chapt(扭轉(zhuǎn))材料力學(xué)

1、第五節(jié)第五節(jié) 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形、剛度計算等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形、剛度計算第一節(jié)第一節(jié) 概述概述第二節(jié)第二節(jié) 傳動軸的外力偶矩、扭矩及扭矩圖傳動軸的外力偶矩、扭矩及扭矩圖第三節(jié)第三節(jié) 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)第四節(jié)第四節(jié) 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力、強度條件等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力、強度條件ABABj jg gmmg g：剪切角：剪切角g g( (剪應(yīng)變剪應(yīng)變)j j：相對扭轉(zhuǎn)角：相對扭轉(zhuǎn)角外力偶作用平面和桿件橫截面平行外力偶作用平面和桿件橫截面平行第一節(jié)第一節(jié) 概概 述述R0 -薄壁圓筒薄壁圓筒規(guī)定：規(guī)定：矢量方向與橫截面外矢量方向與橫截面外法線方向一致的扭矩為正法線方向一致的扭矩為正mm

2、0R第二節(jié)第二節(jié) 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)mT11扭矩扭矩切應(yīng)力切應(yīng)力對應(yīng)對應(yīng)扭轉(zhuǎn)實驗前扭轉(zhuǎn)實驗前平面假設(shè)平面假設(shè)成立成立相鄰截面繞軸線作相對轉(zhuǎn)動相鄰截面繞軸線作相對轉(zhuǎn)動橫截面上各點的剪（切）應(yīng)橫截面上各點的剪（切）應(yīng)力的方向必與圓周線相切。力的方向必與圓周線相切。縱線縱線圓周線圓周線扭轉(zhuǎn)實驗后扭轉(zhuǎn)實驗后結(jié)論結(jié)論eMr 0AdA得：得：02AMe其中：其中：200rAMer0 xdA由幾何關(guān)系知：由幾何關(guān)系知：lr /ggG剪切胡克定律剪切胡克定律（線彈性范圍適用）（線彈性范圍適用）OT TO另外有另外有：）（12EGG為材料的剪切彈性模量為材料的剪切彈性模量 一一、傳動軸上的外力偶矩、傳

3、動軸上的外力偶矩第三節(jié)第三節(jié) 傳動軸的外力偶矩、扭矩及扭矩圖傳動軸的外力偶矩、扭矩及扭矩圖轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速：n(轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分分)輸入功率輸入功率：P(kW)T1分鐘輸入功：分鐘輸入功：PPW600001000601分鐘分鐘me作功作功eeenMnMMW2) 12(WW )(9550mNnPMe 例例一一 傳動軸如圖所示，主動輪傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率輸入功率PA=50kW，從，從動輪動輪B、C、D輸出功率分別為輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的，軸的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n=300r/min，計算各輪上所受的外力偶矩。，計算各輪上所受的外力偶矩。 MAMBMCBCADMD解：解：計算外力偶

4、矩計算外力偶矩mN6379550mN5 .4779550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA 二二、扭矩及扭矩圖、扭矩及扭矩圖 1.橫截面上的內(nèi)力：橫截面上的內(nèi)力：扭矩扭矩(T) 2.扭矩圖扭矩圖：與軸力圖作法完全相同：與軸力圖作法完全相同(縱坐標(biāo)改為扭矩大小縱坐標(biāo)改為扭矩大小)。例二例二 計算例一中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。計算例一中所示軸的扭矩，并作扭矩圖。MAMBMCBCADMD解：已知解：已知mN637mN5 .477mN1592DCBAMMMM477.5Nm955Nm637NmT+-作扭矩圖如左圖示。作扭矩圖如左圖示。abdxabTT 一一、橫截面上的應(yīng)力、橫截面上

5、的應(yīng)力1、變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系第四節(jié)第四節(jié) 等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 強度條件強度條件xddjgg gMeMedxO2jdg g g g 2、物理關(guān)系物理關(guān)系(剪切虎克定律剪切虎克定律)xGGddjggGOr3、力學(xué)關(guān)系力學(xué)關(guān)系p2ddddIxGdAxGdATAAjj極慣性矩極慣性矩AdAI2pdAdA：點到截面形心的距離：橫截面上的扭矩TITptWTITrpmaxrIWpp應(yīng)力公式應(yīng)力公式1)橫截面上任意點：橫截面上任意點：2)橫截面邊緣點：橫截面邊緣點：其中：其中：maxd/2OT抗扭截面模量抗扭截面模量324pdI163pdW()1 (32324444pDdDI)

6、1 (1643pDWmaxD/2OTd/2空心圓空心圓實心圓實心圓 二二、斜截面上的應(yīng)力、斜截面上的應(yīng)力單元體單元體：微小的正六面體：微小的正六面體o dydzdxxyz 在扭轉(zhuǎn)時，左右兩側(cè)面（桿的橫截在扭轉(zhuǎn)時，左右兩側(cè)面（桿的橫截面）上只有切應(yīng)力，方向與面）上只有切應(yīng)力，方向與y軸平行，軸平行，前后無應(yīng)力。前后無應(yīng)力。由平衡知：由平衡知：= 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理：兩個：兩個 相互垂直平面上的剪應(yīng)力相互垂直平面上的剪應(yīng)力和和數(shù)值數(shù)值相等，且都指向（或背離）該兩平面的交線。相等，且都指向（或背離）該兩平面的交線。注意注意：上述定理具有普遍意義，在有正應(yīng)力的情況下同樣成立。：上述定理具有普

7、遍意義，在有正應(yīng)力的情況下同樣成立。 純剪切狀態(tài)純剪切狀態(tài)：單元體在其兩對互相垂直的平面上只有剪應(yīng)：單元體在其兩對互相垂直的平面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力的狀態(tài)。（其前后兩面上無任何應(yīng)力）力而無正應(yīng)力的狀態(tài)。（其前后兩面上無任何應(yīng)力） abxn (0sinsindcoscosdd0cossindsincosddAAAtAAAn得：得：2cos2sin0045min45max，低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞低碳鋼扭轉(zhuǎn)破壞鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞鑄鐵扭轉(zhuǎn)破壞 三三、強度條件、強度條件強度條件強度條件： ， 許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力；pmaxmaWTx 軸扭轉(zhuǎn)時，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點處于軸扭轉(zhuǎn)時，其表層即最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力作用點處

8、于純剪切狀純剪切狀態(tài)態(tài)，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。，所以，扭轉(zhuǎn)許用切應(yīng)力也可利用上述關(guān)系確定。根據(jù)強度條件可進行：根據(jù)強度條件可進行：強度校核強度校核; 選擇截面選擇截面; 計算許可荷載。計算許可荷載。 理論與試驗研究均表明，材料純剪切時的許用切應(yīng)力理論與試驗研究均表明，材料純剪切時的許用切應(yīng)力 與與許用正應(yīng)力許用正應(yīng)力之間存在下述關(guān)系：之間存在下述關(guān)系：對于塑性材料對于塑性材料 (0.5一一0.577) 對于脆性材料，對于脆性材料， (0.81.0) l 式中，式中， l代表許用拉應(yīng)力。代表許用拉應(yīng)力。 例例三三 某汽車主傳動軸鋼管外徑某汽車主傳動軸鋼管外徑D=76mm，壁厚

9、，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩，傳遞扭矩T=1.98kNm， =100MPa，試校核軸的強度。，試校核軸的強度。 33pp4444p103 .202/101 .77)1 (32mmDIWmmDI5 .97PMPaWTmaxmax解解：計算截面參數(shù)：計算截面參數(shù)： 由強度條件：由強度條件：故軸的強度滿足要求。故軸的強度滿足要求。 同樣強度下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分之一，故同樣強度下，空心軸使用材料僅為實心軸的三分之一，故空心軸空心軸較實心軸合理較實心軸合理。 MPadWTmaxmax5 .9716/1098. 133p(31334. 044)2(222dtDDAA實空MPa5 .97ma

10、x 若將空心軸改成實心軸，仍使若將空心軸改成實心軸，仍使，則，則由上式解出：由上式解出：d=46.9mm?？招妮S與實心軸的截面空心軸與實心軸的截面面積比面積比(重量比重量比)為：為： 一、扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形計算目的計算目的：剛度計算、為解超靜定問題作準(zhǔn)備。：剛度計算、為解超靜定問題作準(zhǔn)備。llxGIT0pddjj相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角：GIp抗扭剛度抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強弱表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強弱。II、剛度條件剛度條件180maxmaxGIT 其中：其中： 許用扭轉(zhuǎn)角，許用扭轉(zhuǎn)角，取值可根據(jù)有關(guān)設(shè)計標(biāo)淮或規(guī)范取值可根據(jù)有關(guān)設(shè)計標(biāo)淮或規(guī)范確定。確定。第五節(jié)第五節(jié) 等直

11、圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形 剛度條件剛度條件單位長度的扭轉(zhuǎn)角單位長度的扭轉(zhuǎn)角：pddGITxj 例四例四 圖示圓截面軸圖示圓截面軸AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA， MB與與MC 作用，作用，試計算該軸的總扭轉(zhuǎn)角試計算該軸的總扭轉(zhuǎn)角AC(即截面即截面C對截面對截面A的相對轉(zhuǎn)角的相對轉(zhuǎn)角)，并校核軸，并校核軸的剛度。的剛度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解： 1扭轉(zhuǎn)變形分析扭轉(zhuǎn)變形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段段BC段的扭矩分別為：段的扭矩分別為：T1180 Nm， T2-140 Nm設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為設(shè)其扭轉(zhuǎn)角分別為AB和和BC，則：，則：rad1050. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBCCmBmAmll 各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。各段軸的扭轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，由相應(yīng)扭矩的轉(zhuǎn)向而定。 由此得軸由此得軸AC的總扭轉(zhuǎn)角為的總扭轉(zhuǎn)角為rad100.33rad101.17-rad1050.