3.2.1 函數(shù)的單調性與最大（?。┲担ǖ?課時）教學設計

1、3.2.1單調性與最大（?。┲担ǖ谝徽n時）(人教A版普通高中教科書數(shù)學必修第一冊第三章)一、教學目標1.借助函數(shù)圖像，會用符號語言表達函數(shù)的單調性、最大（?。┲?，理解它們的作用與實際意義；2.會用定義簡單證明函數(shù)的單調性；3.通過函數(shù)的單調性可以畫出函數(shù)圖像;4.在探究抽象函數(shù)單調性的過程中感受數(shù)學概念的抽象過程及符號表示的作用.二、教學重難點1.函數(shù)的單調性精確定義;2.利用函數(shù)定義判斷函數(shù)單調性.三、教學過程1.研究函數(shù)單調性的過程1.1創(chuàng)設情境，引發(fā)思考【實際情境】 前面我們學習了函數(shù)的定義、表示方法，知道函數(shù)是描述客觀世界中變量之間的一種對應關系，這樣可以通過研究函數(shù)性質來把握世界的一

2、般規(guī)律.什么是函數(shù)性質呢?比如隨著自變量的增大函數(shù)值是增大還是減小的,或者有沒有最大值?總的來說函數(shù)的性質就是”變化中的規(guī)律,變化中的不變性”.今天我們來研究一下函數(shù)的一個很重要的性質函數(shù)的單調性.2019新型冠狀病毒爆發(fā)（2019-nCoV，世衛(wèi)組織2020年1月命名；SARS-CoV-2，國際病毒分類委員會2020年2月11日命名  ）.面對疫情政府采取了積極、高效、公開、透明的舉措，不僅全力維護人民群眾生命安全和身體健康，也為維護全球和地區(qū)公共衛(wèi)生安全做出重大貢獻，給世界帶來信心.我們要為我們生在中國而自豪.要為我們是中國人而自豪!下面函數(shù)圖像是截取4月16日-6月1

3、0日的數(shù)據(jù),圖1是全國現(xiàn)有確診趨勢;圖2本土新增確診趨勢,從這兩幅函數(shù)圖像中我們可以直觀的感受疫情的變化.全國現(xiàn)有確診趨勢本土新增確診趨勢問題1：（1）請看這兩幅函數(shù)圖像,從中你發(fā)現(xiàn)了圖像的哪些特征?你覺得他們反映了函數(shù)哪方面的性質? 【預設的答案】 第一幅函數(shù)圖像是上升的趨勢,也就是函數(shù)值隨自變量的增大而增大,但是第二幅圖有上升有下降.總的來說這兩幅圖體現(xiàn)函數(shù)變化趨勢比如上升下降,我們把這種性質叫做函數(shù)的單調性.【設計意圖】讓學生從直觀的圖像上感知函數(shù)的單調性.問題2：下面我們進一步用符號語言刻畫函數(shù)的單調性.我們先來看一個簡單的例子：fx=x2,在初中的時候我們就學習了這函數(shù)圖像，你能現(xiàn)在

4、畫出這個圖像嗎？請在草稿紙上畫出來.我們一般都用的是五點作圖,在0,+上我們取的兩個點滿足隨自變量的增大而增大，你能能否證明在0,+上所有點變化趨勢也是這樣的嗎?也就是說明我們還有必要用代數(shù)的方法證明一下.請大家思考一下如何證明.【活動預設】我們不可能把所有的點取一遍,因為區(qū)間上的點是有無窮多個,那我們怎么把”無限”的問題轉化為一種”有限”的問題?(讓學是感受數(shù)學符號語言的作用)那我們可以用x1,x2來表示,請大家看一下幾何畫板我們發(fā)現(xiàn)只要x1<x2時,都有fx1<fx2.（這里可以讓學生用之前學習的不等式的性質證明一下fx1<fx2）【設計意圖】主要是引導學生如何定量的刻畫

5、函數(shù)的單調性，這個過程要讓學知道定量刻畫函數(shù)單調性的必要性.體會形少數(shù)時難入微.同時感受符號語言巨大的作用.1.2探究典例，形成概念活動1：通過以上活動,請同學們用符號語言總結一下上面函數(shù)的性質.【活動預設】x1,x20,+),當x1<x2時,都有fx1<fx2,這時我們就說函數(shù) 在區(qū)間0,)上是單調遞增的.【設計意圖】讓學生更加熟悉符號語言的表示方法.問題3：通過上述例子給出函數(shù)fx在區(qū)間D上單調性的符號表述.【活動預設】一般的,設函數(shù)fx的定義域為I,區(qū)間DI:如果x1,x2D,當x1<x2時，都有fx1<fx2,那么就稱函數(shù)fx在區(qū)間D上單調遞增.如果x1,x2D

6、,當x1<x2時，都有fx1>fx2,那么就稱函數(shù)fx在區(qū)間D上單調遞減.活動2：請同學們判斷下列命題知否正確(1) 設A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且x1,x2A,當x1<x2時,都有fx1<fx2,我們能說函數(shù)fx在區(qū)間D上單調遞增嗎？你能說明理由嗎？(2) 如果x1,x2D,當x1<x2時，都有fx1fx2,那么就稱函數(shù)fx在區(qū)間D上單調遞增.這種說法正確嗎？(3) 如果x,x+1D, 都有fx<fx+1,那么就稱函數(shù)fx在區(qū)間D上單調遞增.這種說法正確嗎？(4) 函數(shù)的單調性是對定義域的某個區(qū)間而言，您能舉出在整個定義域內單調遞增的函數(shù)例子

7、嗎？你能舉出在定義域內的某些區(qū)間上單調遞增但在另一些區(qū)間上單調遞減的例子嗎？【活動預設】（1）第一問構造了函數(shù)fx=xsinx+2x,取整函數(shù)就可以說明(2)和(3)不正確.(4)讓學進一步感知“增函數(shù)”、“單調遞增”的概念，以及在不同區(qū)間上單調遞增時，它們的并集不一定保證單調遞增，遞減同理.【設計意圖】（1）引導學生辨析概念中“任意”兩個字；（2）在不同區(qū)間上單調遞增時，它們的并集不一定保證單調遞增，遞減同理.2.初步應用，理解概念例1 根據(jù)定義證明函數(shù)y=1x在區(qū)間0，+上是單調遞減的.【預設的答案】略【設計意圖】（1）進一步的熟悉定義，通過定義畫出圖像（2）單調區(qū)間不能并. 練1 根據(jù)定義證明函數(shù)y=x+1x在區(qū)間1，+上單調遞增.【預設的答案】略【設計意圖】（1）讓學生自己動手練習；（2）進一步熟悉定義.例2 根據(jù)定義,研究fx=kx+bk0的單調性.【預設的答案】略【設計意圖】體會如何求解含參函數(shù)的單調性.3.歸納小結，文化滲透1. 什么叫函數(shù)的單調性？你能舉出一些具體例子嗎？2. 你認為在理解函數(shù)單調性的時候應把握好哪些關鍵問題？3. 結合本節(jié)課