套利定價模型_APT1

1、第四章 套利定價理論APT 套利定價理論(Arbitrage Pricing Theory,簡稱APT)是由斯蒂夫羅斯(Stephen Ross)于1976年提出的。他試圖提出一種比CAPM傳統(tǒng)更好的解釋資產(chǎn)定價的理論模型。經(jīng)過十幾年的發(fā)展，APT在資產(chǎn)定價理論中的地位已不亞于CAPM。第一節(jié) 因素模型和套利 p54 Factor Arbitrage 風(fēng)險都是由因素風(fēng)險引起，只要避免了因素風(fēng)險就避免了全部的風(fēng)險 APT假設(shè)證券回報率與未知數(shù)量的未知因素相聯(lián)系 分析每種證券對因素變動的敏感性 每個證券對于該因素的變化是如何應(yīng)對的 套利行為必須是“沒有風(fēng)險”的 單因素模型 單因素模型假設(shè)：證券市場

2、中的各個證券之間的聯(lián)動性僅僅是由單獨一個因素對證券普遍產(chǎn)生影響 例如，如果投資者認(rèn)為證券的收益率僅僅受到工業(yè)產(chǎn)值的預(yù)期增長率G 的影響 從歷史數(shù)據(jù)出發(fā)，通過回歸分析可以建立證券收益率與G之間的線性關(guān)系 TtGbarttt,.,21單因素模型的一般表述 單因素模型認(rèn)為：只有一個因素F對證券收益率產(chǎn)生普遍的影響 建立證券I的收益率在任意時期t的估計式 ittiiitFbarlFt為t期因素F的預(yù)期值；lbi為證券i對因素F的敏感性；lrit為證券i在第t期的實際收益率；lit為證券i在第t期的誤差 單因素模型下期望方差計算 期望收益率 方差或因素風(fēng)險 證券間協(xié)方差 22222)()()(Fjiij

3、iFiiiiibbbFEbarE市場模型特殊的單因素模型 如果將市場組合m的收益率rm作為單因素模型中的F，就得到一個特殊的單因素模型 M的收益率用市場價格指數(shù)收益率代替 以市場指數(shù)收益率作為單因素的單因素模型稱為市場模型，表達(dá)式為： iIIiIiIirar單因素模型下風(fēng)險的解 總風(fēng)險分解成 兩部分 因素風(fēng)險，類似系統(tǒng)風(fēng)險 非因素風(fēng)險，類似非系統(tǒng)風(fēng)險 niiiPniiiPxbxb12221)()(,)()(PFPPFPPbb2222222多因素模型 假設(shè)證券收益率受K個共同因素 F1，F(xiàn)2，F(xiàn)K的普遍影響 用多元線性回歸，建立如下的證券i的收益率與K個因素的關(guān)系式 itKtiKtiiitFbF

4、bar.11多因素模型下證券或組合的期望方差協(xié)方差計算 期望收益率 方差或因素風(fēng)險 證券間協(xié)方差lslsjsiljlisKsFsjsisijsjsjisijiKjFjijiKkkikiiFFbbbbbbFFbbbFEbarE),cov(2),cov(2)()()(12212221套利和近似套利 p56 “無套利”是APT的最基本假設(shè) 如果每個投資者對各種證券的期望收益和敏感性均有相同的估計，那么在均衡狀態(tài)下各種證券取得不同期望收益率的原因是什么 ?套利的定義 套利是利用同一種實物資產(chǎn)或證券的不同價格來賺取無風(fēng)險利潤的行為 套利最具代表性的是以較高的價格出售證券，同時以較低價格購進(jìn)相同的證券 現(xiàn)

5、實中難以存在 套利行為是現(xiàn)代有效市場的一個決定性要素 套利所得到利潤是無風(fēng)險的，投資者一旦發(fā)現(xiàn)這種機(jī)會就會設(shè)法利用它們 一些投資者要比其他人具有更多的資源和意愿去從事套利活動 只有極少的積極投資者能夠發(fā)現(xiàn)套利機(jī)會 隨著他們的買進(jìn)和賣出，套利機(jī)會將消除近似套利的定義 用因素模型說明“近似套利機(jī)會” 如果不同的證券或組合對各個因素的敏感性相同，那么，除了非因素風(fēng)險之外，不同的證券或組合應(yīng)該提供相同的期望收益率 如果兩種證券組合所提供的收益率不同，便提供了“近似套利機(jī)會” 賣出收益率低的，同時買進(jìn)收益率高的證券或組合，就肯定可以獲得正利益 利用這些套利的機(jī)會后，原來的套利機(jī)會消失 近似除了非因素風(fēng)險

6、之外 如果組合完全分散化，非因素風(fēng)險將“消失”APT的研究思路 首先，分析市場是否處于均衡狀態(tài)； 其次，如果市場非均衡，分析投資者會如何行動； 再次，分析投資者的行為會如何影響市場并最終使市場達(dá)到均衡； 最后，分析在市場均衡狀態(tài)下，資產(chǎn)的預(yù)期收益由什么決定。套利組合 p57l為實現(xiàn)套利，需要買入一些證券，同時賣出一些證券，該過程就是構(gòu)建套利組合l構(gòu)建套利組合需要滿足的3個條件l第一，不增加額外資金。套利組合中買入證券需要的資金來自賣出證券所的資金l第二，套利不承擔(dān)風(fēng)險。因素模型中的風(fēng)險是因素風(fēng)險l第三，套利提供正利潤。新證券組合的收益率必須大于前組合的收益率 套利組合條件公式表示)(,.iin

7、nnKnKPKnnPnrEEExExbxbxbbxbxbxxx000011111111121對公式的說明 可以用矩陣的方式表示 x表示權(quán)重改變量，未知，需要求解 滿足公式的x都是套利組合 解一般是不唯一的構(gòu)建套利組合后的“處境”從一個舊證券組合變成了一個新的證券組合 新的證券組合舊的證券組合套利組合 套利組合期望收益率0 新組合的敏感性=舊組合的敏感性 新組合因素風(fēng)險舊組合因素風(fēng)險 由于存在非因素風(fēng)險 新組合風(fēng)險不一定等于舊組合的風(fēng)險 套利定價方程 套利定價方程是判斷是否存在套利機(jī)會的工具 Ei（i1，n）滿足何種條件，解不存在， 可以證明，當(dāng)且僅當(dāng)Ei是敏感性的線性函數(shù),就是說不再存在套利機(jī)

8、會KiKiiibbErE.)(110方程中的含義 根據(jù)無風(fēng)險證券 0rf 構(gòu)造特殊的證券組合j j對因素Fj的敏感性bj1，而對其他因素的敏感性bi0（ij） j的期望收益率E（j）rfj j E(j ) rf 類似于標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)單因素影響程度 預(yù)期收益 EABCDE1E2單因素影響程度 預(yù)期收益 EABCD套利定價模型的計算實例 例1。工業(yè)產(chǎn)值為單因素 投資者擁有3種證券，每種證券的當(dāng)前市值均為4 000 000元。 總資金12 000 000元。 3種證券預(yù)期回報率和敏感性如下表ir證券預(yù)期回報率(%)敏感性bi證券1證券2證券31521120.93.01.8 期望和敏感性的改狀態(tài)，

9、是否可以引起存在套利？ 解“方程” x1x2x30 0.9x13.0 x21.8x30 15x121x212x30 解不唯一。給x1賦予一個值，例如0.1, x20.075，x3-0.175新舊組合的比較 舊組合套利組合新組合權(quán)數(shù)X1X2X3性質(zhì)rb0.3330.3330.333 16.000%1.90011.000%0.1000.075-0.175 0.975%0.000很小0.4330.4080.158 16.975%1.900約11.000%第二節(jié) 多因素定價模型的推導(dǎo)p59 因素模型的5個假設(shè)條件 假設(shè)1：市場是完全競爭、無摩擦、無限可分 假設(shè)2：存在K個共同因素影響整個證券市場 假設(shè)

10、3：所有投資者對同種證券的收益具有的預(yù)期是一致的，因而，對資產(chǎn)收益的預(yù)期就是對因素荷載bik（k1,2,K）的預(yù)期。這里因素荷載bik表示證券i對因素Fk的敏感系數(shù) 假設(shè)4：市場中存在充分多的資產(chǎn)。這個假設(shè)為下面的漸進(jìn)套利的概念提供了基礎(chǔ)。 假設(shè)5：證券市場不存在漸近套利機(jī)會（asymptotic arbitrage opportunity） 對假設(shè)2的說明 根據(jù)回歸模型中的假設(shè) 用“線性變換”的構(gòu)造新的因素 使得滿足“標(biāo)準(zhǔn)正交”的條件 112222().cov(,)()0,()1cov(,)( )0,()iiiiiKKiijkikiiiirRE RbFbFF FE FE FFEE因子載荷矩陣

11、形式 B是敏感度系數(shù)矩陣，或因素載荷矩陣（factor loading matrix） 思考：用矩陣形式表示，因素和誤差的限制條件 TNTKKNijTNFFFbBRRRFBRER),.,(,),.,()(),.,()(111漸近套利機(jī)會對假設(shè)5的說明 存在一個證券組合序列，滿足三個條件 與套利組合三個條件相對應(yīng) 030201211111)var(lim)()(lim)()(,.,),.,(niininniininnininnnnRWRWEWnWWW 例，一個投資者擁有四種資產(chǎn)，他投資于每種資產(chǎn)的當(dāng)前市值均為50000元，此時該投資者的可投資財富為200000元。且這四種資產(chǎn)的預(yù)期回報率和敏感性

12、如表回報率%bi1bi21100.61.52142.01.2381.20.8461.52.0 根據(jù)套利組合的條件可得12340 xxxx12340.62.01.21.50 xxxx1232.00 xxxx123410%14%8%6%0 xxxx 解上述方程組，并令 =0.1，則可求出， =0.1107， =-0.1155， =-0.0952。 這就是說，若投資者按 的值調(diào)整資產(chǎn)i的持有比例，則新的投資組合可使預(yù)期回報率提高2x(1, 2,3, 4)ixi 3x4x1x0.1*10% 0.1107*14% ( 0.1155*8%) ( 0.0952*6%)1.05% 這個套利

13、組合是由賣出資產(chǎn)3和資產(chǎn)4，同時買入資產(chǎn)1和資產(chǎn)2實現(xiàn)的。 投資者的買賣行為使得資產(chǎn)1和資產(chǎn)2的價格逐漸上升，它們的預(yù)期回報率逐漸下降，資產(chǎn)3和資產(chǎn)4的價格逐漸下降，其預(yù)期回報率逐漸上升。 資產(chǎn)i(i=1,2,3,4)價格變化的結(jié)果，最終使套利組合的預(yù)期回報率為零，在這種情況下市場便達(dá)到了均衡狀態(tài)。多因素模型下定價公式 p60 如果風(fēng)險證券收益率由K因素模型給定， 存在形如下式的線性定價公式KkkikibRE10)(l定價公式的誤差分析。n風(fēng)險證券的數(shù)量l定理4.1：如果風(fēng)險證券收益由K因素模型給定，那么，存在的實數(shù)0，1，K，使得 011201KkkikniinbREn)(lim對定價公式的

14、說明 證明過程給出了公式中系數(shù)i的具體計算 系數(shù)i因素i的風(fēng)險溢價 總誤差=每個證券的殘差平方和 證券的數(shù)量大的時候，總誤差趨向于0 將每個證券殘差V，從大到小“排隊” “小的”定價準(zhǔn)確 對個別證券，其定價可能“不準(zhǔn)確” 可以用線性代數(shù)的方法推導(dǎo)定價公式定價公式中的因素風(fēng)險溢價沒有經(jīng)濟(jì)含義 p62 (1，K)factor risk premium 類似多元統(tǒng)計分析中的因子 定理4.2：對于任意無套利定價模型，可以構(gòu)造出與原來K個因素不同的另外K個不相關(guān)因素，使得，這K個新因素中僅有一個具有正的因素風(fēng)險溢價完全分散化 p63 因素風(fēng)險溢價向量在某些條件下，可以用證券組合解釋 完全分散化證券組合f

15、ully diversified portfolio 定義：完全分散化證券組合是證券組合序列p(n)的極限過程。p(n)滿足下面兩個條件CnWnninWnnWnWnpniinin1212210121)(lim)(;,.,)()(,.,)(),.,()(對定義的說明 完全分散化證券組合的投資權(quán)重由極限方式產(chǎn)生 每個資產(chǎn)的投資比例權(quán)重Wi趨于0 “大多數(shù)”（有限個除外）資產(chǎn)， Wi(n)O(n-1) 如何理解，投資于資產(chǎn)的權(quán)重是0？ 類似于概率論中的“密度” 應(yīng)該從“密度”的角度來理解完全分散化證券組合投資于每種資產(chǎn)的比例 不能僅僅看到它都等于0 完全分散化證券組合的非因素風(fēng)險等于0 p64 在完

16、全分散化證券組合下，非因素風(fēng)險是無窮小量序列的極限，即 0212212nnWnnWniininiin)(lim)(liml反之不成立，有反例l存在不是完全分散化證券組合，其非因素風(fēng)險是0完全分散化下定價是精確的 p64 一般來說，定價公式有誤差 對于完全分散化證券組合，沒有誤差 定理4.3：對于完全分散化證券組合p，其預(yù)期收益滿足 KkkpkpbRE10)(對定價公式中的i解釋 構(gòu)造一個特殊完全分散化證券組合p，使bpk0 (k1,2,K) 則 fprRE0)(l構(gòu)造完全分散化證券組合p ，使bpk1， bpj0 (jk)，只對第k因素敏感，則 kpRE0)(l利用這些特殊的完全分散化證券組合

17、，可以解釋單因素模型下系數(shù)和敏感性的關(guān)系 p65 假定市場組合m是完全分散化的 mfmfbrREr)(,0mimmiimmimimimfmimifibbbWbbrREbrRE)()()()(2222第三節(jié) APT與CAPM的比較 p66 APT與CAPM的公式的形式一樣 內(nèi)在的經(jīng)濟(jì)含義不同CAPM是在市場均衡的條件得到的APT是在無套利條件得到的 兩者之間的關(guān)系是：均衡的市場里一定沒有套利機(jī)會無套利機(jī)會并不意味著市場是均衡的 APT中敏感系數(shù)與CAPM中系數(shù)的關(guān)系 p66 CAPM依賴于1個因素，維數(shù)1 APT多維模型 3維空間中，確定一個點，需要3個獨立條件 如果只有一個，將不能精確地確定

18、似乎多維模型比一維模型“更準(zhǔn)確” APT比CAPM “好” 下面以兩因素模型為例，說明敏感系數(shù)與系數(shù)的關(guān)系兩因素模型下公式的幾何圖形表示 以兩個敏感性b為橫縱坐標(biāo) 給定一個證券i的收益率，滿足定價公式的點很多 構(gòu)成資產(chǎn)i的等值線，等高線 等值線是一簇平行線，斜率相同 截距不同，與期望值有關(guān) 例如，無風(fēng)險資產(chǎn)過原點，截距02211ififfibrbrrRE)()()(%)(3025201510iRE1.0 1.5 0.5 1.02.03.00無風(fēng)險資產(chǎn)p pSML bi2m 市場組合bi1兩因素模型下系數(shù)與敏感系數(shù)的關(guān)系 資產(chǎn)j對因素1和因素2的敏感系數(shù) 市場組合對應(yīng)的敏感系數(shù)的某一個倍數(shù) 這個

19、倍數(shù)就是系數(shù) 隨著系數(shù)的取法不同，在平面中構(gòu)成直線 以系數(shù)為自變量的SML在平面中是直線 直線斜率與兩個敏感系數(shù)有關(guān)APT比CAPM的選擇余地大 圖中過原點的直線上的所有點（組合） 它們的期望收益率都等于無風(fēng)險利率 除了原點O點外，均不是無風(fēng)險資產(chǎn)組合（因為包含有風(fēng)險資產(chǎn)） 例如，對于期望收益率為20的資產(chǎn)組合來說 由CAPM決定，則，對應(yīng)惟一點，p 由APT決定，則，對應(yīng)直線pp上任意的點 對某些投資者來說，雖然p和p均值相等，也許更喜好資產(chǎn)組合p，勝過p 從這個意義上講，APT比CAPM選擇余地大多因素模型下的敏感系數(shù)與系數(shù)的關(guān)系 p67 通過市場組合，計算單個資產(chǎn)的敏感系數(shù) 資產(chǎn)j對應(yīng)于每個因素的敏感系數(shù) 市場組合所對應(yīng)的敏感系數(shù)的一個倍數(shù) 第四節(jié) 因素模型的因素數(shù)目和因素選擇 p68 因素的數(shù)目多，對于精確性有好處；可能導(dǎo)致統(tǒng)計檢驗顯著性下降 從實證分析的觀點看，確定因素數(shù)目，要涉及到統(tǒng)計分析的方法（statis