等邊三角形的性質(zhì)和判定

1、 1探索等邊三角形的性質(zhì)和判定2能運用等邊三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行計算和證 明 A AB BC C等邊對等角等邊對等角三線合一三線合一等角對等邊等角對等邊兩邊相等兩邊相等兩腰相等兩腰相等軸對稱圖形軸對稱圖形知識回顧知識回顧 聯(lián)系：聯(lián)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形；等邊三角形是特殊的等腰三角形；區(qū)別：區(qū)別：等邊三角形有三條相等的邊，而等腰三角形等邊三角形有三條相等的邊，而等腰三角形 只有兩條只有兩條. .創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新知請分別畫出一個等腰三角形和等邊三角形，結(jié)合請分別畫出一個等腰三角形和等邊三角形，結(jié)合 你畫的圖形說出它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？你畫的圖形說出它們有什么區(qū)別和聯(lián)系？

2、ABCABCA AB BC C證明：證明：ABC 是等邊三角形，是等邊三角形， BC = =AC，BC = =AB A =B，A = =C A =B = =C A +B + +C = =180， A = =60 A =B = =C = =60細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)已知：已知：ABC 是等邊三角形是等邊三角形 求證：求證：A =B =C = =60ABC符號語言：符號語言：ABC 是等邊三角形，是等邊三角形，A =B = =C = =60細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì) 等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的性質(zhì)： 等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等等邊三角形的三個內(nèi)角都相等

3、，并且每一個角都等 于于60. .ABCA AB BC C? ?A AB BC C等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)2.2.等邊三角形的內(nèi)角都相等等邊三角形的內(nèi)角都相等, ,且等于且等于60 60 3.等邊三角形等邊三角形各邊各邊上中線上中線,高和所對角的平高和所對角的平分線都三線合一分線都三線合一.4.等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.1 .三條邊相等三條邊相等細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對應(yīng)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對應(yīng) 的結(jié)論嗎？的結(jié)論嗎？ 細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)結(jié)合等腰三角

4、形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對應(yīng)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對應(yīng) 的結(jié)論嗎？的結(jié)論嗎？ 相等相等每個角都等于每個角都等于60 相等相等每個角都等于每個角都等于60細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對應(yīng)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對應(yīng) 的結(jié)論嗎？的結(jié)論嗎？ 是（三線合一）是（三線合一） 三條對稱軸三條對稱軸思考思考1一個三角形的三個內(nèi)角滿足什么條件是等一個三角形的三個內(nèi)角滿足什么條件是等 邊三角形？邊三角形？ 三個角都相等的三角形或者一個角為三個角都相等的三角形或者一個角為60的等腰三的等腰三 角形角形思考思考2一個等腰三角形滿足

5、什么條件是等邊三角一個等腰三角形滿足什么條件是等邊三角 形？形？細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)問題等邊三角形除了用定義（即用邊）來判定以問題等邊三角形除了用定義（即用邊）來判定以 外，能否利用角來判定呢？外，能否利用角來判定呢？A AB BC C符號語言：符號語言：在在ABC 中，中， A=B =C ， ABC 是等邊三角形是等邊三角形細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)等邊三角形的判定定理等邊三角形的判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形 C A B 證明：證明：A =B，B =C ，BC = =AC， AC = =ABAB = =BC = =AC

6、 ABC 是等邊三角形是等邊三角形已知：在已知：在ABC 中，中，A=B=C求證：求證：ABC 是等邊三角形是等邊三角形細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)C A B A AB BC C細(xì)心觀察，探索性質(zhì)細(xì)心觀察，探索性質(zhì)等邊三角形的判定定理等邊三角形的判定定理2： 有一個角為有一個角為60的等腰三角形是等邊三角形的等腰三角形是等邊三角形 C A B 符號語言：符號語言：在在ABC 中，中，BC = =AC，A = =60，ABC 是等邊三角形是等邊三角形等邊三角形的判定定理等邊三角形的判定定理1： 三個角都相等的三角形是等邊三角形三個角都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形的判定定理等邊三角形

7、的判定定理2： 有一個角為有一個角為60的等腰三角形的等腰三角形 細(xì)心觀察，概括歸納細(xì)心觀察，概括歸納判定等邊三角形的方法：判定等邊三角形的方法：從邊的角度：從邊的角度：等邊三角形的定義；等邊三角形的定義；從角的角度：從角的角度：等邊三角形的兩條判定定理等邊三角形的兩條判定定理 等邊三角形的判定方法等邊三角形的判定方法: :1.1.三邊相等的三角形是等邊三角形三邊相等的三角形是等邊三角形. .2.三個內(nèi)角都等于三個內(nèi)角都等于60 （或三個內(nèi)（或三個內(nèi)角都相等）的三角形是等邊三角形角都相等）的三角形是等邊三角形.3.有一個內(nèi)角等于有一個內(nèi)角等于60 的等腰三角的等腰三角形是等邊三角形形是等邊三角

8、形.例例4 等邊三角形等邊三角形ABC的周長等于的周長等于21，求：（求：（1）各邊的長；）各邊的長； （2）各角的度數(shù)。）各角的度數(shù)。解：（1）ABBCCA， 又 ABBCCA21（已知）ABBCCA21/37（）（2）ABBCCA，（已知），（已知）A BC60（等邊三角形的每個內(nèi)角都等于（等邊三角形的每個內(nèi)角都等于60） ABC、下列四個說法中，不正確的有（、下列四個說法中，不正確的有（ ）（A）0個（個（B）1個（個（C）2個（個（D）3個個三個角都相等的三角形是等邊三角形。三個角都相等的三角形是等邊三角形。有兩個角等于有兩個角等于60的三角形是等邊三角形。的三角形是等邊三角形。有一個

9、角是有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形。的等腰三角形是等邊三角形。有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形。有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形。、等邊三角形的對稱軸有（、等邊三角形的對稱軸有（ ）（A）1條（條（B）2條（條（C）3條（條（D）4條條、等邊三角形中，高、中線、角平分線共有（、等邊三角形中，高、中線、角平分線共有（ ）（A）3條（條（B）6條（條（C）9條（條（D）7條條 （選擇）（選擇）（1 1）在邊）在邊ABAB，ACAC，分別截取，分別截取AD=AEAD=AE（2 2）ADE=60ADE=60，D D，E E分別在邊分別在邊ABAB，ACAC上上（3 3）過邊）過邊ABA

10、B上上D D點，作點，作DEBCDEBC，交，交 ACAC于于E E點點ABCDE證明：證明： ABC 是等邊三角形，是等邊三角形， A =B = =C = =60 DEBC， B = =ADE，C = =AED A=ADE = =AED ADE 是等邊三角形是等邊三角形動腦思考，例題解析動腦思考，例題解析例例1如圖，如圖，ABC 是等邊三角形，是等邊三角形，DEBC, , 分分別交別交AB，AC 于點于點D，E求證：求證：ADE 是等邊三角形是等邊三角形. . 追問本題還有其他證法嗎？追問本題還有其他證法嗎？ ABCDE證明：證明：ABC 是等邊三角形，是等邊三角形， A =ABC =ACB

11、 = =60 DEBC， ABC = =ADE， ACB =AED. . A =ADE = =AED. . ADE 是等邊三角形是等邊三角形. .動腦思考，變式訓(xùn)練動腦思考，變式訓(xùn)練變式變式1若點若點D、E 在邊在邊AB、AC 的延長線上，且的延長線上，且 DEBC，結(jié)論還成立嗎？，結(jié)論還成立嗎？ ADEBC動腦思考，變式訓(xùn)練動腦思考，變式訓(xùn)練變式變式2若點若點D、E 在邊在邊AB、AC 的反向延長線上，的反向延長線上，且且DEBC，結(jié)論依然成立嗎？，結(jié)論依然成立嗎？ 證明：證明： ABC 是等邊三角形，是等邊三角形， BAC =B = =C = =60 DEBC， B = =D，C = =E

12、 EAD =D = =E ADE 是等邊三角形是等邊三角形ADEBC這是兩個等邊三角形,那么請移動三根火柴,將此圖變成四個等邊三角形.提示:此題并不難,如果外部不能解決,那么 想想里面吧.A AB BC C三個角都相等，且都為三個角都相等，且都為6060三線合一三線合一三條邊都相等三條邊都相等軸對稱圖形，有三條對稱軸軸對稱圖形，有三條對稱軸A AB BC CBACD將兩個含有30的直角三角板如圖擺放在一起你能借助這個圖形,找到RtABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎?ABC與ADC關(guān)于AC軸對稱ABADABD是等邊三角形又ACBDBCDC1/2AB你還能用其他方法證明嗎?BACD在直角

13、三角形中,如果一個銳角等于30那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.A）30BC在直角ABC中A30AC2BC下圖是屋架設(shè)計圖的一部分,點D是斜梁AB的中點,立柱BC、 DE垂直于橫梁AC,AB7.4m,A30立柱BC 、 DE要多長?ABDEC解:DEAC, BCAC, A30可得 2BCAB, 2DEAD BC1/2 7.43.7m又 AD1/2 ABDE1/2 AD1/2 3.71.85m答:立柱BC的長是3.7m,DE的長是1.85m. 1 如圖,在ABC 中C=90,B=15,AB的垂直平分線交BC于D,交AB于M,且BD=8,求AC之長.MCBDA 2 如圖,在ABC 中,AB=AC, A=120,AB的垂直平分線 MN交BC于M,交AB于N, 求證:CM=2BMNMCBA2、在RtABC 中， 如果B 0 ， A 30 ，CD是高， （1）BD=1，則BC、AB各等于多少； （2）求證：BD=1/2BC=1/4AB解（1）由已知可求得 BD= 30 于是在RtADC 與RtBDC 中用本定理得BC=2，AB=4 （2）在RtAD