第三章流體靜力學(xué)

1、13 流體靜力學(xué)* *流體靜力學(xué)流體靜力學(xué)基本基本方程及流場靜止條件方程及流場靜止條件流體靜壓及計算流體靜壓及計算浮力浮力的計算的計算* *非慣性坐標系中的靜止流體特性非慣性坐標系中的靜止流體特性* *靜止流體對壁面的壓力靜止流體對壁面的壓力2 流體靜力學(xué)流體靜力學(xué)是研究作用于流體上的力的平衡問題。是研究作用于流體上的力的平衡問題。 3.13.1靜止流體的壓強特點靜止流體的壓強特點 對于流體，只有在運動狀態(tài)下才有可能存在切應(yīng)對于流體，只有在運動狀態(tài)下才有可能存在切應(yīng)力，而處于絕對靜止或相對靜止狀態(tài)的流體中，任何力，而處于絕對靜止或相對靜止狀態(tài)的流體中，任何一個面上都只有法向壓應(yīng)力的作用，也就是

2、壓強。其一個面上都只有法向壓應(yīng)力的作用，也就是壓強。其性質(zhì)如下：性質(zhì)如下：3 流體幾乎不能承受拉力流體幾乎不能承受拉力。 在靜止流體內(nèi)部，切應(yīng)力在靜止流體內(nèi)部，切應(yīng)力為零為零。 只有沿作用面內(nèi)法線方向只有沿作用面內(nèi)法線方向的應(yīng)力，即壓強。的應(yīng)力，即壓強。(1)(1)壓強作用方向沿作用面的內(nèi)法線方向壓強作用方向沿作用面的內(nèi)法線方向4若作用于微小面積若作用于微小面積A上的力為上的力為F，則，則壓強壓強 p p 為：為：AFpA0lim5(2)(2)壓強大小與作用面的方向無關(guān)壓強大小與作用面的方向無關(guān) 下面予以證明：在流場中取一微元四面體下面予以證明：在流場中取一微元四面體ABCD，過過D D點的三

3、個棱邊在坐標軸上。設(shè)斜面點的三個棱邊在坐標軸上。設(shè)斜面ABC的面積為的面積為dA。yxCzpzpxpypnBADdzdydx6作用在微元體上的外力應(yīng)平衡，在x方向有：0cos3121dApfdxdydzdydzpnxx將式( (a) )代入上式得：dxdydAdxdzdAdydzdA212121coscoscosyxCzpzpxpypnBADdzdydx由幾何關(guān)系得：7當微元體向當微元體向D點縮小時，點縮小時，dx 0,則則px=pn。同理同理可得：可得： py=pn pz=pn所以有所以有px=py=pz=pn。yxCzpzpxpypnBADdzdydx 因此，靜止流體因此，靜止流體在通過在

4、通過D D點的任意方點的任意方向上的壓強都相等。向上的壓強都相等。032nxxpdxfp8 3.2.1流體靜力學(xué)基本方程流體靜力學(xué)基本方程 在流體內(nèi)部取如圖示微元在流體內(nèi)部取如圖示微元六面體，分析微元體在六面體，分析微元體在x軸上的軸上的受力情況。受力情況。 x軸正向上壓力為軸正向上壓力為pdydz x負向壓力負向壓力p+(p/x)dxdydz3.23.2流體靜力學(xué)基本方程及靜止流場基本特性流體靜力學(xué)基本方程及靜止流場基本特性p+(p/x)dxpdzdydxzyx質(zhì)量力在質(zhì)量力在x軸方向上的分量為軸方向上的分量為fxdxdydz90)(dydzdxxpppdydzdxdydzfx則則x軸方向上

5、力的平衡方程為：軸方向上力的平衡方程為：整理得：整理得：,xfxpzyfzpfyp,(c)p+(p/x)dxpdzdydxzyx同理可得：同理可得：10pffpfp或或grad矢量式可表示為：矢量式可表示為：上式即為上式即為流體靜力學(xué)基本方程流體靜力學(xué)基本方程。它說明在靜。它說明在靜止流體內(nèi)部，壓強梯度等于流體的密度與質(zhì)止流體內(nèi)部，壓強梯度等于流體的密度與質(zhì)量力的乘積。量力的乘積。11將上式各式依次乘以將上式各式依次乘以dx，dy，dz后相加得：后相加得：)(dzfdyfdxfdzzpdyypdxxpzyx)(dzfdyfdxfdpzyx即即：壓差公式圓柱坐標系下的壓差公式為：)(dzfdrf

6、drfdpzrzyxfzpfypfxp12 將流體內(nèi)部壓強相等的點連接起來的曲將流體內(nèi)部壓強相等的點連接起來的曲面稱之為面稱之為等壓面等壓面。在等壓面上，。在等壓面上，p(x，y，z)=常數(shù)。常數(shù)。即即：0, 0dzfdyfdxfdpzyx即：上式即為上式即為等壓面方程等壓面方程。式中。式中 為等壓面上的為等壓面上的有向微元線段。它說明了質(zhì)量力與等壓面垂有向微元線段。它說明了質(zhì)量力與等壓面垂直直。ld0ldf矢量式為矢量式為：133.2.23.2.2靜止流場基本特性靜止流場基本特性 (1)(1)流體靜止時質(zhì)量力必須滿足的條件流體靜止時質(zhì)量力必須滿足的條件 對靜力學(xué)基本方程兩邊取旋度，有：對靜力

7、學(xué)基本方程兩邊取旋度，有：0)()1(1)(1)(pppppf則有：)()1(1)1()(ppppff140)()()(yfxffxfzffzfyffxyzzxyyzx0pp0)(ff由于，所以有，所以有即即流體靜止的必要條件流體靜止的必要條件在直角坐標系中為在直角坐標系中為：15例例3-13-1. 設(shè)在一流場中有質(zhì)量力：設(shè)在一流場中有質(zhì)量力：kyvxyxjxxzzizyzyf)2()2()2(222222問：當問：當,v取取何值時，該流場是靜止的。何值時，該流場是靜止的。16解：流場中流體靜止的條件是質(zhì)量力滿足式：解：流場中流體靜止的條件是質(zhì)量力滿足式：0)(ff0)()()(yfxffxf

8、zffzfyffxyzzxyyzx對給定的質(zhì)量力求偏導(dǎo)數(shù)：對給定的質(zhì)量力求偏導(dǎo)數(shù)：在直角坐標系中的表達式為：在直角坐標系中的表達式為：17yvxvyxxzxzzyzyyfxfzfxfzfyfzzyyxx222222222222將其帶入流體靜止條件得將其帶入流體靜止條件得：0) 1()1 () 1()1 ()1 () 1(222222yxvzxxzvxyvyzvzy18要使上式恒成立，只能是各項的系數(shù)為零，即要使上式恒成立，只能是各項的系數(shù)為零，即:01, 01, 01vv解三元一次方程組得解三元一次方程組得：21v只有滿足上述條件時，該流場中的流體才只有滿足上述條件時，該流場中的流體才是靜止的

9、。是靜止的。19(2)(2)質(zhì)量力有勢質(zhì)量力有勢 對于對于不可壓縮不可壓縮流體，其密度流體，其密度=const=const，則，則)(pfUf由上式由上式其中其中U為標量函數(shù)為標量函數(shù)。0f所以所以這是這是不可壓縮流體靜止的必要條件不可壓縮流體靜止的必要條件。)(pf兩邊取旋度兩邊取旋度：20 流體質(zhì)量力滿足這個關(guān)系就稱為質(zhì)量力有勢，因流體質(zhì)量力滿足這個關(guān)系就稱為質(zhì)量力有勢，因此質(zhì)量力有勢是不可壓縮流體靜止的必要條件此質(zhì)量力有勢是不可壓縮流體靜止的必要條件，U被被稱為質(zhì)量力勢函數(shù)。右邊的稱為質(zhì)量力勢函數(shù)。右邊的負號表示質(zhì)量力作正功等負號表示質(zhì)量力作正功等于質(zhì)量力勢的減少于質(zhì)量力勢的減少。(3)

10、有勢質(zhì)量力場中靜止流體的分界面有勢質(zhì)量力場中靜止流體的分界面 設(shè)有密度不同的兩種互不混合的流體，它們具有設(shè)有密度不同的兩種互不混合的流體，它們具有明確的分界面。在分界面上，明確的分界面。在分界面上，dp=0，即分界面為等壓，即分界面為等壓面，也可以說分界面是等勢面。面，也可以說分界面是等勢面。Uf21（4 4）正壓流場）正壓流場 流體密度只是壓力的函數(shù)的流場稱之為正壓流流體密度只是壓力的函數(shù)的流場稱之為正壓流場，即：場，即：)(p熱力學(xué)等溫過程的流場就是一種正壓流場，因熱力學(xué)等溫過程的流場就是一種正壓流場，因為等溫過程中為等溫過程中constp上式說明上式說明正壓流場中等壓面與等密度面重合正壓

11、流場中等壓面與等密度面重合，這是正壓流場的一個重要性質(zhì)。這是正壓流場的一個重要性質(zhì)。22ppf)(1兩邊取旋度并整理兩邊取旋度并整理：pppppf)()(1)(2由于等壓面與等密度面重合，所以由于等壓面與等密度面重合，所以 必然是平行矢量，所以必然是平行矢量，所以與p。0p正壓流場的流體靜力學(xué)基本方程可寫為正壓流場的流體靜力學(xué)基本方程可寫為：23結(jié)論結(jié)論：處于靜止的正壓流場，其質(zhì)量力必然有勢；反之，在質(zhì)量力有勢的條件下，處于靜止狀態(tài)的必然是正壓流場。因此有因此有 即靜止正壓流場的質(zhì)量即靜止正壓流場的質(zhì)量力有勢。力有勢。0f24思考題思考題 流體處于平衡狀態(tài)的必要條件是：流體處于平衡狀態(tài)的必要條

12、件是： （a a）流體無粘性）流體無粘性 （b b）流體黏度大）流體黏度大 （c c）質(zhì)量力有勢）質(zhì)量力有勢 （d d）流體黏度?。┝黧w黏度小253.33.3一些流體靜力學(xué)基本問題一些流體靜力學(xué)基本問題 在工程和科學(xué)中，有各種各樣的與重力場在工程和科學(xué)中，有各種各樣的與重力場靜止液體相關(guān)的問題，如過程工業(yè)中盛裝液體靜止液體相關(guān)的問題，如過程工業(yè)中盛裝液體的容器的受力，水壩和水閘等水工結(jié)構(gòu)的受力，的容器的受力，水壩和水閘等水工結(jié)構(gòu)的受力，船舶的浮力和浮力矩的設(shè)計，液壓機械受力等船舶的浮力和浮力矩的設(shè)計，液壓機械受力等等。等。26 (1) (1)重力場中靜止液體的壓力公式重力場中靜止液體的壓力公式

13、 在重力場中，液體所受到的質(zhì)量力只有重力：在重力場中，液體所受到的質(zhì)量力只有重力：p0phozygfffzyx00由于壓差公式為由于壓差公式為：gdzdp則積分得積分得：cgzp)(dzfdyfdxfdpzyx3.3.1 3.3.1 重力場靜止液體中的壓力分布與物體受力重力場靜止液體中的壓力分布與物體受力27若用距離自由液面的深度若用距離自由液面的深度h表示，則表示，則p=gh+c當當h=0時，時，p=p0，于是確定積分常數(shù)，于是確定積分常數(shù)c=p0，則：，則：0pghp上式即為重力場下均質(zhì)靜止液體中的壓力上式即為重力場下均質(zhì)靜止液體中的壓力分布公式。該公式是流體靜力學(xué)計算的基礎(chǔ)之分布公式。該

14、公式是流體靜力學(xué)計算的基礎(chǔ)之一。一。28思考題思考題靜止流場中的壓強分布規(guī)律：靜止流場中的壓強分布規(guī)律：（a a）僅適用于不可壓縮流體）僅適用于不可壓縮流體（b b）僅適用于理想流體）僅適用于理想流體（c c）僅適用于粘性流體）僅適用于粘性流體（d d）既適用于理想流體，也適用于粘性流體）既適用于理想流體，也適用于粘性流體29(2)(2)物體所受的浮力物體所受的浮力阿基米德定律阿基米德定律 完全浸沒或部分浸沒在液體中的物體，要受到液完全浸沒或部分浸沒在液體中的物體，要受到液體對它的作用力，其合力稱之為浮力。表示為：體對它的作用力，其合力稱之為浮力。表示為：pdAnFA其中，其中，“- -”表示

15、表示dA上的壓力與上的壓力與 相反相反。A為物體表面為物體表面面積，面積， 為表面單位法線矢量，為表面單位法線矢量，p p為物體表面所受的壓為物體表面所受的壓力。力。 nnz z0 0dAdAA,VA,VF Fp pp p0 0n n30完全浸沒物體的浮力完全浸沒物體的浮力 對于一個完全浸沒在液體中的物體，物體體積為對于一個完全浸沒在液體中的物體，物體體積為V，表面積為表面積為A液體密度為液體密度為，自由自由液體與大氣接觸，大氣液體與大氣接觸，大氣壓為壓為p0，物體表面所受壓力為：，物體表面所受壓力為：pdAnrMA)(以坐標原點為參數(shù)點，物體所受的合力矩為以坐標原點為參數(shù)點，物體所受的合力矩

16、為：gzpp0310 0dAdAA,VA,VF Fz zp pp p0 0n n則浮力為則浮力為dAgzpnpdAnFAA)(0由于由于p0為常數(shù)為常數(shù)，00dApnA故有故有根據(jù)奧根據(jù)奧- -高公式有：高公式有： gzdAnFAkgVdVkgzdVggzdAnFVVA上式表明，物體所受到的浮力等于其所排開的液上式表明，物體所受到的浮力等于其所排開的液體的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。體的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。32部分浸沒物體的浮力部分浸沒物體的浮力0dAA1,V1Fzpp0nA2,V2gzdAndApngzdAndApndApngzdAndApnpdAnFAAAAAAAA

17、A1211211210000)(物體的浮力可寫成：物體的浮力可寫成：33假定沿自由液面切割物體，物體切割面假定沿自由液面切割物體，物體切割面的面積為的面積為A0，顯然有，顯然有00gzdAnA于是于是A1，A0構(gòu)成封閉面，構(gòu)成封閉面，應(yīng)用奧應(yīng)用奧-高公式有高公式有：101011VAAAAkgVzdVggzdAngzdAngzdAnF0dAA1,V1Fzpp0nA2,V2A034上式表明，部分浸沒的物體受的浮力同樣等于其上式表明，部分浸沒的物體受的浮力同樣等于其所排開的液體的重量，方向垂直向上。于是可將所排開的液體的重量，方向垂直向上。于是可將液體中的物體受的浮力寫成：液體中的物體受的浮力寫成：

18、kgVF浸浸沒物體的浮力力矩浸沒物體的浮力力矩dViyjxgpdAnrMVA)()(35 由于合力和合力矩是相互垂直的，即由于合力和合力矩是相互垂直的，即 設(shè)浮力中心位于設(shè)浮力中心位于x=xc，y=yc，則浮力中心的矢徑則浮力中心的矢徑 為為 ，于是根據(jù)于是根據(jù) 有有 FMjyixrccMFrdViyjxgjgVxigVyFrVcc)(解出浮力中心坐標為解出浮力中心坐標為：VcVcydVVyxdVVx,1,136例題例題.邊長邊長a=1m的立方體，上半部分的比重的立方體，上半部分的比重為為0.6，下半部分的比重是，下半部分的比重是1.4，平衡于兩層，平衡于兩層不相混合的液體中，上層液體比重為不

19、相混合的液體中，上層液體比重為0.9，下，下層液體比重為層液體比重為1.3，試求立方體底面在兩種液，試求立方體底面在兩種液體交界面下面的深度體交界面下面的深度x（水的重度為（水的重度為9810N/m3）。）。37解：物體重量為：)4 . 16 . 0(981023aG物體受到的浮力為： F=a2(a-x)98100.9+a2x98101.3由于兩者平衡：G=F （a3/2） (0.6+1.4)=a2(a-x) 0.9+x 1.3由a=1m， 1=0.9+0.4x， 所以x=0.25m383.3.23.3.2非慣性坐標系非慣性坐標系中的靜止液體中的靜止液體 流體靜力學(xué)基本方程式是對流體靜力學(xué)基本

20、方程式是對慣性坐標系慣性坐標系建立的，建立的，在在非慣性坐標系非慣性坐標系中，流體處于相對靜止狀態(tài)，則其中，流體處于相對靜止狀態(tài)，則其表面力仍然具有各向同性和切應(yīng)力為零的性質(zhì)，因表面力仍然具有各向同性和切應(yīng)力為零的性質(zhì)，因此，基本方程同樣可以成立。不同的是此，基本方程同樣可以成立。不同的是在非慣性坐在非慣性坐標系中，流體處于靜止狀態(tài)，其所受的力還應(yīng)包括標系中，流體處于靜止狀態(tài)，其所受的力還應(yīng)包括慣性力，即基本方程中的慣性力，即基本方程中的質(zhì)量力應(yīng)為重力和慣性力質(zhì)量力應(yīng)為重力和慣性力兩部分之和兩部分之和。39直線等加速運動容器中的靜止液體直線等加速運動容器中的靜止液體 如圖，一個盛有液體的容器相

21、對于地面作直如圖，一個盛有液體的容器相對于地面作直線勻加速運動，線勻加速運動， 其加速度其加速度 為為：akajaiaazyx如果將非慣性坐標系固定在容器上，則根據(jù)如果將非慣性坐標系固定在容器上，則根據(jù)達朗貝爾原理，該非慣性坐標系中的流體將受到達朗貝爾原理，該非慣性坐標系中的流體將受到慣性力的作用，且單位質(zhì)量流體受到的慣性力為慣性力的作用，且單位質(zhì)量流體受到的慣性力為-a。zga-afx040gaf將上式代入基本方程得將上式代入基本方程得：pag1于是容器中單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力就由慣性力和于是容器中單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力就由慣性力和重力兩部分組成：重力兩部分組成：其直角坐標系下的分量式為其直角坐

22、標系下的分量式為：zpagypagxpagzzyyxx1,1,1zga-afx041則非慣性坐標系中靜止液體壓力的全微分可以表則非慣性坐標系中靜止液體壓力的全微分可以表示為示為：)()()(dzagdyagdxagdpzzyyxx由于加速度恒定，積分可得流體的壓力分布由于加速度恒定，積分可得流體的壓力分布：czagyagxagpzzyyxx)()()(其中：其中：c c為積分常數(shù)，由具體問題確定為積分常數(shù)，由具體問題確定。42ozax h例題例題：如圖為運送液體的槽車簡化模型。槽：如圖為運送液體的槽車簡化模型。槽車以等加速度車以等加速度a做水平運動，車內(nèi)液高做水平運動，車內(nèi)液高H，試，試求槽車

23、在等加速運動過程中求槽車在等加速運動過程中自由液面的形狀自由液面的形狀。假定自由液面的壓力為假定自由液面的壓力為p0。430,0,0,0zyxzyxaaaagggg帶入壓力全微分公式帶入壓力全微分公式：)(gdzadxdp解解：將固定在槽車上的運動：將固定在槽車上的運動坐標系的原點置于坐標系的原點置于靜止時自由液面的中點靜止時自由液面的中點。則槽車運動時單位質(zhì)。則槽車運動時單位質(zhì)量液體受到的重力和液體的量液體受到的重力和液體的加速度加速度分量分別為：分量分別為：ozax h由于自由液面為等壓面，由于自由液面為等壓面，dp=0，所以有，所以有44adx=-gdz積分得積分得 z =-ax/g+c

24、自由液面通過原點，則自由液面通過原點，則c=0，則自由液面方程則自由液面方程為為： xgazs 說明自由液面是斜率為說明自由液面是斜率為- -a/g的傾斜平面的傾斜平面。 此外，槽車內(nèi)液體的壓力分布為此外，槽車內(nèi)液體的壓力分布為：cgzaxp)(45改寫成改寫成：)(0zxgagppghpp0)(0gzaxpp)/(zgax式中式中 項正好等于液體自由液面以下項正好等于液體自由液面以下的垂直深度的垂直深度h，0pc 可確定可確定則：此式表明，在非慣性坐標系中，靜止液體中壓力此式表明，在非慣性坐標系中，靜止液體中壓力同樣只是液體深度的函數(shù)同樣只是液體深度的函數(shù)。ozx ha46練習(xí)練習(xí)： 一加滿

25、水的柱體直徑為一加滿水的柱體直徑為30cm30cm，60cm60cm高，問逐高，問逐漸加上多少加速度會溢出漸加上多少加速度會溢出1/41/4的水量？的水量？1/21/2的水量？的水量？全部的水量？全部的水量？ 60cm30cm水量水量47 60cm30cm水量水量48如圖，是一個旋轉(zhuǎn)容器，容器如圖，是一個旋轉(zhuǎn)容器，容器半徑為半徑為R。靜止狀態(tài)時，裝有深度。靜止狀態(tài)時，裝有深度為為H的液體。的液體。 當容器以角速度當容器以角速度做等速旋轉(zhuǎn)做等速旋轉(zhuǎn)時，液體除受到重力作用外還要受時，液體除受到重力作用外還要受到離心慣性力的作用。到離心慣性力的作用。 則單位質(zhì)量流體的重力分量為則單位質(zhì)量流體的重力分

26、量為等角速度旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)液體的相對平衡xzhOyxr2y2x20yxrggggzyx, 0, 0490sincos2222zyxayraxra由達郎貝爾原理，單位質(zhì)量流體受到的慣性力為由達郎貝爾原理，單位質(zhì)量流體受到的慣性力為-a，大小為，大小為r2，其分量為，其分量為 于是，容器中液體所受的單位質(zhì)量力為于是，容器中液體所受的單位質(zhì)量力為：fx=2rcos =2 xfy= 2rsin =2 yfz=-gyxr2y2x20yxr50將質(zhì)量力代入全微分公式有將質(zhì)量力代入全微分公式有：dp= (2 xdx+2 ydy -gdz)由于等壓面上由于等壓面上dp=0,則等壓面方程則等壓面方程: 2 xdx+

27、2 ydy -gdz=0積分積分: 2202222221,0,0,021,2rgzCzrCgzrCgzyxxzOz0zh51壓強分布為壓強分布為:ghzzgzrggpppCppzrCzrggp)()21(,0,0)21(02200022xzOz0zh52高速回轉(zhuǎn)圓筒內(nèi)的流體壓力分布 如離心機轉(zhuǎn)鼓，轉(zhuǎn)速少則幾百轉(zhuǎn)，如離心機轉(zhuǎn)鼓，轉(zhuǎn)速少則幾百轉(zhuǎn)，多則數(shù)萬轉(zhuǎn)。那么這種情況下，液體內(nèi)多則數(shù)萬轉(zhuǎn)。那么這種情況下，液體內(nèi)部的壓力分布及自由面是什么樣呢？部的壓力分布及自由面是什么樣呢？53高轉(zhuǎn)速使液體所受的旋轉(zhuǎn)慣性力遠大于重高轉(zhuǎn)速使液體所受的旋轉(zhuǎn)慣性力遠大于重力。此時，壓力全微分公式力。此時，壓力全微分公式

28、-gdz項可以忽項可以忽略，即略，即 dp= ( 2 xdx+ 2 ydy-gdz)可簡化為：可簡化為： dp=2(xdx+ydy)而等壓液面方程則近似為：而等壓液面方程則近似為： 2 r 2/ 2=C 近似為圓柱面，令自由液面的圓柱面半徑近似為圓柱面，令自由液面的圓柱面半徑為為r0。5455積分積分：pprrrdrdp002整理后整理后：)(220220rrpp 該式為離心機設(shè)計和操作分析中經(jīng)常用到的該式為離心機設(shè)計和操作分析中經(jīng)常用到的壓力分布關(guān)系式壓力分布關(guān)系式。56例.有一容器繞o-o?軸勻速旋轉(zhuǎn)，n=60000rpm，已知R=50mm,r0=10mm,H=1000mm,靜止時水面高度

29、h=900mm。試求：r=30mm處的壓強。57解：在高速旋轉(zhuǎn)時，容器內(nèi)液體將形成圓柱環(huán)，設(shè)內(nèi)環(huán)半徑為r1，則)(2308 .151000)50(90050)(2122001121222122rrppmmrrrmmrrHrRhR處的壓強為則則液體不會溢出。，解得：58MPan9 .12)0158. 003. 0()30(2100010132522259例：圖示為盛滿液體的容器頂蓋中心處例：圖示為盛滿液體的容器頂蓋中心處開口，當容器以等角速度開口，當容器以等角速度 繞垂直軸繞垂直軸z旋旋轉(zhuǎn)時，液體借離心力向外甩，但是受頂轉(zhuǎn)時，液體借離心力向外甩，但是受頂蓋限制，液面不能形成拋物面。試分析蓋限制，

30、液面不能形成拋物面。試分析液體內(nèi)的壓力分布。液體內(nèi)的壓力分布。z0RBpa 60液體內(nèi)各點的壓強分布符合下式，即液體內(nèi)各點的壓強分布符合下式，即 gzrCp222常數(shù)常數(shù)C，可利用，可利用r=0，z=0，p=pa確定，即確定，即C=pa。故。故 gzrppa222z0RBpa 61222RppaB 故作用于頂蓋上（故作用于頂蓋上（z=0）各點的壓力仍按）各點的壓力仍按拋物面分布，如圖箭頭所示，邊緣拋物面分布，如圖箭頭所示，邊緣B處處 邊緣邊緣B處（處（r=R，z=0）壓力最大為（表壓）壓力最大為（表壓）:222RpppaBgz0RBpa 62可知可知 越大，則邊緣越大，則邊緣處壓力越大，處壓力

31、越大，離心鑄造離心鑄造就就是依據(jù)此原理，即通過離是依據(jù)此原理，即通過離心鑄造機的高速旋轉(zhuǎn)而增心鑄造機的高速旋轉(zhuǎn)而增大鑄模外緣處液態(tài)金屬的大鑄模外緣處液態(tài)金屬的壓力，從而得到較密實的壓力，從而得到較密實的鑄件。鑄件。z0RBpa 63例例.盛滿液體的容器頂蓋邊緣處開盛滿液體的容器頂蓋邊緣處開 口，當其旋口，當其旋轉(zhuǎn)時，液體借離心慣性力而向外甩，但當液體轉(zhuǎn)時，液體借離心慣性力而向外甩，但當液體剛要甩出容器時，在容器內(nèi)部即產(chǎn)生真空，緊剛要甩出容器時，在容器內(nèi)部即產(chǎn)生真空，緊緊吸住液體，以致液體跑不出去。試分析液體緊吸住液體，以致液體跑不出去。試分析液體內(nèi)的壓強分布及內(nèi)的壓強分布及o點處的真空度。點處

32、的真空度。0RBpaz DC A64gzrCp222利用利用r=R，z=0時時 p=pa，以確定常數(shù)，以確定常數(shù)C, 即即222RpCa流體內(nèi)各點的壓強分布符合下式，即流體內(nèi)各點的壓強分布符合下式，即65gzRrppa)(2222z=0, r=0 處真空度為處真空度為222Rpppav0RBpaz DC A66 由上式可知，由上式可知， 越大則越大則0點處的真空越大，點處的真空越大，離心式離心式水泵和離心式風(fēng)機水泵和離心式風(fēng)機就是根就是根據(jù)此原理設(shè)計的，當葉輪據(jù)此原理設(shè)計的，當葉輪旋轉(zhuǎn)時，在葉輪中心處形旋轉(zhuǎn)時，在葉輪中心處形成真空，流體被吸入，又成真空，流體被吸入，又借離心力將流體甩向外緣，借

33、離心力將流體甩向外緣，增大壓力后輸送出去。增大壓力后輸送出去。 0RBpaz DC A67在生產(chǎn)實際中，可根在生產(chǎn)實際中，可根據(jù)旋轉(zhuǎn)容器中液面高度的據(jù)旋轉(zhuǎn)容器中液面高度的變化來測定旋轉(zhuǎn)角速度。變化來測定旋轉(zhuǎn)角速度。因為旋轉(zhuǎn)前后容器內(nèi)液體因為旋轉(zhuǎn)前后容器內(nèi)液體體積不會改變。旋轉(zhuǎn)后中體積不會改變。旋轉(zhuǎn)后中間出現(xiàn)一個被旋轉(zhuǎn)拋物面間出現(xiàn)一個被旋轉(zhuǎn)拋物面包圍的空腔，當空腔的底面半徑為包圍的空腔，當空腔的底面半徑為R，即與容，即與容器半徑相當時，有器半徑相當時，有)(022122HHRHRhR68化簡后可得化簡后可得：hHH20根據(jù)自由表面方程根據(jù)自由表面方程：grz22200222HHgRRr處，有在由

34、（由（1）、（）、（2）兩式得）兩式得)(20HhgR69例題例題1: d=300mm, H=500mm敞口圓柱形容器中，注水高度敞口圓柱形容器中，注水高度為為h1=300mm，容器繞軸作等，容器繞軸作等角速度旋轉(zhuǎn)。角速度旋轉(zhuǎn)。1.確定使水的自由界面正好達到容確定使水的自由界面正好達到容器邊緣時的轉(zhuǎn)數(shù)器邊緣時的轉(zhuǎn)數(shù)n1;2.求拋物面頂端碰到容器底時的轉(zhuǎn)求拋物面頂端碰到容器底時的轉(zhuǎn)數(shù)數(shù)n2,此時容器停止旋轉(zhuǎn)后，水面高此時容器停止旋轉(zhuǎn)后，水面高度度h2將為多少？將為多少？70解：1.根據(jù)可得H0=2h1-H=2300-500 =100mm此時角速度為102hHHsradHhgR/676.1810)

35、100300(81. 9101502)(2330171rpmn17814. 3676.1830301則2.2.（方法一）當拋物面頂端碰到容器底時，將（方法一）當拋物面頂端碰到容器底時，將會有一部分水被拋離容器。根據(jù)自由表面方程會有一部分水被拋離容器。根據(jù)自由表面方程grz2220有HgR22272sradRgH/88.20101501050081. 9226232即rpmn19914. 388.2030302于是gRrdrgrdVVRV42242022為此時容器內(nèi)液體的體積帶入數(shù)據(jù)后得帶入數(shù)據(jù)后得：則水面高度為則水面高度為：mRVh25.02273rpmnsrHhgRmmhhHH19930/8

36、8.201025081. 9101502)(225020500223300則得由743.4 3.4 靜止流體對壁面的壓力靜止流體對壁面的壓力 工程上不僅需要知道流體內(nèi)部的壓強分工程上不僅需要知道流體內(nèi)部的壓強分布規(guī)律，而且需要知道與流體接觸的不同形布規(guī)律，而且需要知道與流體接觸的不同形狀、不同位置的固體壁面上所受到的流體對狀、不同位置的固體壁面上所受到的流體對它的作用力以及這種力的計算方法。它的作用力以及這種力的計算方法。75作用在傾斜平面上的總壓力作用在傾斜平面上的總壓力假設(shè)假設(shè)AB為一塊面為一塊面積為積為A的任意形狀的任意形狀的平板，傾斜放置的平板，傾斜放置在靜止的密度為在靜止的密度為的液

37、體中，它與液的液體中，它與液體自由表面的夾角體自由表面的夾角為為 ，液體自由表，液體自由表面上的壓強為面上的壓強為p0yo hcDBAhchDp076xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp0 把平板把平板AB繞繞oy軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動動90正視圖正視圖 取一微元面積取一微元面積dA，作用在它中心點的壓作用在它中心點的壓強為強為p，且，且p=p0+gh 由于由于dA取得足夠小，可以認為作取得足夠小，可以認為作用在它上面的液體的壓強都等于用在它上面的液體的壓強都等于p。因此作用在因此作用在dA上的合力應(yīng)為：上的合力應(yīng)為：77dAgydApdAghpdApdFsin)(00因為流體是靜止的，

38、因為流體是靜止的，不存在切向力，所以作用不存在切向力，所以作用在整個平板上的壓力都垂在整個平板上的壓力都垂直于平板。因此，作用在直于平板。因此，作用在平板上的合力為平板上的合力為AAAydAgApdAgydApFsinsin00式中式中cAyAydA為平板面積對為平板面積對x軸的面積矩軸的面積矩xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp078xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp0所以有所以有AghpyAgApFcc)(sin00由此可知，由此可知，在靜止液體在靜止液體中，作用在平面上的合中，作用在平面上的合力等于作用在該平面幾力等于作用在該平面幾何中心點處的靜壓強

39、與何中心點處的靜壓強與該平面面積的乘積該平面面積的乘積。思考題：思考題：合力的作用點是否在平板中心合力的作用點是否在平板中心？79總壓力的作用點總壓力的作用點xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp0總壓力的作用線與平總壓力的作用線與平面的交點即為總壓力的作面的交點即為總壓力的作用點，也叫用點，也叫壓力中心壓力中心。由。由于每一個微小面積上所受于每一個微小面積上所受的壓力對的壓力對x軸的靜力矩之和軸的靜力矩之和應(yīng)該等于作用在面積應(yīng)該等于作用在面積A上的上的合力對合力對x軸的靜力矩，即軸的靜力矩，即ADydFyF80上式可進一步寫成上式可進一步寫成ydAgypyAghpADc)si

40、n()(00AADcdAygydApyAgyp200sin)sin(式中式中AypydApcA00根據(jù)力學(xué)中慣性矩的定義知根據(jù)力學(xué)中慣性矩的定義知xAJdAy2xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp081根據(jù)根據(jù)移軸定理移軸定理得得xyo hyDycyyccxDDBBAAdAhchDp0AyJJccxx2其中其中Jx為平面為平面A對對x軸的慣性軸的慣性矩；矩；Jcx為平面為平面A對于通過幾對于通過幾何中心何中心c并與并與x軸平行的軸的軸平行的軸的慣性矩。慣性矩。 于是可得平板的壓力中心于是可得平板的壓力中心：AgypgJyAgypAyJgAypyccxccccxcD)sin(s

41、in)sin()(sin002082如果僅僅需要知道相對壓強如果僅僅需要知道相對壓強gh作用在面積作用在面積A上的合力作用點（上的合力作用點（相對壓力中心相對壓力中心）時，令）時，令p0=0，則得則得AyJyyccxcD故有故有,cDyy由此可見，壓力中心總是在平由此可見，壓力中心總是在平面的幾何中心之下。面的幾何中心之下。83幾種平面圖形的幾種平面圖形的Jcx、yc平面圖形平面圖形圖形頂點到形圖形頂點到形心的距離心的距離yc對對c-cc-c軸慣性矩軸慣性矩Jcx3121bll213361bl441Rl32Rba341a84例例：一平面閘門，高：一平面閘門，高H=1m，支撐點，支撐點o的高度的高度a =0.4m，問當水深，問當水深h增至多大時，閘門將會增至多大時，閘門將會繞繞o點自動打開？點自動打開？不考慮大氣壓強，計算時不考慮大氣壓強，計算時閘門