向量的極化恒等式與等和線的應(yīng)用_學(xué)生版

1、極化恒等式引例：平行四邊形是表 你能用向量方法證明：示向量加法和減法的幾 何模型。 平行四邊形的對(duì)角線的 平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍.證明：不妨設(shè)AB a, AD b,則 AC a b,DB a b,|Ac|2 AC2 2_.2DB DB-2a b- 一 2a bH2付2_ r 22a b bT ff 22a b b(1)(2)(1) (2)兩式相加得:屈2闡2 2|F2 AB2 AD2.下載可編輯結(jié)論：平行四邊形對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍思考1:如果將上面(1) (2)兩式相減，能得到什么結(jié)論呢？2 一 - 2a b= - a b a b 極化恒等式4對(duì)于上述恒等式，用向量運(yùn)

2、算顯然容易證明。 那么基于上面的引例， 你覺得極化恒等式 的幾何意義是什么？ 幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與1“差對(duì)角線”平方差的 1.4即:a b 1 AC 2 |DB 24(平行四邊形模式)思考：在圖1的三角形ABD ( M為BD的中點(diǎn))，此恒等式如何表示呢?. _ _ _ , 2 12因?yàn)锳C 2AM，所以a b AM | 1DB (三角形模式)uuu uuur例1.(2012年浙江文15)在 ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM 3, BC 10,則AB AC 目標(biāo)檢測(cè)（2012北京文 13改編）已知正方形 ABCD 的邊長為 1, 點(diǎn)E是AB邊

3、上的動(dòng)點(diǎn)，則 DE- DA的值為 .例2.（自編）已知正三角形 ABC內(nèi)接于半徑為2勺圓O,點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 則PA PB的取值范圍是.目標(biāo)檢測(cè)22（2010福建文11）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓y % 1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P 為橢圓上的任意一點(diǎn)，則OP FP的最大值為（）A2B.3C.6D.81 例3. （2013浙江理7）在 ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B AB ,且對(duì)于邊AB 4uuu uur上任一點(diǎn)P，恒有PB PCuuur uuurRB PC。則（）A. ABC 90o B.BAC 90o C. AB AC D.AC BC例4. （2017全國2理科12）已知 ABC

4、是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn), uurr uuu uuir則PA （PB PC）的最小是（）c34,A. 2 B. C. D.123課后檢測(cè)1 .在 ABC中， BAC 60o若AB 2, BC J3 , D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，DB DA的最小值為2 .已知AB是圓O的直徑,AB長為2, C是圓O上異于A, B的一點(diǎn),P是圓。所在平面上uur uuu uuir任意一點(diǎn)，則 PA PB PC的最小值為 3 .在 ABC中，AB 3, AC 4, BAC 60o,若P是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 uuu uuurAP 2,則PB PC的最大值為2X 24 .若點(diǎn)。和點(diǎn)F( 2,0)分

5、別是雙曲線-y y 1(a 0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線 auuu uuu右支上任意一點(diǎn)則 OP FP的取值范圍是5.在 Rt ABC , ACBC 2,已知點(diǎn)P是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PC (PA PB)的最小6.已知A、B是單位圓上的兩點(diǎn),。為圓心，且 AOB 120o,MN是圓O的一條直徑,點(diǎn)C在圓內(nèi)，且滿足OC OA (1)OB(01),則CM CN的取值范圍是()1_一 3A.1 1 B .1,1C .- 024,D.1,07 .正 ABC邊長等于"3,點(diǎn)P在其外接圓上運(yùn)動(dòng)，則 AP PB的取值范圍是（A.3 32,2B.3 12, 2C.2, 2D.1 12,28 .在銳

6、角 ABC中，已知Buur uuurAB AC 3uur uur2 ,則AB AC的取值范圍是（2008折江理9）已知a,b是平面內(nèi)2個(gè)互相垂直的單位向量,若向量c滿足9. （a c） （b c） 0,則c的最大值是（）.<-,2A.1B.2C. 2 D.2平面向量基本定理系數(shù)的等和線【適用題型】平面向量基本定理的表達(dá)式中，研究兩系數(shù)的和差及線性表達(dá)式的范圍與最值。【基本定理】(一) 平面向量共線定理uuuuuiruuur已知OA OB OC ,若 1 ,則A,B,C三點(diǎn)共線；反之亦然(二)等和線uuu uuiruuru uuu平面內(nèi)一組基底 OA, OB及任一向量OP, OPuuuOA

7、uuirOB(R),若點(diǎn)P在直線AB上或者在平行于 AB的直線上，則k (定值)，反之也成立，我們把直線 AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。(1) 當(dāng)?shù)群途€恰為直線 AB時(shí)，k 1;(2) 當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k (0,1);(3) 當(dāng)直線AB在點(diǎn)。和等和線之間時(shí)，k (1,);(4)當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k 0；(5) 若兩等和線關(guān)于 。點(diǎn)對(duì)稱，則定值k互為相反數(shù);【解題步驟及說明】1、確定等值線為1的線；2、平移(旋轉(zhuǎn)或伸縮)該線，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的可行域，分析何處取得最大值和最小值；3、從長度比或者點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算最大值和最小值；說明：平面向量共線定理的表達(dá)式中的三個(gè)向量的起

8、點(diǎn)務(wù)必一致，若不一致，本著少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平移固定的向量；若需要研究的兩系數(shù)的線性關(guān)系，則需要通過變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和?！镜湫屠}】例1、給定兩個(gè)長度為1的平面向量1A和OB1,它們的夾角為120°,如圖所示，點(diǎn) C在以O(shè)為圓心的圓弧 Ab上變動(dòng)。uuur uur uuu若OC xOA yOB ,其中x, y R ,則x y的最大值跟蹤練習(xí)：已知1 uuur。為 ABC的外心，若cos ABC - , AO 3uuuABuurAC ,則一下載可編輯最大值為例2、在平面直角坐標(biāo)系中,uuuO為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn) A, B滿足| OA |uuu uuu

9、uuu|OB | OA OB 2 ,uuuuuuuur則點(diǎn)集P|OPOAOB,| | | | 1,R所表示的區(qū)域面積為例3、如圖，在扇形OAB中,AOB 600, C為弧AB上不與A, B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),.下載可編輯umruur uuuOC xOA yOB，若 u x y (0）存在最大值，則的取值范圍為跟蹤練習(xí)：在正方形uuirujur設(shè) AE xAD【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、在正六邊形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，P為以AB為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn), uuuy AP ,則2x y的最小值為 .uuuumrujurABCDEF中，P是三角形CDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AP xAB yAF ,則x y的取

10、值范圍2、如圖，在平行四邊形 ABCD中，M ,N為CD邊的三等份點(diǎn),S為AM,BN的交點(diǎn)，Puur為邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為 SMN內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若PQuuuu uurxAM yBN，則 x y的取值范圍123、設(shè)D,E分別是 ABC的邊AB, BC上的點(diǎn)，AD AB, BE - BC ,若23uur uur uurDE 1AB2 AC （ i, 2為實(shí)數(shù)），則i 2的值為.4、梯形ABCD中，AD uuur uuu 括邊界），AP xABAB, AD DC 1, AB 3, P為三角形BCD內(nèi)一點(diǎn)（包 uuuyAD ,則x y的取值范圍.uur uur _ uur uuu5、已知 |OA

11、| 1,|OB | 於,OA OB0 ,點(diǎn)C在 AOB內(nèi)，且AOC 300 ,設(shè)uurOCuuu uur mmOA nOB,則m的值為n6、在正方形ABCD中, uuuuuur點(diǎn)，設(shè)AC xDEE為AB中點(diǎn)，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧上的任意 uuryAP ,貝U x y的最小值為 .uuuiruuu uuu uuur uuur7、已知|OM | |ON | 1 , OP xOM yON（x,y為實(shí)數(shù)）。若 PMN為以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則 x y取值的集合為uuu uuir uuuruuur8、平面內(nèi)有三個(gè)向量OA,OB,OC ,其中 OA,uurn uuu uuurnOB夾角為120°, OA,OC的夾角為30°,且uuu uur|OA| |OB| 1uuuuur uuu uuu|OC | 2V3 ,若 OC mOA nOB ,則 m n 的值為9、如圖，A, B,C是圓O上的三點(diǎn)，C