3321簡單線性規(guī)劃

1、3.3.2.1簡單的線性規(guī)劃教學(xué)目的：1了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；2了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題3培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力教學(xué)重點(diǎn)：用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題.教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）由于對(duì)在直線Ax+

2、By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x,y)，把它的坐標(biāo)（x,y)代入Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（x0,y0)，從Ax0+By0+C的正負(fù)即可判斷Ax+By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)C0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）2先分別作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三條直線，再找出不等式組所表示的平面區(qū)域（即三直線所圍成的封閉區(qū)域）.再作直線:2x+y=0 然后，作一組與直線的平行的直線：:2x+y=t,tR（或平行移動(dòng)直線），從而觀察t值的變化： 二、講解新課：1. 請(qǐng)同學(xué)們來看這樣一個(gè)問題:設(shè)t=2x+y，式中變量x、y滿足下列

3、條件 求t的最大值和最小值分析：從變量x、y所滿足的條件來看，變量x、y所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域ABC.作一組與直線的平行的直線：:2x+y=t,tR（或平行移動(dòng)直線），從而觀察t值的變化： 從圖上可看出，點(diǎn)（0，0）不在以上公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)x=0，y=0時(shí)，t=2x+y=0.點(diǎn)（0，0）在直線：2x+y=0上.作一組與直線平行的直線（或平行移動(dòng)直線):2x+y=t,tR.可知，當(dāng)在的右上方時(shí)，直線上的點(diǎn)（x,y)滿足2x+y0,即t0.而且，直線往右平移時(shí)，t隨之增大（引導(dǎo)學(xué)生一起觀察此規(guī)律）.在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線

4、中，以經(jīng)過點(diǎn)B（5，2）的直線所對(duì)應(yīng)的t最大，以經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）的直線所對(duì)應(yīng)的t最小.所以： =2×5+2=12,=2×1+3=3 2. 目標(biāo)函數(shù), 線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題,可行解，可行域, 最優(yōu)解:諸如上述問題中，不等式組是一組對(duì)變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.t=2x+y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù).由于t=2x+y又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù)另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束

5、條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.例如：我們剛才研究的就是求線性目標(biāo)函數(shù)z=2x+y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題那么，滿足線性約束條件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域.其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解三、講解范例：例1 已知x、y滿足不等式組，試求z=300x+900y的最大值時(shí)的整點(diǎn)的坐標(biāo)，及相應(yīng)的z的最大值分析：先畫出平面區(qū)域，然后在平面區(qū)域內(nèi)尋找使z=300x+900y取最大值時(shí)的整點(diǎn) 解：如圖所示平面區(qū)域AO

6、BC，點(diǎn)A（0，125），點(diǎn)B（150，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)由方程組得C（），令t=300x+900y，即y=-,欲求z=300x+900y的最大值，即轉(zhuǎn)化為求截距的最大值，從而可求t的最大值，因直線y=-與直線y=-x平行，故作與y=-x的平行線，當(dāng)過點(diǎn)A（0，125）時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線的截距最大，所以此時(shí)整點(diǎn)A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112500 例2求z=600x+300y的最大值，使式中的x,y滿足約束條件的整數(shù)值.分析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域即可行域再解.解：可行域如圖所示：四邊形AOBC，易求點(diǎn)A（0，126），B（100，0）由方程組：

7、得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（69,91)因題設(shè)條件要求整點(diǎn)（x,y)使z=600x+300y取最大值，將點(diǎn)（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知當(dāng)時(shí)，z取最大值為zmax=600×70+300×900=69000 例3 已知x、y滿足不等式,求z=3x+y的最小值分析：可先找出可行域，平行移動(dòng)直線l0:3x+y=0，找出可行解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最小值解：不等式x+2y2，表示直線x+2y=2上及右上方的點(diǎn)的集合；不等式2x+y1表示直線2x+y=1上及右上方的點(diǎn)的集合.可行域如圖所示：作直線:3x+y=0，作一組與直線平行的直線:3x+y=t,(tR) x、y

8、是上面不等式組表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo).由圖可知：當(dāng)直線:3x+y=t通過P（0，1）時(shí)，t取到最小值1，即zmin=1.評(píng)述：簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實(shí)際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解四、課堂練習(xí)：1請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合課本P64練習(xí)1來掌握?qǐng)D解法解決簡單的線性規(guī)劃問題.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 滿足約束條件解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：當(dāng)x=0,y=0時(shí)，z=2x+y=0點(diǎn)（0，0）在直線:2x+y=0上.作一組與直線平行的直線:2x+y=t,tR. 可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于的直線中，以經(jīng)過點(diǎn)A（2，-1）的直線所對(duì)應(yīng)的t最大.所以zmax=2×2-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件解：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線3x+5y=t在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，以經(jīng)過點(diǎn)（-2，-1）的直線所對(duì)應(yīng)的t最小，以經(jīng)過點(diǎn)（）的直線所對(duì)應(yīng)的t最大.所以zmin=3×(-2)+×(-1)=-11.zmax=3×+5×=