利用洛必達法則來處理高考中的恒成立問題

1、導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達法則巧解高考壓軸題法則1 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及；(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x) 與g(x) 可導(dǎo)且g(x)0； (3)，那么 =。 法則2 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在與上可導(dǎo)，且g(x)0； (3)，那么 =。 法則3 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) 及； (2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x) 與g(x) 可導(dǎo)且g(x)0； (3)，那么 =。利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意： 1.將上面公式中的xa，x換成x+，x-，洛必達法則也成立。2.洛

2、必達法則可處理，型。3.在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。 4.若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。二高考題處理1.(2010年全國新課標理)設(shè)函數(shù)。（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若當時，求的取值范圍 解:（II）當時，對任意實數(shù)a,均在；當時，等價于令(x0),則，令，則，知在上為增函數(shù)，；知在上為增函數(shù)，；，g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達法則知，故綜上，知a的取值范圍為。2（2011年全國新課標理）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（）求、的值；

3、（）如果當，且時，求的取值范圍。解：（II）由題設(shè)可得，當時，k=0在上為增函數(shù)=0當時，當x（1，+）時，當時，當x（1，+）時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)洛必達法則知，即k的取值范圍為（-，03.已知函數(shù)f(x)=x(1+a)lnx在x=1時，存在極值。（1）求實數(shù)a的值；（2）若x1，mlnx成立,求正實數(shù)m的取值范圍解：=g（x）=令h(x)= 令則，令M（x）=r(x)，0,則，r(x)為減，且r(1)=0,則h（x）為減，且h(1)=0,則g(x)為減，這樣，g(x)0），分子r(x)=,(x0, )，擴展定義域，求導(dǎo)0，可知，r(x)為定義域內(nèi)增函數(shù)，而r（x）r(0)=0.所以

4、0.為增函數(shù)。則ah(0)-不存在，羅比達法則可得為1練習(xí)1. 2006年全國2理 設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，若對所有的x0，都有f(x)ax成立，求實數(shù)a的取值范圍2. 2006全國1理 已知函數(shù).（）設(shè)，討論的單調(diào)性；（）若對任意恒有，求的取值范圍.3. 2007全國1理 4. 設(shè)函數(shù)（）證明：的導(dǎo)數(shù)；（）若對所有都有，求的取值范圍5. 2008全國2理 設(shè)函數(shù)（）求的單調(diào)區(qū)間；（）如果對任何，都有，求的取值范圍 解：（） 當（）時，即；當（）時，即因此在每一個區(qū)間（）是增函數(shù)，在每一個區(qū)間（）是減函數(shù)解：（）略（）應(yīng)用洛必達法則和導(dǎo)數(shù)若，則；若，則等價于，即則.記， 而.另一方

5、面，當時，因此6. 2008遼寧理 設(shè)函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間和極值;是否存在實數(shù),使得關(guān)于的不等式的解集為?若存在,求的取值范圍;若不存在,試說明理由.7 2010新課標理 設(shè)函數(shù)=.（）若，求的單調(diào)區(qū)間;（）若當x0時0，求a的取值范圍.8 .2010新課標文已知函數(shù).（）若在時有極值，求函數(shù)的解析式；（）當時，求的取值范圍. 解：（）略（）應(yīng)用洛必達法則和導(dǎo)數(shù)當時，即.當時，；當時，等價于，也即.記，則.記，則，因此在上單調(diào)遞增，且，所以，從而在上單調(diào)遞增.由洛必達法則有，即當時，所以，即有.綜上所述，當，時，成立.9. 2010全國大綱理 設(shè)函數(shù).（）證明：當時，；（）設(shè)當時，求的取值范圍.

6、解：（）略（）應(yīng)用洛必達法則和導(dǎo)數(shù)由題設(shè)，此時.當時，若，則，不成立；當時，當時，即；若，則；若，則等價于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達法則有，即當時，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.10. 2011新課標理 已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（）求、的值；（）如果當，且時，求的取值范圍.押題 若不等式對于恒成立，求的取值范圍.解：應(yīng)用洛必達法則和導(dǎo)數(shù)當時，原不等式等價于.記，則.記，則.因為，所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，且.因此在上單調(diào)遞減，且，故，因此在上單調(diào)遞減.由洛必達法則有，即當時，即有

7、.故時，不等式對于恒成立.通過以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達法則解決的試題應(yīng)滿足： 可以分離變量；用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性； 現(xiàn)“”型式子.第三部分：新課標高考命題趨勢及方法1. 高考命題趨勢 近年來的高考數(shù)學(xué)試題逐步做到科學(xué)化、規(guī)范化，堅持了穩(wěn)中求改、穩(wěn)中創(chuàng)新的原則，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既重視考查中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握程度，又注重考查進入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。為此，高考數(shù)學(xué)試題常與大學(xué)數(shù)學(xué)知識有機接軌，以高等數(shù)學(xué)為背景的命題形式成為了熱點.2.分類討論和假設(shè)反證 許多省市的高考試卷的壓軸題都是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點考查的題型.這類題目容易讓學(xué)生想到用分離參數(shù)的方法，一部分題用這種方法很湊效，另一部分題在高中范圍內(nèi)用分離參數(shù)的方法卻不能順利解決，高中階段解決它只有華山一條路分類討論和假設(shè)反證的方法.3.洛必達法則 雖然這些壓軸題可