磁流體力學方程

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第三章 磁流體力學方程（MHD）§3.1引言 由上一章的討論可以看出，等離子體動力學理論是在位形及速度空間中討論帶電粒子的分布函數(shù)隨時間的演化規(guī)律。由于動力學方程是一個非線性的積分微分方程，數(shù)學處理較復雜，在一般情況下很難求解。實際上，我們可以把等離子體看成為是一種電磁流體，它的宏觀狀態(tài)可以用密度、流速、溫度等狀態(tài)變量及電磁場來描述。這些狀態(tài)參量及電磁場是在三維位形空間中隨時間演化的。建立電磁流體狀態(tài)參置隨時間的演化方程稱為磁流體力學（Magnetohydrodynamics-MHD）。與動力學理論相比，磁流體力學在數(shù)學處理上簡單的多，而且等離子體中的許多過

2、程，如等離子體的宏觀平衡與穩(wěn)定，波動過程均可以用MHD理論來描述。但對于等離子體中的另外一些現(xiàn)象，如Landau阻尼、速度空間中的不穩(wěn)定性等則MHD理論卻無能力描述。下面我們從動力學方程出發(fā)，建立MHD方程。§3.2二份量MHD方程設等離子體是由電子成份和一種離子成份組成的二份量電磁流體。首先我們引入二份量磁流體的宏觀狀態(tài)變量，我們知道，對于一個多粒子系統(tǒng)，其宏觀變量是對應的微觀變量的統(tǒng)計平均值。這樣，第類成份流體的密度、流速火及溫度的定義為： （3-1） （3-2） 下面我們利用上章給出的等離子體運動學方程來建立MHD方程。動力學方程可以寫成： (3-3)首先定義等離子體矩方程：將

3、（3-3）兩邊乘以并對積分，（1） （2） （3） 其中用到了分部積分和在時為零的條件。（4） 其中利用了關系：這樣得矩方程：其中：為統(tǒng)計平均。1 連續(xù)性方程設，并對積分,則 （3-4）其中利用到，粒子數(shù)守恒。引入電荷密度： （3-5）和電流密度： （3-6）將（3-4）兩邊乘以可以得到電荷守恒方程 （3-7）將（3-4）兩邊乘以可以得到質量連續(xù)性方程 （3-8）其中是質量密度。2 動量平衡方程設，并對積分,則可得 （3-9）其中 (3-10)為壓強張量。而 （3-11）利用連續(xù)方程（3-4），方程（3-9）可以化成為 （3-12）該方程中各項的物理意義是：-流體元的動量變化率；其中 -為對流

4、項； -壓強梯度產(chǎn)生的力； -電場力； -洛侖茲力，是由電流穿越磁場而產(chǎn)生的力； -為第類粒子與第類粒子碰撞時，其動量的變化率。方程（312）是一個不封閉的方程，因為涉及到高階矩函數(shù)及，只有通過求解動力學方程，才能嚴格地計算出及。在研究等離子體的磁流體狀態(tài)時，通常假定等離子體中帶電粒子的速度分布基本上為各向同性分布，因此有： （3-13）其中為靜壓強。的非對角部分僅與等離子體中的粘滯現(xiàn)象有關。另外，對于不同種類的帶電粒子之間的碰撞，動量的變化率可以寫成摩擦阻力的形式： （3-14）其中為動量輸運的平均碰撞頻率.3能量平衡方程設，并對積分,并利用連續(xù)方程（3-4），動量平衡方積（3.12），最后

5、可以得到能量平衡方程為： (3-15)其中： （3-16）為熱流矢量，而， （3-17）為不同種類帶電粒子之間的碰撞產(chǎn)生的能量變化。 在高溫等離子體系統(tǒng)中，人們對等離子體中帶電粒子的能量輸運并不是太感興趣。在研究等離子體的平衡、穩(wěn)定及波動過程時，可以認為帶電粒子在速度空間的分布基本上趨于各向同性的Maxwell分布。因此，通常用狀態(tài)方程來確定等離子體的壓強，從而取代了能量平衡方程。對于等溫過程，有： （3-18）其中c1是常數(shù)。對于絕熱過程，壓強為 （3-19）其中c2是常數(shù)。這樣，對于雙流體等離子體，其MHD方程為： （3-20） （3-21） （3-22） （3-23） （3-24） （3

6、-25） （3-26） （3-27）它們與狀態(tài)方程耦合，即構成一套封閉的方程組。后面幾章，我們將用這套方程組研究等離于體中的波動過程及穩(wěn)定性。§3.3單MHD方程 在上節(jié)中，我們是把等離子體看作是由電子流體和離子流體組成的雙流體。實際上，在研究等離子體中某些現(xiàn)象時，也可以把等離子體看成為單一的磁流體。本節(jié)我們的任務就是給出這種單一磁流體的MHD方程。首先引入單一磁流體的宏觀狀態(tài)參量：質量密度： （3-28）電荷密度： （3-29）流速： （3-30）溫度： 電流密度； （3-31）總壓強： （3-32）下面建立單流體的流體力學方程（1） 連續(xù)性方程將電子成分的質量連續(xù)性方程 （3-3

7、3）與離子成分的質量連續(xù)性方程 （3-34）相加，并利用（3-28）及（3-30），則單流體的質量連續(xù)性方程為 （3-35）（2） 動量平衡方程為了得到單一流體的動量平衡方程，我們假定：等離子體是準中性的，即。這樣根據(jù)電子和離子的動量平衡方程， （3-36） （3-37）得到單一流體的動量平衡方程為 （3-38）其中利用了如下簡化假設： 由于電子的質量比離子質量小的多，略去了電子的慣性項，和電中性條件：，及，。（3） 廣義歐姆定律由關系：， ，得：，由關系：，得：略去（3-36）中的對流項，得： (3-40)這就是廣義歐姆定律。對于簡單的歐姆定律有 （3-41）是等離子體的電導率。因此，廣義歐

8、姆定律中，多了如下幾項：（1），磁流體運動引起電流；（2）：等離子體受到洛茲力作用而運動產(chǎn)生的電流。（3）：由于壓力梯度而產(chǎn)生的電流變化。這樣采用單流體模型，等離子體的MHD方程為： （3-43）再加上Maxwell 方程組 （3-44）構成了一套封閉的方程組（設P已知，由狀態(tài)方程給出）。單流體MHD方程常用于描述等離子體裝置的平衡與穩(wěn)定，也可以用于描述等離子體中的波動現(xiàn)象。用單流體的MHD方程描述等離子體中的波動現(xiàn)象比用雙流體的MHD方程描述精確性差，這是因為在推導單流MHD方程時，做了一些簡化假定。對于一些低頻過程，可以略去Maxwell方程組中的 ；另外對于低溫過程，還可以略去廣義歐姆定

9、律中的壓力梯度項。 項與項相比，也可以略去。這樣簡化的單流體MHD方程為： （3-45） （3-46）對于理想等離子體，還可以略去項，這樣理想等離子體的MHD方程為： (3-47)下節(jié)我們將利用上述方程研究等離子體的MHD平衡與穩(wěn)定。 §3.4 MHD平衡與穩(wěn)定1平衡與穩(wěn)定的概念 對于一個磁約束的等離子體系統(tǒng)，人們所關心的首要問題是系統(tǒng)的受力是否平衡？如果受力能達到平衡，接下來的問題的就是這種平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定，即系統(tǒng)受到小的擾動后，對平衡狀態(tài)的偏離幅度是否大？下面我們用數(shù)學的語言來描述平衡與穩(wěn)定問題。設x0是系統(tǒng)處在平衡狀態(tài)下的某一物理量，滿足如下方程： （3-48）如果對系統(tǒng)施加一

10、個擾動，使得物理量x0變?yōu)?，且滿足如下運動方程： （3-49）設擾動是微擾動，則可以將方程（3.49）線性化： （3-50）設擾動量可以表示成山的形式，由此可以求出擾動頻率為： （3-51）如果，則表明擾動會很快地被衰減掉，則系統(tǒng)對應的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。反之，則表明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 我們也可以用下圖4形說明平衡與穩(wěn)定問題。圖4a對應的是穩(wěn)定平衡，因為小球偏離平衡位置后，仍能恢復到原來的狀態(tài)；而圖4b則對應的是不穩(wěn)定的平衡，小球一旦受到擾動，將會逐漸地偏離其平衡位置，不會自動復原。下面利用上節(jié)得到的簡單的MHD方程，來分析以下等離子體體系的平衡問題。2. MHD平衡 對于一般的磁約束系統(tǒng)，研

11、究其平衡問題是極其復雜的。下面我們從穩(wěn)態(tài)的MHD方程出發(fā)，給出等離子體平衡狀態(tài)的一些性質。 對穩(wěn)定的狀態(tài)，等離子體系統(tǒng)的MHD方程為(見3-7)： (3-52)Maxwell方程為： (3-53)由方程（2-52）可以看出：（a）抗磁性電流壓力梯度和洛侖茲力是維持系統(tǒng)處在平衡狀態(tài)的必要條件。為了說明這個問題，我們以一個柱狀的等離子體系統(tǒng)為例，壓強梯度指向軸心，見圖5，為了消除等離子體向外膨脹，就必須在極向上施加一電流j，它與磁場作用產(chǎn)生的洛侖茲力正好與膨脹力相抵消。用叉乘方程（3-52）兩邊，可以得到： （3-54）這個電流稱為抗磁性電流。從單粒子的觀點看，抗磁性電流是由于粒子在磁場中做拉莫回

12、旋運動時，受到密度梯度的作用使導向中心發(fā)生漂移而形成電流的結果。從流體力學的觀點看，抗磁性電流是由于穿越磁場的壓強梯度形成的，產(chǎn)生的電流與磁場作用形成的洛侖茲力恰好與壓強力相抵消。（b）等壓面由方程（3-52），說明沿j和B方向壓強是不變的，電流和磁場的方向都在等壓面上，j和B都與垂直。當人們在設計復雜的磁場位形時，必順考慮到這一點。設想有一個環(huán)形的等離子體系統(tǒng)，見圖6，存在一個徑向的壓強梯度，即等離子體由一層層等壓面所包圍。一般地講，磁力線和電流線可以這樣和那樣的彎曲，但不能穿越等壓面。（c）磁壓力和磁張力由關系：，上面用到了關系：又由于：， （3-55）由此相應的磁力為一般取(常數(shù))，因此

13、上式有面第二項被稱為磁壓力，是熱壓力的對應量磁壓力的方向從磁場強處指向磁場弱處（見圖1.6），它和熱壓力一樣可以使磁場的疏密（即磁場的強弱）擾動向外傳播，這時所產(chǎn)生的波和聲波一樣是縱波，稱為（慢）磁聲波如果熱壓力和磁壓力同時驅動磁流體的擾動向外傳播，就會產(chǎn)生波速更快的快磁聲波而另一項則稱為磁張力，它可以進一步改寫成物理意義更清楚的形式 其中是方向上的單位矢量，是磁力線上某點的曲率，其絕對值為，而方向則指向磁力線上此點的曲率中心（見圖1.7）當磁力線是一根直線時，其上各處的曲率均為零。因此磁張力也處處為零，和磁場的強弱無關，這是和磁壓力不同的當磁場（力線）是彎曲的時候，例如從圖1.8中的處來看，

14、這時指向曲率中心的磁張力可以看成由兩個沿著磁力線正、反方向的分力合成的合力，因此稱為磁張力它和橡皮筋在橫向彈拉時產(chǎn)生的彈性張力相似，因此許多人把磁力線描述成彈性的橡皮筋，但這只是反映了磁張力的性質，而沒有包括磁壓力的性質在內(nèi)磁張力由于和彈性力相似，所以可以在沿磁力線方向上驅動出橫向的磁流體波對于理想磁流體，由于流體和磁力線凍結在一起，故此波既是電磁的橫波也是流體的橫波，稱為阿爾文（Alfven）波或者剪切阿爾文波下面給出磁張力和磁壓力在磁力線坐標中的表達式在此坐標系中所以最后有此式表明，磁壓力只作用在垂直于磁場的方向上，在平行于磁場的方向上并不存在磁壓力和磁張力能驅動出沿磁力線傳播的磁流體力學

15、橫波不同，磁壓力能驅動出橫越磁力線傳播的磁流體力學縱波把方程（3-52）與（3-53）聯(lián)立，還可以得到：或 對于大多數(shù)磁約束系統(tǒng)，沿著B的方向磁場是不變的，即，因此，因此有即 （3-56）其中稱為磁壓強，（3-56）式表明：等離子體的壓強和磁壓強之和為一常量，即在密度高的地方磁場小，密度低的地方磁場強。（d）等離子體的值等離子體壓力和磁壓力的之比稱為等離子體的值： （3-57）它是聚變等離子體系統(tǒng)中的一個重要的參量。反應了約束一定熱壓強的等離子體需要多強的磁場。通常 ，認為值愈大，約束就愈好。為了達到聚變反應，必須使等離子體的溫度增高（P增大），磁場減小，即提高值。實際上，產(chǎn)生高值的等離子體是

16、相當困難的。 §3.5 磁擴散和磁凍結 對于磁場等離子體系統(tǒng)：磁場是否能在等離子體中進行擴散？現(xiàn)在考慮無磁場的等離子體區(qū)域和無等離子體的磁場區(qū)域之間存在一條邊界。如果等離子體的電導率為無窮（理想情況），則磁場象導體一樣被排斥在等離子體的外面，不能進行擴散。實際上，等離子體的電導率是有限的，磁場可以在等離子體中擴散，反之亦然。磁場在等離子體中擴散需要一定的時間。下面我們采用MHD方程估計一下磁場擴散的特征時間。 為簡單起見，我們假設等離子體處于靜止狀態(tài)，即，而磁場由于擴散在等離子體中運動。這時廣義歐姆定律退化成簡單的歐姆定律 （3-58）根據(jù) Maxwell方程組 （3-59）及（3-

17、58），可以得到磁場的運動方程 （3-60）這是一個典型的擴散方程。為了粗略地估計磁場擴散的特征時間，我們?nèi)〈艌鯞變化的空間尺度為L，則有： (3-61)該方程的解 （3-62）其中 （3-63）即為磁場擴散的特征時間，它與等離子體的電導率正成比。由于電導率反比于碰撞頻率，因此磁場在等離子體中擴散的物理意義是：由于帶電粒子之間的碰撞破壞了它繞磁力線運動而引起的。擴散時間也可以理解為磁場的湮沒時間。當磁場運動時它可以在磁場中產(chǎn)生感應電流，從而對等離子體進行加熱。加熱的能量來自磁場。在時間內(nèi)，單位體積內(nèi)歐姆加熱的功率為：由于 ， 所以加熱功率為可見能量的耗散正比于磁壓強。上面我們已經(jīng)看到，由于等離子體的有限電導率，使得磁場可以在等離子體中進行擴散。下面我們再看一下：對于理想等離子體，即，磁場是如何運動的。 對于理想等離子體，廣義歐姆定律為：， 它與Maxwell方程聯(lián)立，可以得到： （3-64）下