連續(xù)時間傅立葉變換講義

1、本本章的主要內(nèi)容章的主要內(nèi)容: :1. 連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換;2. 傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系傅立葉級數(shù)與傅立葉變換之間的關(guān)系;3. 傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì);4. 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析；系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析； 在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號是非周在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號是非周期信號，對非周期信號應(yīng)該如何進(jìn)行分解，期信號，對非周期信號應(yīng)該如何進(jìn)行分解，什么是非周期信號的頻譜表示，線性時不什么是非周期信號的頻譜表示，線性時不變系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)如何求得，就變系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)如何求得，就是這一章要解決的問題。是這一章要解決的問題。4.0

2、 引言引言 Introduction 在時域可以看到，如果一個周期信號的周期趨于無在時域可以看到，如果一個周期信號的周期趨于無窮大，則周期信號將演變成一個非周期信號；反過來，窮大，則周期信號將演變成一個非周期信號；反過來，如果將任何非周期信號進(jìn)行周期性延拓，就一定能形如果將任何非周期信號進(jìn)行周期性延拓，就一定能形成一個周期信號。成一個周期信號。 我們把非周期信號看成是周期信號在周期趨于無窮大我們把非周期信號看成是周期信號在周期趨于無窮大時的極限，從而考查連續(xù)時間傅立葉級數(shù)在時的極限，從而考查連續(xù)時間傅立葉級數(shù)在 T趨于無趨于無窮大時的變化，就應(yīng)該能夠得到對非周期信號的窮大時的變化，就應(yīng)該能夠得

3、到對非周期信號的頻域表示方法。頻域表示方法。4.1 非周期信號的表示非周期信號的表示連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換Representation of Aperiodic Signals: The Continuous-Time Fourier Transform一一. .從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換從傅立葉級數(shù)到傅立葉變換 我們已經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當(dāng)周期我們已經(jīng)看到，周期性矩形脈沖，當(dāng)周期 增大時，頻譜的幅度隨增大時，頻譜的幅度隨 的增大而下降；譜線的增大而下降；譜線間隔隨間隔隨 的增大而減小；但頻譜的包絡(luò)不變。的增大而減??；但頻譜的包絡(luò)不變。0T0T0T再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖

4、：再次考察周期性矩形脈沖的頻譜圖： 當(dāng)當(dāng) 時，周期性矩形脈沖信號將演變成為時，周期性矩形脈沖信號將演變成為非周期的單個矩形脈沖信號。非周期的單個矩形脈沖信號。 0T （a）（b）(a)014TT(b) 0ka0202ka14140018TT012 由于由于 也隨也隨 增大而減小，并最增大而減小，并最終趨于終趨于0 0，考查，考查 的變化，它在的變化，它在 時應(yīng)該時應(yīng)該是有限的。是有限的。0 1100 1sin2kkTTaTkT0T0kT a0T 于是，我們推斷出于是，我們推斷出: :當(dāng)當(dāng) 時，離散的頻譜將時，離散的頻譜將演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。演變?yōu)檫B續(xù)的頻譜。0T 000/20/2( )Tjktk

5、TT ax t edt由由當(dāng)當(dāng) 時時, ,0T 002,dT0,k()( )j tX jx t edt00lim()kTTaX j如果令如果令則有則有001()kaX jkT與周期信號傅立葉級數(shù)對比有：與周期信號傅立葉級數(shù)對比有： 這表明這表明: :周期信號的頻譜就是與它相對應(yīng)的非周期信號周期信號的頻譜就是與它相對應(yīng)的非周期信號頻譜的樣本。頻譜的樣本。根據(jù)傅立葉級數(shù)表示：根據(jù)傅立葉級數(shù)表示： 000000011( )()()2jktjktjktkkkkx ta eX jkeX jkeT連續(xù)時間傅立葉變換連續(xù)時間傅立葉變換當(dāng)當(dāng)0T 時，時，( )( ),x tx t002,dT0k于是有：于是有

6、：1( )()2j tx tX jed傅立葉反變換傅立葉反變換 此式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多個頻率此式表明，非周期信號可以分解成無數(shù)多個頻率連續(xù)分布、振幅為連續(xù)分布、振幅為 的復(fù)指數(shù)信號之和。的復(fù)指數(shù)信號之和。 由于由于 具有頻譜隨頻率分具有頻譜隨頻率分布的物理含義，因而稱布的物理含義，因而稱 為頻譜密度函數(shù)。為頻譜密度函數(shù)。1()2X jd 0000,00()limlimkkTTfaX jTaf()X j1( )()2j tx tX jed()( )j tX jx t edt于是，我們得到了對非周期信號的頻域描述方法于是，我們得到了對非周期信號的頻域描述方法這一對關(guān)系被稱為連續(xù)時間傅

7、立葉變換對。這一對關(guān)系被稱為連續(xù)時間傅立葉變換對。 可見，周期信號的頻譜是對應(yīng)的非周期信號頻譜可見，周期信號的頻譜是對應(yīng)的非周期信號頻譜的樣本；而非周期信號的頻譜是對應(yīng)的周期信號頻的樣本；而非周期信號的頻譜是對應(yīng)的周期信號頻譜的包絡(luò)。譜的包絡(luò)。 既然傅立葉變換的引出是從周期信號的傅立葉級數(shù)既然傅立葉變換的引出是從周期信號的傅立葉級數(shù)表示出發(fā)，討論周期趨于無窮大時的極限得來的，傅表示出發(fā)，討論周期趨于無窮大時的極限得來的，傅立葉變換的收斂問題就應(yīng)該和傅立葉級數(shù)的收斂相一立葉變換的收斂問題就應(yīng)該和傅立葉級數(shù)的收斂相一致。致。二二. 傅立葉變換的收斂傅立葉變換的收斂這表明能量有限的信號其傅立葉變換一

8、定存在。這表明能量有限的信號其傅立葉變換一定存在。2. Dirichlet 條件條件( )x t dt a. 絕對可積條件絕對可積條件1. 若若2( )x tdt 則則 存在。存在。()X j也有相應(yīng)的兩組條件：也有相應(yīng)的兩組條件：b. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個極值點(diǎn)，只有有限個極值點(diǎn)， 且極值有限。且極值有限。( )x tc. 在任何有限區(qū)間內(nèi)，在任何有限區(qū)間內(nèi)， 只有有限個第一類間只有有限個第一類間斷點(diǎn)。斷點(diǎn)。( )x t 應(yīng)該指出應(yīng)該指出: :這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。這些條件只是傅立葉變換存在的充分條件。( )x t( )x t 和周期信號的情況一樣

9、，當(dāng)和周期信號的情況一樣，當(dāng) 的傅立葉變換存的傅立葉變換存在時，其傅立葉變換在在時，其傅立葉變換在 的連續(xù)處收斂于信號本的連續(xù)處收斂于信號本身，在間斷點(diǎn)處收斂于左右極限的平均值，在間斷身，在間斷點(diǎn)處收斂于左右極限的平均值，在間斷點(diǎn)附近會產(chǎn)生點(diǎn)附近會產(chǎn)生Gibbs 現(xiàn)象。現(xiàn)象。 sin tt 這兩組條件并不等價。例如：這兩組條件并不等價。例如： 是平方可積是平方可積的，但是并不絕對可積。的，但是并不絕對可積。三三. .常用信號的傅立葉變換：常用信號的傅立葉變換：1.( )( ),0atx teu ta01()atj tX jeedtaj221()X ja-1()tgX ja ( )x tt01a

10、a01/a()X j12a/2/2aa()X j/4/42.( ),0atx tea 結(jié)論：實(shí)偶信號的傅立葉變換結(jié)論：實(shí)偶信號的傅立葉變換是實(shí)偶函數(shù)。此時可以用一幅圖是實(shí)偶函數(shù)。此時可以用一幅圖表示信號的頻譜。表示信號的頻譜。對此例有對此例有()()X jX j()0X j()X j2a1aaa( )xtt100022()112atj tatj tX je edteedtaajaja3.( )( )x tt()( )1jtXjt edt0( ) tt 這表明這表明 中包括了所有的頻率成分，且所有頻中包括了所有的頻率成分，且所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，系統(tǒng)的單位沖率分量的幅度、相位都相

11、同。因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)激響應(yīng) 才能完全描述一個才能完全描述一個LTI系統(tǒng)的特性，系統(tǒng)的特性， 才在信號與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。才在信號與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。( ) t( )h t( ) t()X j0111111111112sin2sin()2Sa()2Sinc()Tj tTTTTX jedtTTTTT 顯然，將顯然，將 中的中的 代之以代之以 再乘以再乘以 ，即，即是相應(yīng)周期信號的頻譜是相應(yīng)周期信號的頻譜()X j0k01T011101000sin22Sa()kkTTTakTTTkT4. 矩形脈沖矩形脈沖: :( )x t 1,1tT0,1tT1T1Tt( )x t1

12、( )x tt1T1T1 10 0( )x tt12T12T1 10 0()X j0 01T12T12T()X j14T0 0不同脈沖寬度對頻譜的影響不同脈沖寬度對頻譜的影響可見，信號在時域和頻域之間有一種相反的關(guān)系?？梢?，信號在時域和頻域之間有一種相反的關(guān)系。( (稱為理想低通濾波器稱為理想低通濾波器) ) 與矩形脈沖情況對比，可以發(fā)現(xiàn)信號在時域和頻域之間與矩形脈沖情況對比，可以發(fā)現(xiàn)信號在時域和頻域之間存在一種對偶關(guān)系。存在一種對偶關(guān)系。5.1，0，()X jWW1sin( )Sa()sinc()2Wj tWWtWWWtx tedWtt()X jWW1 10 0( )x tt(/)W0 0W

13、對偶關(guān)系可表示如下對偶關(guān)系可表示如下:( )x tt1T1T1 10 0()X jWW1 10 0()X j0 01T12T( )x tt(/)W0 0W 同時可以看到，信號在時域和頻域之間也有一種同時可以看到，信號在時域和頻域之間也有一種相反的關(guān)系。即信號在時域脈沖越窄，則其頻譜主相反的關(guān)系。即信號在時域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬，反之亦然。瓣越寬，反之亦然。 對例對例5. 我們可以想到，如果我們可以想到，如果 ，則，則 將趨于將趨于一個沖激。一個沖激。W ( )x t6. 若若 則有則有( )1x t ()2( )X j 因?yàn)橐驗(yàn)?1()22Wj tWed 所以所以( )12( )Fx t

14、 四四. 信號的帶寬信號的帶寬( Bandwidth of Signals ): 由信號的頻譜可以看出：信號的主要能量總是集中于由信號的頻譜可以看出：信號的主要能量總是集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號的系統(tǒng)都具有自己的頻低頻分量。另一方面，傳輸信號的系統(tǒng)都具有自己的頻率特性。因而，工程中在傳輸信號時，沒有必要一定要率特性。因而，工程中在傳輸信號時，沒有必要一定要把信號的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據(jù)把信號的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據(jù)信號能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需信號能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需要對信號定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法

15、要對信號定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法:2. 對包絡(luò)是對包絡(luò)是 形狀的頻譜，通常定義主瓣寬形狀的頻譜，通常定義主瓣寬度度(即頻譜第一個零點(diǎn)內(nèi)的范圍即頻譜第一個零點(diǎn)內(nèi)的范圍)為信號帶寬。為信號帶寬。Sa( ) x 下降到最大值的下降到最大值的 時對應(yīng)的頻率范圍時對應(yīng)的頻率范圍, ,此時帶內(nèi)信號此時帶內(nèi)信號分量占有信號總能量的分量占有信號總能量的1/2。1.()X j12 以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以帶寬等于常數(shù)以帶寬等于常數(shù)C (脈寬帶寬積脈寬帶寬積)。這清楚地反映了頻域。這清楚地反映了頻域和時域的相反關(guān)系。和時域的相反關(guān)系。

16、 4.2 周期信號的傅立葉變換周期信號的傅立葉變換 到此為止，我們對周期信號用傅立葉級數(shù)表示，到此為止，我們對周期信號用傅立葉級數(shù)表示，非周期信號用傅立葉變換表示。因?yàn)閿?shù)學(xué)描述方法非周期信號用傅立葉變換表示。因?yàn)閿?shù)學(xué)描述方法的不一致，在某些情況下的不一致，在某些情況下, , 會給我們帶來不便。但會給我們帶來不便。但由于周期信號不滿足由于周期信號不滿足 Dirichlet 條件，因而不能直接從條件，因而不能直接從定義出發(fā)，建立其傅立葉變換表示。定義出發(fā)，建立其傅立葉變換表示。 001( )()()2jtj tj tx tX jedede The Fourier Transformation of

17、 Periodic Signals所對應(yīng)的信號所對應(yīng)的信號0()2()X j 考查考查 這表明周期性復(fù)指數(shù)信號的頻譜是一個沖激。這表明周期性復(fù)指數(shù)信號的頻譜是一個沖激。于是當(dāng)把周期信號表示為傅立葉級數(shù)時，因?yàn)橛谑钱?dāng)把周期信號表示為傅立葉級數(shù)時，因?yàn)?( )jktkkx ta e就有就有0()2()kkX jak 周期信號的傅立葉變換表示周期信號的傅立葉變換表示0( )jktx te0()2()X jk 若若 則則 這表明：周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組這表明：周期信號的傅立葉變換由一系列沖激組成，每一個沖激分別位于信號的各次諧波的頻率處，成，每一個沖激分別位于信號的各次諧波的頻率處，其沖激

18、強(qiáng)度正比于對應(yīng)的傅立葉級數(shù)的系數(shù)其沖激強(qiáng)度正比于對應(yīng)的傅立葉級數(shù)的系數(shù) 。ka例例1： 0001( )sin2jtjtx tteej00() ()()X jj ()X j00jj000() ()()Xj 22222111( )( )TTjktTkTTat edtt dtTTT()X j0000001( )cos2jtjtx ttee例例2： ( )()nx ttnT例例3： 均勻沖激串均勻沖激串TT2T2T0( )x tt1()X j02T2T2T( )()nx ttnT22()()kX jkTT 22()()kX jkTT 例例4. 周期性矩形脈沖周期性矩形脈沖10022sin()2()()

19、kkTTXjkkT 1011002sin22Sa()kTkTTakTTTk10212TT()X j02T1T1T01( )x tt0T0T4.3 連續(xù)時間傅立葉變換的性質(zhì)連續(xù)時間傅立葉變換的性質(zhì) 討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在通過這些性質(zhì)揭示信號討論傅立葉變換的性質(zhì)，旨在通過這些性質(zhì)揭示信號時域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時掌握和運(yùn)用這些時域特性與頻域特性之間的關(guān)系，同時掌握和運(yùn)用這些性質(zhì)可以簡化傅立葉變換對的求取。性質(zhì)可以簡化傅立葉變換對的求取。1. 線性線性: Linearity則則( )( )()()ax tby taX jbY jProperties of the Continuous-T

20、ime Fourier Transform( )(),( )()x tX jy tY j若若2. 時移時移: Time Shifting這表明信號的時移只影響它的相頻特性，其相頻特性這表明信號的時移只影響它的相頻特性，其相頻特性會增加一個線性相移。會增加一個線性相移。( )()x tX j則則00()()j tx ttX je若若3. 共軛對稱性共軛對稱性: Conjugate and Symmetry 若若 ( )()x tX j則則*( )()x tXj*()( )j tXjx t edt所以所以*()( )j tXjx t edt即即*( )()x tXj 若若 是實(shí)信號，則是實(shí)信號，則

21、( )x t*( )( )x tx t于是有于是有:*()()X jXj由由()( )j tX jx t edt可得可得Re()Re()X jXj即實(shí)部是偶函數(shù)即實(shí)部是偶函數(shù)虛部是奇函數(shù)虛部是奇函數(shù) 若若()()()j X jX jX je則可得出則可得出()()X jXj()()X jXj 即：模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù)即：模是偶函數(shù)，相位是奇函數(shù) 若若則可得則可得()Re()Im()X jX jjX jIm()Im()X jXj 如果如果( )()x txt即信號是偶函數(shù)。則即信號是偶函數(shù)。則()( )j tX jx t edt()( )()j tjxt edtxedtXj表明：表明： 實(shí)偶

22、信號的傅立葉變換是偶函數(shù)。實(shí)偶信號的傅立葉變換是偶函數(shù)。表明表明 是實(shí)函數(shù)。是實(shí)函數(shù)。()X j 若若 即信號是奇函數(shù)，同樣可以得出即信號是奇函數(shù)，同樣可以得出:( )()x txt *()()XjXj所以所以*()()X jXj又因?yàn)橛忠驗(yàn)?)()X jXj 表明表明 是奇函數(shù)是奇函數(shù)()X j*()()X jXj ()X j表明表明 是虛函數(shù)是虛函數(shù) 若若( )( )( )eox tx tx t則有則有:()()()eoX jXjjXj( )()eex tXj()Re()eXjX j( )()oox tjXj()Im()oXjX j例例: 的頻譜的頻譜:( )u t( )( )( )eou

23、 tu tu t1( )2eu t 10( )u tt1/20( )eu tt-1/21/20( )ou tt將將 分解為偶部和奇部有分解為偶部和奇部有( )u t1( )Sgn( )2ou ttSgn( ) t 1,1,0t 0t ( )( )eu t 22022limajaj1( )()u tj 0Sgn( )lim( )()atatate u te ut011limaajajSgn( )tF1j1( )Sgn( )2ou tt11tSgn( ) tateate4.時域微分與積分時域微分與積分: Differentiation and Integration(可將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算可將

24、微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算)(將將1( )()2j tx tX jed兩邊對兩邊對 微分即得該性質(zhì)微分即得該性質(zhì))t由時域積分特性從由時域積分特性從( )1t也可得到也可得到:1( )( )u tj 1( )()(0) ( )txdX jXj （時域積分特性）（時域積分特性）( )()x tX j則則( )()dx tjX jdt若若5.時域和頻域的尺度變換時域和頻域的尺度變換: Scaling當(dāng)當(dāng) 時，有時，有1a ()()xtXj 尺度變換特性表明：信號如果在時域擴(kuò)展尺度變換特性表明：信號如果在時域擴(kuò)展 a 倍，則其帶倍，則其帶寬相應(yīng)壓縮寬相應(yīng)壓縮 a 倍，反之亦然。這就從理論上證明了時域與頻

25、倍，反之亦然。這就從理論上證明了時域與頻域的相反關(guān)系，也證明了信號的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。域的相反關(guān)系，也證明了信號的脈寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。( )()x tX j則則1()()x atX jaa若若時域中的壓縮（擴(kuò)展）對應(yīng)頻域中的擴(kuò)展（壓縮）時域中的壓縮（擴(kuò)展）對應(yīng)頻域中的擴(kuò)展（壓縮）6.對偶性對偶性: Duality若若( )()x tX j則則()2()X jtx2()()j txXjt edt2()()j txXjt edt()2()X jtx1( )()2j tx tXjed證明：證明：也可由也可由()( )j tX jx t edt得到證明。得到證明。1()()2()2j t

26、j tXjtxedxed根據(jù)根據(jù)()()xtXj得得00( ) ()jtx t eX j這就是移頻特性這就是移頻特性例如例如: : 由由 有對偶關(guān)系有對偶關(guān)系利用時移特性有利用時移特性有再次對偶有再次對偶有( )()x tX j( )2()X jtx00 ()2()jtXj ttxe002()2 ()jtxt eX j由對偶性可以方便地將時域的某些特性對偶到頻域由對偶性可以方便地將時域的某些特性對偶到頻域由由()( )j tXjx t edt得得()( )j tdX jjtx t edtd所以所以( )()djtx tXjd頻域微分特性頻域微分特性該特性也可由對偶性從時域微分特性得出該特性也可

27、由對偶性從時域微分特性得出:( )()x tX j( )2()X jtx( )()djtx tX jd由由()()xtXj有有()2()dX jtj xdt 利用時域微分特性有利用時域微分特性有()2()X jtx對對2()2()()djtxtXjd再次對偶得再次對偶得頻域微分特性頻域微分特性由時域積分特性，可對偶出頻域積分特性由時域積分特性，可對偶出頻域積分特性( )()x tX j()2()X jtx22()()2(0) ()txX jdxj 利用時域積分特性利用時域積分特性()2 (0) ( )2()xtxtX jdjt再次對偶再次對偶( )(0) ( )()x txtXjdjt()()

28、xtXj由由有有頻域積分特性頻域積分特性7. Parseval定理定理:若若( )()x tX j則則221( )()2x tdtX jd 這表明：信號的能量既可以在時域求得，也可這表明：信號的能量既可以在時域求得，也可以在頻域求得。由于以在頻域求得。由于 表示了信號能量在表示了信號能量在頻域的分布，因而稱其為頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度能量譜密度”函數(shù)。函數(shù)。2()X j4.4 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) The Convolution Property一一. .卷積特性：卷積特性： 由于卷積特性的存在，使對由于卷積特性的存在，使對LTI系統(tǒng)在頻域進(jìn)行分析系統(tǒng)在頻域進(jìn)行分析成為可能。本質(zhì)上，卷積

29、特性的成立正是因?yàn)閺?fù)指數(shù)成為可能。本質(zhì)上，卷積特性的成立正是因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號是一切信號是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)的特征函數(shù)。( )()x tX j( )()h tH j則則( )( )()()x th tX jH j若若1( )()2jtx tXjed由由表明：表明：()( )j tH jh t edt故有故有可將可將 分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個分解成復(fù)指數(shù)分量的線性組合，每個 通過通過LTI系統(tǒng)時都要受到系統(tǒng)系統(tǒng)時都要受到系統(tǒng)與與 對應(yīng)的特征值對應(yīng)的特征值的加權(quán)。這個特征值就是的加權(quán)。這個特征值就是( )x tj tej te1( )( )* ( )()()2j ty tx th

30、tX jH jed所以所以()() ()Y jX jH j 由于由于 的傅氏變換的傅氏變換 就是頻率為就是頻率為 的復(fù)指的復(fù)指數(shù)信號數(shù)信號 通過通過LTI系統(tǒng)時，系統(tǒng)對輸入信號在系統(tǒng)時，系統(tǒng)對輸入信號在幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。幅度上產(chǎn)生的影響，所以稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。( )h t()H jjte 鑒于鑒于 與與 是一一對應(yīng)的，因而是一一對應(yīng)的，因而LTI系統(tǒng)系統(tǒng)可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的可以由其頻率響應(yīng)完全表征。由于并非任何系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) 都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)都存在，因此用頻率響應(yīng)表征系統(tǒng)時，一般都限于對穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，穩(wěn)定性保證了時，一般

31、都限于對穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，穩(wěn)定性保證了( )h t()H j()H jdtth| )(|二二. . LTI系統(tǒng)的頻域分析法系統(tǒng)的頻域分析法: : 根據(jù)卷積特性根據(jù)卷積特性, ,可以對可以對LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析, , 其其過程為過程為: :1. 1. 由由2. 2. 根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出3.3.4. 4. ( )()x tXj()H j()()()Y jX jH j1( ) ()y tY j F4.5 相乘性質(zhì)相乘性質(zhì) The Multiplication Property利用對偶性可以從卷積性質(zhì)得出相乘性質(zhì)利用對偶性可以從卷積性質(zhì)得出相乘性質(zhì)11( )()x

32、 tXj11()2()Xjtx22( )()x tXj22()2()Xjtx21212()()4()()XjtXjtxx若若11( )()x tXj22( )()x tXj則則12121( )( )()()2x tx tXjXj212124( )( )2()()xt xtXjXj 兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個信號控制兩個信號在時域相乘，可以看成是由一個信號控制另一個信號的幅度，這就是幅度調(diào)制。其中一個信號另一個信號的幅度，這就是幅度調(diào)制。其中一個信號稱為載波，另一個是調(diào)制信號。稱為載波，另一個是調(diào)制信號。例例1:( )()x tX j002()jte 00( ) ()jtx t eX

33、j12121( )( )()()2x tx tXjXj移頻性質(zhì)移頻性質(zhì)例例2. 正弦幅度調(diào)制正弦幅度調(diào)制: :0( )(),( )coss tS jp tt( )( ) ( )r ts t p t( )p t( )s t( )r t10MM()S j( )r tt( )s t00() ()()P j 0( )00()P j001()() ()()2R jS j 0011() ()22S jS j 1/200()R j 正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號的頻譜搬移到載正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號的頻譜搬移到載頻位置。頻位置。例例3. 同步解調(diào)同步解調(diào):0001( )cos() ()()2r

34、 ttR j 00111() (2) (2)244S jS jS j1/21/41/4MM0202 此時，用一個頻率特性為此時，用一個頻率特性為的系統(tǒng)即可從的系統(tǒng)即可從 恢復(fù)出恢復(fù)出 。()H j( )r t( )s t()H j20cc只要只要02McM即可。即可。具有此頻率特性的具有此頻率特性的LTI系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。例例4. 中心頻率可變的帶通濾波器：中心頻率可變的帶通濾波器：( )x t( )y t( )r t( )w t0jte0jtec()X j()W jcc()F jA00c0c()Y jc10c()Y j理想低通的頻率響應(yīng)理想低通的頻率響應(yīng)02c1

35、()H j等效帶通濾波器等效帶通濾波器 相當(dāng)于從相當(dāng)于從 中直接用一個帶通濾波器濾出的中直接用一個帶通濾波器濾出的頻譜。表明整個系統(tǒng)相當(dāng)于一個中心頻率為頻譜。表明整個系統(tǒng)相當(dāng)于一個中心頻率為 的的帶通濾波器，改變帶通濾波器，改變 即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。()X j004.6 傅立葉變換的性質(zhì)與傅立葉變換對列表傅立葉變換的性質(zhì)與傅立葉變換對列表(自學(xué)自學(xué)) 工程實(shí)際中有相當(dāng)廣泛的工程實(shí)際中有相當(dāng)廣泛的LTI系統(tǒng)其輸入輸出關(guān)系可系統(tǒng)其輸入輸出關(guān)系可以由一個線性常系數(shù)微分方程描述。一般形式的以由一個線性常系數(shù)微分方程描述。一般形式的LCCDE是是:4.7 由線性常系數(shù)微分方程表征

36、的系統(tǒng)由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)00( )( )kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt一一. 由由LCCDE描述的描述的LTI系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)的頻率特性:Systems Characterized by Linear Constant-Coefficient Differential Equations 由于由于 是一切是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，因此系統(tǒng)的特征函數(shù)，因此 ，當(dāng)，當(dāng) 系統(tǒng)的輸入為系統(tǒng)的輸入為 時，系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)就時，系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)就是是 。表明在。表明在 的情況下，的情況下，求解求解LCCDE即即可得到可得到 。但是這種方法太麻。但是這種方法太麻煩，很少使用。煩，很少使用。 ( )()j ty tH je()H jjte( )j tx te( )j tx te對對LCCDE兩邊進(jìn)行傅立葉變換有：兩邊進(jìn)行傅立葉變換有：00()()