構(gòu)造法在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用

1、構(gòu)造法在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，他很好地表達(dá)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也浸透著猜想、試驗(yàn)、探究、歸納、概括、特殊化等重要的數(shù)學(xué)方法，對培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)新精神，豐富我們的想象力，進(jìn)步我們分析問題和解決問題的才能大有裨益。那么，如何去構(gòu)造呢？構(gòu)造法的內(nèi)涵相當(dāng)豐富，他以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問題的特殊性為根底，針對詳細(xì)問題的特點(diǎn)而采用相應(yīng)的解決方法。因此，在解題的過程中就要就學(xué)生思路開闊、觀察細(xì)微、思維靈敏、勇于創(chuàng)新，變抽象為詳細(xì)、陌生為熟悉，使問題得到巧妙解決。一般來說用構(gòu)造法解題有如下幾個(gè)步驟：觀察、分析題目的條件和結(jié)論，有時(shí)要對條件和結(jié)論作適當(dāng)變形。聯(lián)想熟悉的

2、與條件或結(jié)論有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)形式。構(gòu)造心得數(shù)學(xué)形式。用構(gòu)造出的數(shù)學(xué)形式溝通解題思路，解決原問題。常用于構(gòu)造法的數(shù)學(xué)形式有函數(shù)、方程、恒等式、圖形、配對式、不等式、中介媒體等，還有一些特殊的如反例、特例、等價(jià)命題等形式。其中尤以前四種應(yīng)用最為廣泛。下面我們就這幾個(gè)方面選幾例來說明。一、構(gòu)造函數(shù)通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來化解問題，可以解決許多不等式和代數(shù)式的求值問題。例1：第七屆美國奧賽試題a、b、c、d、e是滿足a+b+c+d+e=8， a2+b2+c2+d2+e2=16的實(shí)數(shù)，試確定e的最大值.分析：觀察條件a+b+c+d+e=8， a2+b2+c2+d2+e2可以聯(lián)想到：x-a2+

3、x-b2=2x2-2a+b+a2+b2，因此可以構(gòu)造函數(shù)y=x-a2+x-b2+x-c2+x-d2.二、構(gòu)造方程構(gòu)造方程，考慮應(yīng)用韋達(dá)定理或其他方法構(gòu)造出系數(shù)含有該變量的一元二次方程，然后用判別式證明：例2：2007?數(shù)學(xué)周報(bào)?杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題實(shí)數(shù)a、b、c滿足abc，且ab+bc +ca=0，abc=1，求最大的實(shí)數(shù)k，使得不等式|a+b|k|c|恒成立。分析：由條件可得聯(lián)想到一元二次方程。解：構(gòu)造一元二次方程，有可知c0，解得，當(dāng) 時(shí)取等號所以最大實(shí)數(shù)k=4.三、構(gòu)造恒等式需要我們在平時(shí)的積累，在看到題目時(shí)能聯(lián)想到熟悉的恒等式。例3：1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題假設(shè)方程x-ax-8

4、-1=0有兩個(gè)整數(shù)根，求a的值。分析：有可構(gòu)造恒等式x-x1x-x2。四、構(gòu)造圖形即數(shù)形結(jié)合的方法，當(dāng)求證的結(jié)論或條件有較明顯的幾何意義時(shí)，應(yīng)用構(gòu)造圖形法，往往可以快捷地解決問題，同時(shí)也需要有對式子的敏感。例4：a、b、c0，滿足關(guān)系式，a2+b2=c2，求證：an+bn1個(gè)整數(shù)可以一樣a1，a2，an滿足a1+a2+an=a1a2an=2007。求n的最小值。分析：條件中的a1，a2，an是無差異的，因此我們可以構(gòu)造不等式a1+a2+a3a1+a1+a1，使a1，a2，a3 有差異。由以上例題可知，假設(shè)從構(gòu)造的方法來分析，有分析題設(shè)或結(jié)論的本身特征、找與題設(shè)或結(jié)論有必然聯(lián)絡(luò)的形式、聯(lián)想與題設(shè)

5、或結(jié)論有相似的構(gòu)造形式、挖掘題設(shè)或結(jié)論的幾何意義、將題設(shè)或結(jié)論與相關(guān)的命題進(jìn)展類比構(gòu)造等方法。這些方法從以上的例題中都能表達(dá)出來：分析題設(shè)或結(jié)論的本身特征。有些題的題設(shè)或結(jié)論中隱含著問題的本質(zhì)特征，需要結(jié)合其特征去構(gòu)造。找與題設(shè)或結(jié)論有必然聯(lián)絡(luò)的形式。對于有些關(guān)于自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著親密的聯(lián)絡(luò)，這時(shí)可構(gòu)造有關(guān)數(shù)列形式，利用其單調(diào)性解決。聯(lián)想與題設(shè)或結(jié)論有相似的構(gòu)造形式。這里用到比較多的有與韋達(dá)定理相似的構(gòu)造、與判別式相似的構(gòu)造。將題設(shè)或結(jié)論與相關(guān)的命題進(jìn)展類比構(gòu)造。有些題目的條件中，我們會(huì)看到一些熟悉的味道，但卻不一樣的條件，這時(shí)要抓住這種熟悉來考慮。從上述可以看出，優(yōu)美、自然的構(gòu)造法常常是建立在我們已有的知識根底之上的，它生成于認(rèn)知構(gòu)造的最頂端，不僅能使學(xué)生強(qiáng)烈地感受到數(shù)學(xué)的美妙以及構(gòu)造法的神奇，而且可以使得學(xué)生激發(fā)起探究的意識和創(chuàng)新的欲望，假設(shè)可以恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用構(gòu)造法解題，可以打破思維的常規(guī)，使思路變得簡潔、明快、精巧、靈敏，可謂好處多多，因此在平時(shí)的教學(xué)或競賽培訓(xùn)中，加強(qiáng)構(gòu)造性思維的訓(xùn)練，對豐富學(xué)生的想象，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維才能，無疑是有非常重要的作用。參考文獻(xiàn)：1張貴余.構(gòu)造法