中心極限定理及其意義

1、題目：中心極限定理及意義課程 名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)班級：成員組成： 聯(lián)系方式：2012年5月25日摘要：本文從隨機(jī)變量序列的各種收斂與他們的關(guān)系談起， 通過對概率經(jīng)典定理一 一中心極限定理在獨(dú)立同分布和不同分布兩種條件下的結(jié)論做了比較系統(tǒng)的闡 述，揭示了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)一一平均結(jié)果的穩(wěn)定性。經(jīng)過對中心極限定理的討論，給出了獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布用正態(tài)分布來表示的理論依據(jù)。同樣中心極限定理的內(nèi)容也從獨(dú)立分布與獨(dú)立不同分布兩個角度來研究。同時通過很多相關(guān)的正反例題，進(jìn)行說明這些定理所給出的條件是否是充要條件；簽掉在實(shí)際問題中靈活的應(yīng)用和辨別是否服從我們給出的定理?xiàng)l件。 最后了解一些簡單簡

2、便 的中心極限定理在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、管理決策、僅是計(jì)算以及保險業(yè)務(wù)等方面的應(yīng)用， 來進(jìn)一步的闡明了中心極限定理分支學(xué)課中的中重要作用和應(yīng)用價值。關(guān)鍵詞：隨機(jī)變量，獨(dú)立隨機(jī)變量，特征函數(shù)，中心極限定理引言：在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，他們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因數(shù)的綜合 影響所形成的，而其中每一個別因數(shù)在總的影響中所起的作用都是渺小的，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布，這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景。中心極限定理自提出至今，其內(nèi)容已經(jīng)非常豐富。在概率論中，把研究在什 么條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的這一類定理稱為中心 極限定理。但其中最常見、最基本的兩個定理是德莫佛 -拉普

3、拉斯中心極限定理 和林德貝格-勒維中心極限定理。一、三個重要的中心極限定理1 .獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2,'Xn,一相互獨(dú)立，服從統(tǒng)一分布，具有數(shù)學(xué)期望和方差 n2 X kE(Xk)",D(Xk)=Q >0(k=1,2, 則隨機(jī)變量之和號 的標(biāo)準(zhǔn)化變量，nnn“ Xk -Eft Xk'、Xk -nY =k 土k 生：.k 4的分布函數(shù)Fn(x)對于任意X滿足，X Xk -nNi 2!而小m：p k' n.-x2_. J/2dt = ：'xI J2 .李雅普諾夫定理設(shè)隨機(jī)變量X1，X2Xn, -相互獨(dú)立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差E

4、Xk>,DXk =:20(k=12 )nB； =、c-2k 1若存在正數(shù)6,使得當(dāng)nT=c時,n則隨機(jī)變量之和京k的標(biāo)準(zhǔn)化量化,nnnv Xk -E、 Xk '、XkZnXkk 1Bn 一X k - " , 'kAj1k j1 xBn一±2/2dt 一.：，x的分布函數(shù)Fn（X）對于任意X滿足,lim Fn(x) =lim P« nnJsC3 .棣莫弗一拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量"n（n=1,2，''）服從參數(shù)為n,NOMPCD的二項(xiàng)分布，則對于任意x,有_xe' /2dt =力 x"n -np，以 7

5、np(1 p)二、中心極限定理的意義：首先，中心極限定理的核心內(nèi)容是只要 n足夠大，便可以把獨(dú)立同分布的隨 機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化當(dāng)作正態(tài)變量， 所以可以利用它解決很多實(shí)際問題，同時這還 有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事 實(shí)，從而正態(tài)分布成為概率論中最重要的分布， 這就奠定了中心極限定理的首要 功績。其次，中心極限定理對于其他學(xué)科都有著重要作用。 例如數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的參 數(shù)（區(qū)間）估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)、抽樣調(diào)查等；進(jìn)一步，中心極限定理為數(shù)理統(tǒng)計(jì)在 統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用鋪平了道路，用樣本推斷總體的關(guān)鍵在于掌握樣本特征值的抽樣 分布，而中心極限定理表明只要樣本容量足夠地大， 得知未知

6、總體的樣本特征值 就近似服從正態(tài)分布。從而，只要采用大量觀察法獲得足夠多的隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)， 幾乎就可以把數(shù)理統(tǒng)計(jì)的全部處理問題的方法應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)，這從另一個方面也間接地開辟了統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法領(lǐng)域，其在現(xiàn)代推斷統(tǒng)計(jì)學(xué)方法論中居于主導(dǎo)地位.三、中心極限定理的應(yīng)用：1.1 保險學(xué)的概率論數(shù)學(xué)原理保險體現(xiàn)了 “人人為我，我為人人”的互助思想，它以數(shù)理統(tǒng)計(jì)為依據(jù)。保 險中的風(fēng)險單位是發(fā)生一次風(fēng)險事故可能造成標(biāo)的物損失的范圍，也就是遭受損失的人、場所或事物。風(fēng)險單位是保險公司確定其能夠承擔(dān)的最高保險責(zé)任的計(jì) 算基礎(chǔ)。理想狀態(tài)下的風(fēng)險單位應(yīng)獨(dú)立同分布， 這種現(xiàn)象的意義在于保險人可以據(jù)此向每個潛在的被保險人收取同樣

7、的保費(fèi)。同時根據(jù)中心極限定理，含有 n 個風(fēng)險單位的隨機(jī)樣本的平均損失符合正態(tài)分布，這個結(jié)論對保險費(fèi)率的厘定極 為重要。保險公司各險種的交費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是經(jīng)過精算后以同期銀行利率比照制定的， 所以在此基礎(chǔ)上應(yīng)盡可能地多承保風(fēng)險單位，也就越可能有足夠的資金賠付保險 期內(nèi)發(fā)生的所有索賠，從而使保險公司的運(yùn)營更加平穩(wěn)，也就越有利于投保人或 被保險人.既然可利用中心極限定理能合理地厘定保險費(fèi)率，為何老年人投保一再被提高門檻呢？京江晚報3月28日就有報道“對保險公司來說，老年人屬于高風(fēng)險 人群，存在的不確定因素較多，老年人發(fā)生醫(yī)療費(fèi)用支出和意外事故的風(fēng)險要比 年輕人大。所以，從賠付率的角度考慮，保險產(chǎn)品在推出前

8、會經(jīng)過精密測算，設(shè) 置相應(yīng)的年齡門檻和不同的繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)”.我們以最簡單的一年定期壽險為例說明保險公司為何對中老年人保險總提高門檻，老年人投保壽險與年輕人有何區(qū)別。 如表1所示是臺灣遠(yuǎn)雄人壽千喜男 性一年定期壽險的部分費(fèi)率及死亡率（見附錄三、四）。為說明問題，我們選取 25-29歲作為年輕人的代表，61-65歲為老年人的代表，將這兩個年齡段進(jìn)行比 較。遠(yuǎn)雄人壽千喜男性一年定期壽險的部分費(fèi)率及死亡率表1單位：元/每萬元基本保額年齡保費(fèi)死亡率年齡保費(fèi)死亡率25180.000945612150.01489226180.000925622350.01636127180.000915632570.01797

9、228180.000918642810.01974029190.000933653080.021677現(xiàn)假定每個年齡各有1000個人投保，則按照下列計(jì)算公式得出表 2:總保費(fèi)=1000父單個人的保費(fèi)（元）=0.1父單個人的保費(fèi)（萬元），賠付額=104 ME（元）=E1（萬元），E£為100階年齡為歲的個體在一年內(nèi)死亡的期卷不同年齡的總保費(fèi)及賠付額表2單位：萬元年齡25262728296162636465總保費(fèi)1.81.81.81.81.921.523.525.728.130.8賠付額0.950.930.920.920.9314.916.418.019.721.7由于計(jì)算中假定每個年齡

10、的投保數(shù)相同， 而老年人的死亡率比年輕人高，則導(dǎo)致賠付額的基數(shù)較大，所以還不能很好的解釋問題，這里再引入賠付率（賠付 率=賠付額/總保費(fèi)），得出表3。各年齡的賠付率表3年齡25262728296162636465賠付率52.851.751.151.148.969.369.870.070.170.5%從表3可知，25-29歲總體的賠付率呈下降趨勢，而 61-65歲總體的賠付率 呈上升趨勢且賠付率處于較高水平。 那么對于一個保險公司，她的經(jīng)營主要是以盈利為目的，老年人身體狀況較差，是疾病、死亡的多發(fā)群體，面臨的風(fēng)險大，所以為老年承保壽險時保險公司的賠付率相對較高。因此老年人投保壽險一再被提高門檻。

11、同時，老年人壽險的保費(fèi)若定價較高，但老年人收入相對偏低，可能 買不起，而定價過低，保險公司也承受不起，從而更加影響公司的盈利。因此， 壽險公司更愿意把目光投向年輕人群體。1.2 定期壽險保險金的給付模型在上述比較中，我們知道了保險公司更青睞于年輕群體，但是在保險公司追 求利益的同時還應(yīng)考慮到他們的償還能力。我國保險法規(guī)定“保險公司應(yīng)該 具有與其業(yè)務(wù)相適應(yīng)的最低償付能力。”下面我們就將建立定期壽險保險金給付 模型。首先，根據(jù)國際精算協(xié)會的慣例，采用下列符號：(x): 一個新生兒生存至x歲，記為個體(x);tpx: (x)活過年齡x+t歲的概率，即(X)至少再活t年的概率；: (x)活到t歲的個體

12、恰好在此年齡死亡的可能性，稱為死亡力。且當(dāng) N(t)為常數(shù)時有tL t px =e6：是衡量在某個確切時點(diǎn)上利率水平的指標(biāo)，稱為利息力，簡稱息力；v:稱為貼現(xiàn)因子，表示1年后得到1元在年初時刻的現(xiàn)值；9T (x):個體(x)的未來生存時間?，F(xiàn)假定利率為常數(shù)i ,則有：i 1 =ln(1 i),d =，v = 1 i 1 i再記n年定期壽險的保險人給付額的現(xiàn)值為 Z,則Z的精算現(xiàn)值為1-1,vtt Px J(x)dtAx：n = oZ的j階矩為j 11jAx：n = Ax：nj5 (其中 j6表小計(jì)算時米用利息力j6)nvjtt Px(x)dt=0現(xiàn)假定1000個x歲獨(dú)立的個體投保一年定期壽險，

13、死亡保險金為1萬元，在死亡后立即給付。死亡力為常數(shù) k =0.06 o死亡給付是由某投資基金提供，投資基金的利息力為6=0.04。若要能夠支付未來死亡保險金的概率不低于 0.975, 現(xiàn)在所需資金最低額度是多少？記1000個個體的未來生存時間分別為ti(x)，t2(x)，.，ti000 (x),總給付金額的現(xiàn)1000vTj(x)值為短，則精算現(xiàn)值為11J (1 -e,，) =0.6(1-e©) =0.05711Ax：1 = vtpx(x)dt= ereJdt =二階矩為2 Ax：1 = Ax：12、.二 eN teAt 二30 14_ )=-(1-e 4) =0.0560Ti(x)、

14、211、2因此方差D(v )= Axl -(Ax1) =0.0527。設(shè)W為滿足要求所需的最低資金額 度，利用中心極限定理，我們可以得到：1000一Tj(x)PvJ()J11000 vTj(x)1000 T(x)-1“ vJ -1000Ax1_1j 4W -1000Ax：1£W)=P(),1000D(v j( ). 1000D(v j( )=P(j=1,1000D(vTJ(x)W -52.7)7.2611000Ax1一 ：W-52.77.26 )再利用正態(tài)分布0.975的分為點(diǎn)1.96 ,得W -52.7 1.967.26即W67萬元。所以，若需要能夠支付未來死亡保險金的概率不低于0

15、.975,現(xiàn)在所需資金的最低額度是67萬元。1.3定期壽險業(yè)的盈虧我們已經(jīng)知道壽險公司的經(jīng)營是為了盈利，而一個保險公司的盈虧，是否破產(chǎn)， 我們也可以運(yùn)用中心極限定理的知識做到估算和預(yù)測。例如設(shè)某壽險公司在一段 時間內(nèi)有n個同一年齡的人投保一年定期壽險，他們是相互獨(dú)立彼此互不影響 的，且在一年內(nèi)沒有新的投保人加入該項(xiàng)保險業(yè)務(wù)，也沒有人退保。那么就可以 利用中心極限定理估計(jì)該公司接下這些保單的盈虧概率。設(shè)每份保單的保費(fèi)為 M保額為Q該年齡的死亡率為p,令X j,第i個人死亡，i=1,2,n,0,第i個人仍活著nZ XiL N(n,p), i /再結(jié)合中心極限定理有該保險公司的虧本概率為n M八 n

16、 MP(n M 二x Q) =P(- ：x)=P(-np Qx -npnp(1-p) np(1- p)則有-np-1 ：.：，(np(1 二 p)若計(jì)算出的P較小，則對公司的盈利有好處，若P偏大，則為了盈利著想，壽險 公司可通過增加保費(fèi)等手段來降低虧本率。1.4實(shí)例分析例1 :某保險公司的老年人壽保險有10000人參加，每人每年交200元。若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給其家屬1萬元。設(shè)老年人的死亡率為0.017 ,問：(1)保險公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險中虧本的概率多大？(2)保險公司一年的利潤不少于20萬元的概率多大？解：設(shè)表年內(nèi)參保人的死亡數(shù)。則由題可知 £|_ B(10000,0.0

17、17)。(1)要使保險公司虧本，必須滿足20010000-10000 <0>200貝U P ( >200)=1- P (0W <200)200 -10000 0.017、，/0 -10000 0.0171- :-J() -:1j()10000 0.017 0.983.10000 0.017 0.983= 1-：，(2.3256)-力(-13.1783)=0.01即保險公司虧本的概率為1%(2)要使保險公司一年的利潤不少于 20萬元，必須滿足200 10000-10000 - 200000<180則 P (0<<180)1：.(180 -10000 0.

18、017 )_：>(0 -10000 0.017 )10000 0.017 0.98310000 0.017 0.983：，(0.78)-中(-13.1783) =0.7823即保險公司一年的利潤不少于20萬元的概率為78.23%。2.1中心極限定理在決策問題中的應(yīng)用 決策是為了達(dá)到某種預(yù)定的目標(biāo)，在若干可供選擇方案中決定一個合適方案的過程。那么在就某事的可行性進(jìn)行決策時，單個人認(rèn)為是否可行稱為個體決策, 幾個人(至少3個人)按照少數(shù)服從多數(shù)的方法決定是否可行稱為集體決策。 話說，人多力量大，那么我們習(xí)慣上認(rèn)為的集體正確決策的概率大于每個單個個 體正確決策的概率是否正確呢？下面將應(yīng)用中心極

19、限定理來討論分析這個問題。首先，我們給出一些簡單的數(shù)據(jù)，利用特殊法看看該說法是否正確。見表 記n為參與集體決策的人數(shù)，假定每個個體做出正確決策的概率相同， 且均為 決策方式也是根據(jù)少數(shù)服從多數(shù)原則，則在空格中所填數(shù)據(jù)為集體決策正確的概4。P,率，記為 味正（其中n=30、40時應(yīng)用中心極限定理計(jì)算 展正）3510203040p=0.250.15620.10350.01970.00390.00090.0001p=0.50.50.50.50.50.50.5p=0.750.84380.89650.92190.98610.99910.9999集體決策做出正確決策的概率表4從表4中，我們可以看到以下兩個

20、情況:1 一 當(dāng)p=0.25亡（0,萬）時，隨著n的增加，P集正逐漸下降情況一：!當(dāng)p =0.5時，凄正三J 與n無關(guān)1 一 當(dāng)p=0.75亡（萬,1對，隨著n的增加，P集正逐漸增加由此我們得出第一個猜測,猜測一:當(dāng)pw（0,1）時，隨著n的增加，P集正逐漸下降 21 .1.：當(dāng)p= 一時，p集正三一，與n無關(guān)2 2當(dāng)嗎訓(xùn)，隨著n的增加，鼠逐漸增加一1當(dāng)p=0.25三（0,萬）時，P集正cp情況一：W當(dāng)p=0.5寸，凄正=p ，一1當(dāng)p =0.75三q,1）時，凄正p顯然由這一情況可知，集體正確決策的概率大于每個單個個體正確決策的概率這 一說法是不一定正確的，同時我們也得出了第二個猜測，猜測二

21、:_1-當(dāng)pu（0,2）時，嗪正p,1 一w當(dāng)p =2時，正=p_ 1-當(dāng)puq/M，p集正p現(xiàn)在就利用一般法檢驗(yàn)兩個猜測是否正確，下面將結(jié)合中心極限定理來做出判 斷。設(shè)X為n個人中做出正確決策的人數(shù)，令_；1，第i個人的決策正確Xi = （0，第i個人的決策錯誤i =1,2,., n，t己 P(Xi =1) =p, P(Xi =0) =1p,貝 1nX =£ Xi, EX =np, DX =np(1 p)。 i ±將X標(biāo)準(zhǔn)化，并由中心極限定理可得jX -np u N(0,1)。np(1 二 p)當(dāng)n成分大時,nP(X /"Pl為下面討論方便，令X npn-np

22、2 .np(1-p) , np(1 - p)=1一：,(n-np二).np(1-p)(8)1-pn _2.p(1- p)nnpf (n) =2 一np(1 - p).P(X n) =1 _ .D(f (n)那么對于猜測一：(1)當(dāng)0<p<1時，f(n)是大于0的單調(diào)增函數(shù), 2若 ni <明,則0 < f (r)m f (國) .中(f(ni)m)n1 xn2、二 P(X > >P(X > 0 22同理可證明(2), (3)。所以猜測一是正確的。對于猜測二：當(dāng)n充分大時，我們可以得到二 1 i, n右0 < p < -，則f (n)T 收，

23、此時 P(X a-)t 0;221 . . n 1/右p =-,則f (n) =0,此時 P(X >)=一；2 224 1，一，n若 <p <1則f (n)T q,此時P(X >n)T 1。由此可知，當(dāng)n充分大時，若1cp父1則p(x >口)無限趨近于1,而p是一個大于 221/2小于1的常數(shù)，所以必'定有P(Xn)Ap,即1 <p<1是P(X>D)>p的必要條件; 222相反當(dāng)P(X >2)：>p時，是否也有工<<：1呢？不妨采用反證法說明。若 p=l,則 222nn7 -np 1P(X ；) =1&quo

24、t;，(一2)二邛，2.np(1-p) 2,1矛盾。右0vpv,則當(dāng)n充分大時, 2nnp P(X >n) =1 -玄 J =)趨于 0,2. np(1 -p)1 n一 一而p是一個大于0小于-的常數(shù)，所以P(Xa )也不可能大于p,矛盾。即p2 2只能屬于(1,1)。因此，當(dāng)n充分大時，P集正a p的充要條件為<p<iF 22在驗(yàn)證猜測一與二的基礎(chǔ)上，我們可以得出這樣的結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)0.5<p<1時集 體決策為正確的概率大于個體決策為正確的概率，并且當(dāng)參與人數(shù) n不斷增加 時，集體決策正確的概率也不斷趨向于 13.0中心極限定理在生產(chǎn)供應(yīng)、需求上的應(yīng)用現(xiàn)實(shí)生活中

25、，當(dāng)廠家的生產(chǎn)量大于需求量時，會導(dǎo)致商品的積壓以及商品價 值難以體現(xiàn)；而當(dāng)廠家的生產(chǎn)量小于需求量時， 供給又難以滿足社會需求。為了 盡量防止“供”過于大于“求”及盡可能的滿足社會需求度，我們就要利用中心 極限定理來估算一些值，具體如下。3.1 根據(jù)現(xiàn)有生產(chǎn)能力及用戶需求狀態(tài)，估算能滿足社會需求的可靠程度某工廠負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)n個人的商品供應(yīng)，在一段時間內(nèi)每人需用一件該商 品的概率為p,假定在這段時間內(nèi)每個人購買與否彼此獨(dú)立，現(xiàn)該工廠僅生產(chǎn)M件冏品,試估計(jì)能滿足該地區(qū)人們需求的概率P若記：1,第i個人購買該商品.Xi、，=1,ni(0,第i個人不購買該商品nn、Xi -npPC Xi <M)

26、 P( i- M np_) - ：.：，(M np_)uB ,y. np(1 - p) np(1- p) np(1-p)通過查正態(tài)分布表可求得P o3.2 根據(jù)社會需求狀態(tài)來確定生產(chǎn)任務(wù)某工廠負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)n個人的商品供應(yīng)，在一段時間內(nèi)每人需用一件該商品的概率為p,假定在這段時間內(nèi)每個人購買與否彼此獨(dú)立，現(xiàn)該工廠至少有 P的把握滿足社會需求，試問該工廠需要生產(chǎn)商品的件數(shù)M若記1,第i個人購買該商品i_1 . nxii=i， ，n0,第i個人不購頭該商品則N、Xi N(n, p) i ±nn.二.Xinp二 P(Z Xi <M ) =P( im< M -np ) =6( 1

27、M _np ) >P ,i1.np(1p) .np(1p), np(1-p)令6(x0 = P ,上np +xpynp(1-p),(11)所以該工廠至少需要生產(chǎn)np +xp<np（1p）件商品。3.3 根據(jù)需求及產(chǎn)品質(zhì)量情況來確定生產(chǎn)量的生產(chǎn)量No若記則所以由可知令1, Y =0,第i件商品是次品第i件商品不是次品Nv Y(N,p)i 土,i=1,N,NP（N，丫 _M）二眇i 土Nn_ Y - NpPY MN -M) =P( i土_ ( p) M)一 ：i 1Np(1 - p) . Np(1 -p)某工廠負(fù)責(zé)供應(yīng)某地區(qū)的商品供應(yīng)，該商品的次品率為p,而在一段時間內(nèi)共 需M件該商品

28、且要求至少有P的可靠程度來保證居民購買到的是正品， 求該工廠6(yp=P ,再通過解不等式N(1 -p) -M.Np(1 二p)- y由上式可解出生產(chǎn)量N的范圍3.4 例題分析設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)液晶電視機(jī)以滿足某地區(qū) 100家客戶的需求，若由以往的 統(tǒng)計(jì)資料表明：每一用戶對該電視機(jī)的年需求量服從九=2的泊松分布，現(xiàn)在該廠這種電視機(jī)的年產(chǎn)量為220臺，能以多大的把握滿足客戶的需求量呢？若該廠 要有97.5%的把握滿足客戶的需求，則該廠至少生產(chǎn)多少臺這種液晶電視機(jī)？現(xiàn) 在該廠引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)，將液晶電視機(jī)的出廠正品率提高到95%現(xiàn)估計(jì)一年內(nèi)該地區(qū)的社會總需求量為500臺，則為了有99.7%的把握保證客戶購買到的是正品液晶電視機(jī)，則該廠該年至少生產(chǎn)多少臺液晶電視機(jī)？11 解：設(shè)這100戶客