第五章 樣本均值的區(qū)間估計(jì)

1、樣本均值的抽樣分布11.所有樣本指標(biāo)（如均值、比例、方差等）所形成的分布稱為抽樣分布2.是一種理論概率分布3.隨機(jī)變量是 樣本統(tǒng)計(jì)量樣本均值, 樣本比例等4.結(jié)果來(lái)自容量相同的所有可能樣本抽樣分布（概念要點(diǎn)）2樣本均值的抽樣分布（一個(gè)例子）3樣本均值的抽樣分布 （一個(gè)例子）3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n = 2 的樣本（共16個(gè)）4樣本均值的抽樣分布 （一個(gè)例子）3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二

2、個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值16個(gè)樣本的均值（x）5所有樣本均值的均值和方差式中：式中：M為樣本數(shù)目為樣本數(shù)目比較及結(jié)論：比較及結(jié)論：1. 樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值 2. 樣本均值的方差等于總體方差的樣本均值的方差等于總體方差的1/n6樣本均值的分布與總體分布的比較7樣本均值的抽樣分布與中心極限定理X8中心極限定理（圖示）9樣本方差的抽樣分布10樣本方差的分布11卡方 (c2) 分布 選擇容量為選擇容量為n 的的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本計(jì)算樣本方差計(jì)算樣本方差S2計(jì)算卡方值計(jì)算卡方值c c2 = (n-1)S2/2計(jì)算出所有的計(jì)算出所有的c c 2值

3、值總體總體21211niixxnS12均值的標(biāo)準(zhǔn)差1. 所有可能的樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，測(cè)度所有樣本均值的離散程度2. 小于總體標(biāo)準(zhǔn)差3. 計(jì)算公式為13T 統(tǒng)計(jì)量的分布14T 統(tǒng)計(jì)量的分布15第二節(jié)第二節(jié) 參數(shù)估計(jì)基本方法參數(shù)估計(jì)基本方法一一. . 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)二二. . 點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則三三. . 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)16參數(shù)估計(jì)的方法估估 計(jì)計(jì) 方方 法法點(diǎn)點(diǎn) 估估 計(jì)計(jì)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)17被估計(jì)的總體參數(shù)總體參數(shù)符號(hào)表示用于估計(jì)的樣本統(tǒng)計(jì)量一個(gè)總體均值均值比例比例方差方差兩個(gè)總體均值之差均值之差比例之差比例之差方差比方差比x18點(diǎn) 估 計(jì)19點(diǎn)估計(jì)1. 從總體中抽取一個(gè)樣本

4、，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體的未知參數(shù)作出一個(gè)數(shù)值點(diǎn)的估計(jì)例如: 用樣本均值作為總體未知均值的估計(jì)值就是一個(gè)點(diǎn)估計(jì)2.點(diǎn)估計(jì)沒(méi)有給出估計(jì)值接近總體未知參數(shù)程度的信息3. 點(diǎn)估計(jì)的方法有矩估計(jì)法、順序統(tǒng)計(jì)量法、最大似然法、最小二乘法等201.用于估計(jì)總體某一參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比例、樣本中位數(shù)等例如: 樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量如果樣本均值 x = 3 ，則 3 就是的估計(jì)值2. 理論基礎(chǔ)是抽樣分布估計(jì)量21估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則（無(wú)偏性）無(wú)偏性：估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體數(shù)22估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則（有效性）有效性：一個(gè)方差較小的無(wú)偏估計(jì)量稱為一個(gè)更有效性：一個(gè)方差較小的無(wú)偏估計(jì)量

5、稱為一個(gè)更 有效的估計(jì)量。如，與其他估計(jì)量相比，樣本均值有效的估計(jì)量。如，與其他估計(jì)量相比，樣本均值是一個(gè)更有效的估計(jì)量是一個(gè)更有效的估計(jì)量23估計(jì)量的優(yōu)良性準(zhǔn)則（一致性）一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)24區(qū)間估計(jì)25區(qū)間估計(jì)1.根據(jù)一個(gè)樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計(jì)范圍給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的概率例如: 總體均值落在5070之間，置信度為 95%26置信區(qū)間估計(jì) 2 2 已知已知 2 2 未知未知 均均 值值方方 差差比比 例例置置 信信 區(qū)區(qū) 間間27落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本281. 總體未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率2. 表示為 (1 - 為顯著性水平，是總

6、體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率 3. 常用的顯著性水平值有 99%, 95%, 90%相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.10置信水平 29區(qū)間與置信水平 1 - /2 /230影響區(qū)間寬度的因素1. 數(shù)據(jù)的離散程度，用 來(lái)測(cè)度2. 樣本容量，3. 置信水平 (1 - )，影響 Z 的大小31第三節(jié)第三節(jié) 總體均值和總體比例總體均值和總體比例 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)一.一.總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)二.二.總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)三.三.樣本容量的確定樣本容量的確定32總體均值的區(qū)間估計(jì) (已知)33總體均值的置信區(qū)間 ( 已知)1.假定條件總體服從正態(tài)分布,且總體方差（）已知如果不

7、是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來(lái)近似 (n 30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量3. 總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為34總體均值的區(qū)間估計(jì)（正態(tài)總體：實(shí)例）【例例】某種零件某種零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品布，從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件中隨機(jī)抽取件，測(cè)得其平均長(zhǎng)，測(cè)得其平均長(zhǎng)度為度為21.4 mm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差已知總體標(biāo)準(zhǔn)差 =0.15mm，試，試建立該種零件平建立該種零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，給定置信水間，給定置信水平為平為0.95。35總體均值的區(qū)間估計(jì)（非正態(tài)總體：實(shí)例）【例例】某大學(xué)從該某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取校學(xué)生中隨機(jī)抽取1

8、00人，調(diào)查到他人，調(diào)查到他們平均每天參加體們平均每天參加體育鍛煉的時(shí)間為育鍛煉的時(shí)間為26分鐘。試以分鐘。試以95的的置信水平估計(jì)該大置信水平估計(jì)該大學(xué)全體學(xué)生平均每學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的天參加體育鍛煉的時(shí)間（已知總體方時(shí)間（已知總體方差為差為36小時(shí)）。小時(shí)）。36總體均值的區(qū)間估計(jì) (未知)37總體均值的置信區(qū)間 ( 未知)1.假定條件總體方差（）未知總體必須服從正態(tài)分布2.使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量3. 3. 總體均值總體均值 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為38總體均值的區(qū)間估計(jì)（實(shí)例）【例】從一個(gè)正態(tài)總體中抽取一個(gè)隨機(jī)樣本， n = 25 ，其均值x

9、= 50 ，標(biāo)準(zhǔn)差 s = 8。 建立總體均值m 的95%的置信區(qū)間。39總體比例的區(qū)間估計(jì)40總體比例的置信區(qū)間1.假定條件兩類結(jié)果總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量3. 3. 總體比例總體比例 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為41總體比例的置信區(qū)間（實(shí)例） 【例例】某企業(yè)在一項(xiàng)某企業(yè)在一項(xiàng)關(guān)于職工流動(dòng)原因的關(guān)于職工流動(dòng)原因的研究中，從該企業(yè)前研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機(jī)選職工的總體中隨機(jī)選取了取了200人組成一個(gè)人組成一個(gè)樣本。在對(duì)其進(jìn)行訪樣本。在對(duì)其進(jìn)行訪問(wèn)時(shí)，有問(wèn)時(shí)，有140人說(shuō)他人說(shuō)他們離開(kāi)該企業(yè)是由于們離開(kāi)該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽同管理人員不能融洽相處。

10、試對(duì)由于這種相處。試對(duì)由于這種原因而離開(kāi)該企業(yè)的原因而離開(kāi)該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。42樣本容量的確定43估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定 44樣本容量的確定（實(shí)例）解解: :已知2=1800000，=0.05， Z/2=1.96，=500 應(yīng)抽取的樣本容量應(yīng)抽取的樣本容量為為【例例】一家廣告公一家廣告公想估計(jì)某類商店去想估計(jì)某類商店去年所花的平均廣告年所花的平均廣告費(fèi)用有多少。經(jīng)驗(yàn)費(fèi)用有多少。經(jīng)驗(yàn)表明，總體方差約表明，總體方差約為為18000001800000元。如置元。如置信度取信度取95%95%，并要使，并要使估計(jì)處在總體平均估計(jì)處在總體平均值附近值附近500500元的范圍元的范圍內(nèi)，這家廣告公司內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)抽多大的樣本？應(yīng)抽多大的樣本？451. 根據(jù)比例區(qū)間估計(jì)公式可得樣本容量n為估計(jì)總體比例時(shí)樣本容量的確定 2. 若總體比例P未知時(shí)，可用樣本比例 來(lái)代替 46樣本容量的確定（實(shí)例）【例】一家市場(chǎng)調(diào)研公司想估計(jì)某地區(qū)有彩色電視機(jī)的家庭所占的比例。該公司希望對(duì)比例p的估計(jì)誤差不