射影為BCO 三角形ABC的面積為S，三角形BCO的面積為S射面積法面積法返回主頁講解例題常見的圖形例4、如圖，設(shè)E為正方體的邊CC1的中點(diǎn)，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。 AB1E在底面A1B1C1D1上的射影為A1B1C1，故這兩個平面所成二面角的余弦值為 321111EABCBASSABCDA1B1C1D1E返回主頁M二面角的求法總結(jié)二面角的求法總結(jié)定義法是選擇一個平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個面的一個定義法是選擇一個平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個

7、面的一個頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個面內(nèi)作棱的垂線。頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個面內(nèi)作棱的垂線。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計算，不是此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計算，不是我們首選的方法。我們首選的方法。三垂線法是從一個平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個面的一個三垂線法是從一個平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個面的一個頂點(diǎn)）向另一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這頂點(diǎn)）向另一個面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這個點(diǎn)和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，計個點(diǎn)和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，計算簡便，所以我們常用此法。算簡便，所以我們常用此法。垂面法需在二面角之間找一點(diǎn)向兩面作垂線，因?yàn)檫@垂面法需在二面角之間找一點(diǎn)向兩面作垂線，因?yàn)檫@一點(diǎn)不好選擇，所以此法一般不用。一點(diǎn)不好選擇，所以此法一般不用。以上三種方法作平面角都需寫出作法、證明、指出平面角。以上三種方法作平面角都需寫出作法、證明、指出平面角。射影法是在不易作出平面角時用。在解答題中要先證明射射影法是在不易作出平面角時用。在解答題中要先證明射影面積公式，然后指出平面的垂線，射影關(guān)系，再用公式影面積公式，然后指出平面的垂線，射影關(guān)系，再用公式, ,這種方法雖然