第七章 測量誤差分析及數(shù)據(jù)處理

1、電電 子子 測測 量量授課教師：路輝聯(lián)系電話：82316487電子郵件：北 京 航 空 航 天 大 學第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類7.3 7.3 隨機誤差的分析隨機誤差的分析7.4 7.4 系統(tǒng)誤差的處理系統(tǒng)誤差的處理7.5 7.5 測量數(shù)據(jù)的處理測量數(shù)據(jù)的處理北 京 航 空 航 天 大 學 測量是為確定被測對象的量值而進行的實驗過程。被測量的真實大小稱為真值。在不同的時、空條件下，被測量的真值往往是不同的；而又是客觀存在的確定數(shù)值。 在測量中，通過實驗的方法求被測量的真值時，由于對客觀規(guī)律的局限性和其

2、它原因，會使測量結(jié)果與真值不同，該差別就是測量誤差。 測量的價值取決于測量的準確程度。當誤差超過一定程度，測量就變得毫無價值，甚至帶來很大危害。對測量誤差的控制是衡量測試技術水平乃至科技水平的標志。 掌握一定的誤差理論和數(shù)據(jù)處理知識，是科技工作者的基本素質(zhì)之一。研究誤差理論的目的，就是要根據(jù)誤差的規(guī)律，合理的設計和組織實驗，減小測量誤差，確切地評價測量結(jié)果中誤差的大小，以便得到科學的結(jié)論。第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理北 京 航 空 航 天 大 學本章主要內(nèi)容： 測量誤差: 系統(tǒng)誤差；恒定系差；累進性及周期性系差 ；難于消除； 粗大誤差：明顯偏離了真值的測量數(shù)據(jù)，用萊特準則（3)等予以剔除。

3、隨機誤差：在實際相同條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號以不可預測的方式變化著的誤差稱為隨機誤差。在多次測量中服從統(tǒng)計規(guī)律，具有單峰性、有界性、對稱性、抵償性等四大特性。據(jù)數(shù)理統(tǒng)計的有關原理和實踐證明，很多測量結(jié)果的測量誤差服從正態(tài)分布，也有服從均勻分布或其他分布。第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理北 京 航 空 航 天 大 學第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理隨機誤差處理方法北 京 航 空 航 天 大 學第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理北 京 航 空 航 天 大 學第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理北 京 航 空 航 天 大 學第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理北 京 航 空 航 天 大 學7.1 7.

4、1 測量誤差的概念測量誤差的概念測量誤差：測量結(jié)果與被測量真值的差別。按誤差表示方法通?？煞譃榻^對誤差和相對誤差兩項。一、絕對誤差（又稱絕對真誤差）0XXX被測量的真值被測量的給出值絕對誤差1.精密的儀器-替代真值2.算術平均值-替代真值 3.理論給出或計量學作出規(guī)定-真值（理想值）測量值注意：x有大小、符號和量綱；直觀，但不反映測量的準確程度。 實際應用中常用實際值A（高一級以上的測量儀器或計量器具測量所得之值）來代替真值，即xxA (1)基本定義 北 京 航 空 航 天 大 學（2）修正值定義:與絕對誤差大小相等,符號相反的量為修正值C , 即xxxC0 測量儀器的修正值可以通過上一級標準

5、的檢定給出，它可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達式等形式；對自動測量儀器，可將修正值編程貯于儀器中，測量時儀器自動進行修正。 被測量的實際值Cxx0絕對誤差的表示往往不能確切地反映測量的準確程度。Hzf10001例：測量兩個頻率Hzf11絕對誤差Hzf6210Hzf10212ff%001.022ff%1.011ff7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念北 京 航 空 航 天 大 學二、相對誤差（相對真誤差）是絕對誤差與真值的比值7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念%1000XX示值相對誤差XX在誤差較小時作近似計算含有誤差分貝誤差相對誤差的對數(shù)表示。真值)dB(Alg20)dB(A0

6、0dBdBA)dB(A0dBAdBA)dB(0測量值分貝誤差0A電壓或電流的傳輸函數(shù)為20lg-；是功率傳輸函數(shù)時為10lg-相對誤差主要有三種形式：相對誤差、引用誤差、分貝誤差。北 京 航 空 航 天 大 學0XRIRVRIVRX例：用圖中(a)、(b)兩種電路測電阻 的電壓和電流,若電壓表的內(nèi)阻為 電流表的內(nèi)阻為 ,求測量值 受電表影響產(chǎn)生的絕對誤差和相對誤差,并分析所得結(jié)果。解：設被測電阻真值為0XR對圖(a)給出值 000XVXVRVRVXRRRRVIVRVXVX2XXXXRRRRRR000%100RRRRRVXXXX00絕對誤差相對誤差7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念北

7、京 航 空 航 天 大 學對圖(b)00XIXXRRRRIXXXRRRR000XIXIXRRIIRIRIVR給出值絕對誤差相對誤差(1).對(a)圖 時誤差 小時,低阻測量，用圖(a) 對(b)圖 時誤差, 大時,高阻測量，用圖(b)(2).對(a)圖測量不受RI 影響，表達式中不含有RI項 對(b)圖測量不受RV影響，- - RV-.0XVRR00XR0XIRR 00XR相對誤差=分數(shù)法=0 xx百分法=0100 xx千分法=01000 xx7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念北 京 航 空 航 天 大 學引用誤差(滿度相對誤差)為了計算和劃分電表準確程度等級的方便而定義mXX絕對誤

8、差儀表的量程（滿刻度值）電工儀表根據(jù)引用誤差大小分為七級： 0 . 55 . 25 . 10 . 15 . 02 . 01 . 0、表示引用誤差不超過的百分比。例：某表等級為S、滿讀值是Xm，被測量的真值是Xo則絕對誤差00000XsXsxxmm相對誤差絕對誤差正比于滿度值，Xo越接近Xm越準確。滿度測量7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念用測量儀器在一個量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對誤差與該量程值（上限值下限值）之比來表示的相對誤差北 京 航 空 航 天 大 學例2：欲測一10伏左右電壓，兩表其一150伏、1.5級，其二15伏、2.5級，該選哪表？VVVVVSVVm375. 010;375

9、. 0)5 . 2(1525. 210;25. 2%5 . 1150002001解：用表一用表二應選表二。故選擇測量儀表要兼顧級別和滿度值。7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念北 京 航 空 航 天 大 學7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類古典誤差理論：系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差三大類。定義：相同條件下多次測量同一量，誤差的絕對值和符號保持恒定，或在條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，叫系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差簡稱“系差”，用來表示。 一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因：測量儀器設備在設計和制作上有缺陷 ，測量時環(huán)境條件與儀器要求不一致，測量方法不完善，測量設備的安裝、放置和使用不當，測量人員的不

10、良習慣及生理上的限制。特點： 恒差系：就是當測量條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就是一個客觀上恒定的值，多次測量取平均值并不能改變其大小。 變系差：就是在測量條件改變時，一般來說系統(tǒng)誤差是變化的，其規(guī)律有累進性的，也有周期性的，還有復雜規(guī)律變化的。北 京 航 空 航 天 大 學1）累進性系差：在測量過程中誤差數(shù)值逐漸變化的系統(tǒng)誤差（如溫漂、時漂）2）周期性系差：在測量過程中誤差數(shù)值周期性變化的系統(tǒng)誤差。恒溫箱隨環(huán)境溫度變化而周期性變化。3）按復雜規(guī)律變化的系差：盡管誤差變化規(guī)律復雜，重復測量仍有重復性。可用解析式、表格、曲線表達。處理方法：采用一定的技術措施來削弱或消除。（由特點決定的）7.2 7.2

11、測量誤差的分類測量誤差的分類北 京 航 空 航 天 大 學7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類表中代表的隨機誤差與隨時間按復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差有著本質(zhì)的區(qū)別。無規(guī)律。只有通過大量觀測，才能確定其統(tǒng)計規(guī)律。二、隨機誤差定義在實際相同的條件下多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號以不可預定的方式有時大(小)，有時為負(正)變化著的誤差稱為隨機誤差。（沒規(guī)律、不能預先確定） eg. 對某一頻率等精度測量10次，得下表：測量序號i 測量結(jié)果Xi(MHZ) 測量序號i 測量結(jié)果Xi(MHZ) 1 5.000032 6 5.000029 2 5.000029 7 5.000030 3 5.0000

12、30 8 5.000033 4 5.000019 9 4.999927 5 4.999931 10 5.000028北 京 航 空 航 天 大 學產(chǎn)生原因：主要是那些對測量影響微小而又互不相關的多種因素共同造成的，也就是隨機因素的影響。 就一次測量而言，隨差沒有規(guī)律、不可預定、不能控制，也不能用實驗的方法加以消除。但當測量次數(shù)足夠多時，隨差總體服從統(tǒng)計規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布，部分屬均勻分布或其它分布。7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類 有界性：（絕對值不會超過一定界限） 對稱性：（正負值出現(xiàn)的幾率相等） 具有抵償性: （當測量次數(shù)N趨于無窮時，算術平均值為零）特點: 在多次等精

13、度測量中，隨即誤差體現(xiàn)了如下特性：處理方法：多次測量取平均值來削弱，即數(shù)據(jù)處理，而非測量技術。北 京 航 空 航 天 大 學三、粗大誤差定義：在一定測量條件下，測量示值明顯偏離被測實際值所形成的誤差 。粗大誤差又叫疏失誤差 。產(chǎn)生原因：有測量條件突然變化的客觀原因，如測量過程中供電電源的瞬時跳變；也有測量人員疏忽的原因，如測錯、讀錯、記錯等。(就其性質(zhì)而言，粗大誤差可能是過分大的系差，也可能是過分大的隨差，因其誤差值太大分類時被單獨劃分為一類誤差。）7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類測量方法不當（方法誤差）例：測量圖中恒流式差動放大電路中T1管的集電極電位，在集電極與地之間用一臺內(nèi)阻

14、為10M的數(shù)字電壓表來測量，示值為5V，而用電壓靈敏度為20K/V的萬用表直流電壓6V檔來測量，示值只有3V(儀表的準確度影響不計）這可以用圖中等效電路來說明。北 京 航 空 航 天 大 學處理方法：粗大誤差對應的測量值稱為壞值，在測量結(jié)果中應予以剔除。此時電表的內(nèi)阻Rv=20K/V6V=120KRv與等效電阻Ro的分壓就是電表的示值V35EV120801200RRRV0V%40%100553%100EEV00V由此可以算出其相對誤差可見由于萬用表內(nèi)阻較低，在測量高內(nèi)阻回路的電壓時將會造成很大的方法誤差。這時應當選用高內(nèi)阻儀表等方法測量。隨機因素影響，如環(huán)境強躁聲等測量人員的粗心7.2 7.2

15、 測量誤差的分類測量誤差的分類北 京 航 空 航 天 大 學下圖是三種誤差的相互關系示意圖Xk:含有粗大誤差的測量示值，應剔除。：系統(tǒng)誤差，其定義為 =M(x)-A ：隨機誤差，其定義為 =Xi-M(x)A:實際值（真值）M(x):數(shù)學期望，其定義為： 因此,測量絕對誤差為Xi:第i次測量示值。)Xn1(lim)x(Mn1iiniiiAXXi7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類四、誤差對測量結(jié)果的影響及測量結(jié)果評價北 京 航 空 航 天 大 學當=0時,則iiXAxM)(此條件見下圖7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類系統(tǒng)誤差的特點：系統(tǒng)誤差的特點：規(guī)律性：盡管非常復雜；仍有規(guī)

16、律可循。系統(tǒng)誤差規(guī)律更難于掌握消除方法：系統(tǒng)誤差沒有比較有效的方法（利用計算機技術加修正值加以修正）；隨機誤差只可用統(tǒng)計方法北 京 航 空 航 天 大 學正確度、精密度和準確度來評價。正確度：指測量值與被測量真值的接近程度，也就是系統(tǒng)誤差大小的程度。 當系統(tǒng)消除了粗大誤差和隨機誤差的影響后，可以用系統(tǒng)誤差=M(x)-A表示測量的正確性。精密度：用來表示測量結(jié)果中隨機誤差的大小程度。精度指測量值重復一致的程度。相同條件下多次測量同一量，每次測量的值越接近，則測量的精密度就越高。因此，精密度表示測量結(jié)果中隨機誤差的分散程度。準確度：是測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差的總和，表示測量結(jié)果與真值的一致程度

17、。亦稱精確度。(a)彈著點很分散 -(b)彈著點很集中但偏向一方- -(c)彈著點集中靶心-7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析前提：認為系統(tǒng)誤差不存在前提：認為系統(tǒng)誤差不存在一、隨機誤差的統(tǒng)計特性定理：根據(jù)概率理論的中心極限定理可知，如果被研究的隨機變量是由大量互相獨立、分布規(guī)律是任意的隨機變量共同作用的結(jié)果。而其中每一個隨機變量對于總和只起微小的作用，則一般可以認為這個隨機變量服從正態(tài)分布，即高斯(Gauss)分布。測量中隨機誤差的分布及在隨機誤差影響下，測量數(shù)據(jù)的分布大多接近于服從正態(tài)分布。 這時測量隨機誤差及測量數(shù)據(jù)分布的概率

18、密度分別為)(2)(22)(1)(XXMXeX2X)(2)(1)(222e 隨機誤差X 測量值 測量值分布均方差 MxX的數(shù)學期望北 京 航 空 航 天 大 學正態(tài)分布曲線的特性誤差方程)(2)(22)(1)(XXMXeX2X)(2)(1)(222e 與X的分布形狀相同，坐標差M(x),分散程度一樣，標準偏差也完全相等?？捎懻撘粋€。 概率密度7.3 隨機誤差的分析北 京 航 空 航 天 大 學隨機誤差分布成軸對稱單峰曲線；標準偏差小，峰點高，幾率大， X集中，精密度高； -大，-低，-小，-分散，-低；7.3 隨機誤差的分析北 京 航 空 航 天 大 學結(jié)論：由圖可見，按正態(tài)分布的隨機誤差具有

19、如下特性：按正態(tài)分布的隨機誤差具有如下特性：絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相同對稱性絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大單峰性在一定測量條件下，絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率近于零，亦即可以認為誤差的絕對值實際上不超過一定界限。 有界性從對稱性可以推出，當n時，正負誤差相互抵消，則各誤差的代數(shù)和隨著測量次數(shù)n的無限增加而趨于零。抵償性上述四個特點，有時也稱為隨機誤差的四個公理。（前面講過三個）須注意的是：對隨機誤差作概率統(tǒng)計處理時， =0 隨機誤差不可能做逐個消除地技術性處理。7.3 隨機誤差的分析北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析二、數(shù)學期望和算術平均值 1、

20、數(shù)學期望：M(x) 如果等精度測量某一被測量n次，所得測量值 ,該被測量的算術平均值為niixnx11nixxxx,21當測量次數(shù)n時，平均值 的極限就是測量值的數(shù)學期望 )()()()(21XMXiMXMXMx)1(lim)(1niinxnXM北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析算術平均值的意義： 在進行等精度測量時，對真值為A的物理量進行 次獨立的測量，測量值為 其隨機誤差分別為 ，雖然其中任意一次測量值對它的數(shù)學期望都有一定的偏離，而且偏離的大小和方向沒有規(guī)律。但是從統(tǒng)計的觀點看，這一系列測量中的隨機誤差分布以及在隨機誤差影響下測量數(shù)據(jù)的分布是完全確定的。即 一定。則各次

21、測量應有相同的數(shù)學期望和標準偏差。既nxxx,21n,21n)()()()(21XMXiMXMXM單次測量=m個測量值次測量值平均值的數(shù)學期望n XMXnMnxMnxnMxMniinii11111根據(jù)概率論中關于“ 個隨機變量之和的數(shù)學期望等于各個隨機變量的數(shù)學期望之和”n舉例：和之期望 期望之和北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析2、有限次測量時測量值數(shù)學期望的估計若用 作為未知參數(shù) 的估計值，判斷這種估計值是否恰當。最常用的有兩個原則，即估計的一致性和無偏性。 當樣本容量 無限增大，若估計值 依概率收斂于 ，則稱 為 的一致估計值。 若估計值 的數(shù)學期望等于 ，則稱 為 的

22、無偏估計值，這種估計叫無偏估計。nxxx x x xx xxniixnx11 XMniixnXM11XMnx時依概率收斂于在即1XMxP符合估計的一致性 XMx 給定值作為的估計值是符合這兩個原則的x 北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析 XMxM所以：算術平均值 可作為最后的測量結(jié)果，并稱為最佳估計值。又x3、剩余誤差各次測量值與算術平均值之差稱為剩余誤差xxvii01111xnxnxnxnnxxvniiniinii兩個性質(zhì)：兩個性質(zhì)： 剩余誤差的代數(shù)和等于零。（可檢驗 是否正確） 剩余誤差的平方和為最小。即x min12niiv北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差

23、的分析三、標準偏差的計算隨機誤差離散程度的表示方法 1、測量數(shù)據(jù)組中某單次測量的標準偏差標準偏差的定義：對某一量進行多次等精度測量，測量值為： ，當n時，測量值與數(shù)學期望之差的平方取統(tǒng)計平均后再開平方所得值x)即為標準偏差。 稱為方差。nixxxx21,)(2x從統(tǒng)計學的觀點看；只要系統(tǒng)、條件、被測量不變，那么該系列測量具有相同的數(shù)學期望和標準偏差。i的符號可以是“+”或是“-”，取其平方使其負值變?yōu)檎?，使得較大的作用更明顯。nnniiniinXMxnX122121)(1)(niinX121)( XXXXn21北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析2、算術平均值的標準偏差在有限

24、次等精度測量條件下，如果測量分為m組，每組測量n次，共得m個算術平均值 、 。但它們并不相同，也是隨機變量。因而也有一定的分散性，其分散性用算術平均值的標準偏差 來評價。mxx1x2x因是等精度測量，所以具有相同的數(shù)學期望和標準偏差：n21測量值平均值的方差 XnXnnxnxnxniinii2221221221111nXnmmnmxm)()(222221當n為有限次數(shù)時，則用標準偏差估值代替標準偏差。所以算術平均值的標準偏差估值為()( )Xxn北 京 航 空 航 天 大 學上式說明： 次測量值平均值的方差比總體或單次測量的方差小n倍，或者說比標準偏差小 倍。物理意義：若被測量的總體中，各測量

25、值由于隨機誤差的影響，分布在M（x）附近，分散的程度可以用x)來描述。由于在平均過程中隨機誤差相互抵消，所以x 的分布相對集中了，既 比x)變小了。（P39例5）nn3、用有限次測量數(shù)據(jù)估計測量值的方差-標準偏差的估值貝塞爾公式N-1自由度證明見P36-37) 1()( 1)( 1)( 1)(12212212122nnxnxxnxnxxnxnXniiniiniinii貝塞爾公式是用有限次測量值估計方差的公式；廣范應用于科研當中，較好的計算器都有 按鍵，用符號S表示。通過按鍵輸入幾個數(shù)據(jù)，即可算出X及 的值。 7.3 隨機誤差的分析)(x北 京 航 空 航 天 大 學用剩余誤差表示算術平均值的標

26、準偏差的估值為：) 1(12nnvxnii在n次等精度測量中算術平均值的標準偏差估值 比單次測量的標準偏差估值小 倍。當n愈大時，則 愈小，測量的精密度愈高。估計值愈接近實際值)(xn1)(x 取多大，一方面取決于測量精密度的要求，一方面還要保證測量條件不變（溫度、電源電壓等） 值隨n增大而下降。但當n10以后， 值減小變得緩慢，又因測量次數(shù)n愈大，則測量時間愈長，這樣就愈難以保證等精度的測量條件，故一般n為8-12較為適宜。7.3 隨機誤差的分析北 京 航 空 航 天 大 學四、極限誤差的確定與粗大誤差的判別1、置信概率與置信區(qū)間 通過以前的方法求得數(shù)學期望和標準偏差以后，就可以討論置信問題

27、。 為與通常意義上的概率相區(qū)別而稱為置信概率。當知道了某被測量的分布曲線后，就希望知道測量數(shù)據(jù)處于m(x)附近的某區(qū)間內(nèi)的可能性（概率）有多大；或知道多次測量的標準偏差，而根據(jù)被測值估計其數(shù)學期望在什么范圍（區(qū)間）內(nèi)。 測量值x處于區(qū)間m(x)c(x)的概率與m(x)處于區(qū)間xC(x)的概率是相等的。 置信概率與置信區(qū)間總是聯(lián)系在一起的。明確一方才能討論另一方。減小c(x)可剔除異常數(shù)據(jù)7.3 隨機誤差的分析北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析dxxdxxxCxMxPxCxMxxCxMPxxMxxCxMxCxMxCxMxCxMe)(2)()()()()()()()()(222)

28、(1)()(| )(|)()()()(CZxCxMxCZxCxMxxdxdZxxMxZ,)()(,)()()(,)()(時當時當則令 從數(shù)學上講M(x)-C(x)xM(x)+C(x)與X-C (x)M(x)x+C(x)是完全等價的)(2)(222)(1)(xxMxexx正態(tài)分布的測量值在對稱區(qū)間的置信概率北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析CCCZPdZCZCPxCxMxxCxMPe22121)()()()(于是：置信概率：描述測量值的誤差處于某一范圍內(nèi)的可靠程度，用Pc表示。置信區(qū)間：置信概率的相應誤差范圍的值。 求概率Pc既是求正態(tài)分布曲線在對稱區(qū)間的積分，即概率密度曲線在

29、對稱區(qū)間-c,c內(nèi)的面積。 選擇不同的系數(shù)，就有不同的區(qū)間寬度，對應不同的面積，既不同的概率。從附錄1正態(tài)分布在對稱區(qū)間的積分表A (P118)，可由不同的系數(shù)，查到對應的概率；根據(jù)不同的概率，就可以查到相應的系數(shù)C,確定相應的區(qū)間。北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析Eg:已知某被測量的測量值服從正態(tài)分布,測量中系統(tǒng)誤差可以忽略。分別求出置信區(qū)間為真值附近的三個區(qū)間Xo(x),Xo2(x), Xo3(x)時的置信概率。解：Xo=M(x),C=1,2,3 經(jīng)查表，得置信概率為 P|X-Xo|(x)=P|Z|1=68.3% P|X-Xo|2(x)=P|Z|2=95.5% P|X-

30、Xo|3(x)=P|Z|3=99.73% 超出此范圍的概率=1-Pc：表示測量可靠性，稱置信水平。北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析C=1 311%74.31n221%56.43701%27. 0C=2 C=3 說明:當系數(shù)為1時，置信水平約為1/3，既約有2/3的測量數(shù)據(jù)可能在區(qū)間內(nèi)，1/3的數(shù)據(jù)落在區(qū)間外。查閱誤差函數(shù)表，可求出在給定區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率，如圖陰影區(qū)域。其曲線數(shù)據(jù)如下：C=1 P-+=P|=0.682689C=2 P-2+2=P|2=0.954500C=3 P-3+3=P|3=0.997300C=4 P-4+4=P|4=0.999937由此可知，一組等精度測量

31、數(shù)據(jù)中，大約有68.3%的誤差值不超過，絕對值小于2的誤差約占95.5%，絕對值小于3的誤差約占99.7%。如能求出一組等精度測量數(shù)據(jù)的標準偏差值，就可給出任一次測量數(shù)據(jù)大致不會超出的誤差范圍。這個誤差范圍稱為:北 京 航 空 航 天 大 學CXmaxC置信因數(shù)，取決于分布律和置信概率誤差極限Eg2.已知某電壓的測量中不存在系統(tǒng)誤差。測量值屬于正態(tài)分布，電壓的真值Vo=10V,測量值的標準偏差(v)=0.2V,求測量值出現(xiàn)在9.7V-10.3V之間的置信概率。解：由于測量中不存在系統(tǒng)誤差，真值Vo等于數(shù)學期望M(v),由題可知置信區(qū)間在Vo附近的范圍。 C(v)=10.3-10=10-9.7=

32、0.3V 則系數(shù) 查附錄I表A可得置信概率： P9.7VV10.3V=P(|Z|20,t分布和正態(tài)分布曲線接近, n時,t分布與正態(tài)分布完全相同。K20,有限次測量，t分布更符合實際。采用t分布可使置信區(qū)間估計值更精確?？烧J為t分布中包括了正態(tài)分布，正態(tài)分布是t分布中的一個特例。由t分布概率密度，可用積分方法求其概率：aattaaadtktxtxxMxtxPttP),()( )()( |P47例9 北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析4、有限次測量的單次測量值極限誤差的確定當測量次數(shù)n20時，其t分布接近正態(tài)分布，故可運用正態(tài)分布求得 t其t取值t=3,即按正態(tài)分布的Pc=99

33、.73%取t值。被測量實際值可以表示為3ixA5、粗大誤差的判別準則:根據(jù)隨機誤差的第三條公理“有界性”介紹兩種常用的判別準則：北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析萊特準則（3準則）定義：假設對某量進行n次等精度測量得 ,其剩余誤差 當其中 則認為測量值 是壞值，應給予剔除。上述判斷法稱為萊特準則，也稱3準則。nkxxxx、 21nkvvvv、213|xxvkkkx 格茹布斯(Grubbs)準則:根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計方法推出，含義明確、較科學。 在n次等精度測量中，如果某個測量值Xk的剩余Vk值為),(|nPGvCk則認為Xk是壞值，應給予剔除。系數(shù)G除包含n外，還給出置信概率，使用更

34、加方便。參見附錄三(P123)北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析五、隨機誤差的均勻分布-正態(tài)分布之外的一種最主要分布均勻分布的特點：在其分布范圍內(nèi)，測量值或測量誤差出現(xiàn)的概率密度相等。22iixxx產(chǎn)生的主要原因： 儀器最小分辨力限制引起的誤差; 數(shù)字顯示儀器的 個字；四舍五入處理； 對誤差分布并不了解，只知大致范圍時。1分辨力測量儀器可能檢測出被測信號最小變化(準確值)的能力。靈敏門值測量儀器不能檢測出的被測信號最大變化范圍值。北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析(一)均勻分布的概率密度概率密度x)為 x)=k a x b =0 xb 由于均勻分布的范圍是由

35、a到b，因此概率為：1)(babakdxdxxPabkx1)(a x b)a-b之間的概率密度：(二)數(shù)學期望與標準誤差 對于測量值x連續(xù)取值，其數(shù)學期望定義式為：dxxxxM)()(（定義式）北 京 航 空 航 天 大 學7.3 隨機誤差的分析21)(baxdxabxkdxxMbaba所以對于測量值x連續(xù)取值，其標準誤差定義式為：dxxxMxx)()()(21212)(12)(22ababdxabbaxxba所以Eg:用滿量程為250mA，分辨力的靈敏門值為2mA，問測量電流的示值為200mA時，其實際值的范圍及標準誤差為多少？ 解:由于分辨力造成的隨機誤差，其出現(xiàn)的概率密度是屬于均勻分布的

36、。因此對于示值為x=200mA,其實際值是在范圍之內(nèi)mAmAmAmAxA201199222002 其隨機誤差的標準誤差為mAmAmAab6 .01219920112北 京 航 空 航 天 大 學7.4 系統(tǒng)誤差的處理大多具有不易掌握的規(guī)律，沒有通用處理方法可用。一般是先檢驗誤差是否存在，判斷產(chǎn)生原因及誤差范圍。一、系統(tǒng)誤差的檢驗當測量次數(shù)為n時，其算術平均值為：niiniiniinnAxnx1011111當測量次數(shù)n足夠多時，由于隨機誤差的抵償性011niinniinAx1011、恒定系差的檢驗 送檢，給出校正后的修正值。 可用同類型儀器進行測量。 自校準。北 京 航 空 航 天 大 學7.4

37、 系統(tǒng)誤差的處理2、變值系差的檢驗(1)剩余誤差觀察法xxvii使某一條件（如溫度）有規(guī)律的變化，記錄測量值。作成表格或曲線。(2)馬列科夫判據(jù)該判據(jù)用來發(fā)現(xiàn)累進性系差。其方法是將n次等精度測量的剩余誤差按先后次序排列為V1,V2,.,Vi,.,Vn,把它們按先后等分為兩部分并求其差值。ii0ii0北 京 航 空 航 天 大 學7.4 系統(tǒng)誤差的處理 (3)阿貝赫梅特判據(jù) 該判據(jù)用以判別周期性系差是否存在。若 則說明該測量數(shù)據(jù)列中存在周期性系差。21111nvvniii當n為偶數(shù)時求2112ninniiivvM當n為奇數(shù)時求2)1(12)3(ninniiivvM若M0，則認為該測量數(shù)據(jù)列不存在

38、累進性；若M值明顯地不為零，而且 |M| |則說明存在累進性系差。maxiV注意：變系差使測量值偏離正態(tài)分布，因而有變系差的測量數(shù)據(jù)原則上應舍棄不用，重新測量。北 京 航 空 航 天 大 學代替法交換法7.4 系統(tǒng)誤差的處理二、系統(tǒng)誤差的消弱法1、消除產(chǎn)生系差的根源。(儀器、環(huán)境、人身和方法）2、修正測量值。（利用儀器的修正值）3、利用典型的測量技術零示法使被測量對儀表的作用與已知標準量的作用相平衡，使儀表示零。無電流，不需讀數(shù)，無負載效應，只取決于標準電池、電阻和G的靈敏度。系統(tǒng)誤差可忽略不計的準則是： 系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。

39、北 京 航 空 航 天 大 學7.5 測量數(shù)據(jù)的處理 一、有效數(shù)字的概念若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個單位，則該近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如： 3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差0.0005 8.700 四位有效數(shù)字，極限誤差0.0005 8.7103二位有效數(shù)字，極限誤差0.05103 0.0807三位有效數(shù)字，極限誤差0.00005中間和末尾的0都是有效數(shù)字，而開頭的零不是有效數(shù)字。 絕對值比較大（或比較?。┒行?shù)字又比較少的測量數(shù)據(jù)，應采用科學計數(shù)法，即a10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。北 京 航

40、空 航 天 大 學(1)第n+1位小于5則第n位不變(2)第n+1位大于5則第n位為1(3)第n+1位等于5時 (A)在第n+2位有不為“0”的數(shù)則第n位加1. (B)在第n+2位為“0”或無數(shù)字時，當?shù)趎位為偶數(shù)則第n位不變；當?shù)趎位為奇數(shù)則第n位加1。為了增加尾數(shù)為偶數(shù)的機會。 二、有效數(shù)字的處理1、數(shù)字的舍入規(guī)則例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.434412.43 63.7350163.740.694990.69 25.325025.3217.695517.70 123.1150123.12注意：舍入應一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69 ，錯誤做法是：

41、 0.694990.69500.6950.70。7.5 測量數(shù)據(jù)的處理北 京 航 空 航 天 大 學7.5 測量數(shù)據(jù)的處理例：用一最小刻度為 的米尺來量一長度如圖，對X的讀數(shù)有各種寫法如：101cmcmx5 . 21cmx50. 22哪一種合理？cmx500. 231R的寫法是最合理的，2R的寫法是不合理的。109.378,108 . 3221RR伏1592. 4V安011. 0I?011. 01592. 4IVR例：北 京 航 空 航 天 大 學有效數(shù)字的運算規(guī)則：1）加、減法運算 加法、減法運算：以小數(shù)點后位數(shù)最小的為準（各項無小數(shù)點則以有效位數(shù)最少者為準），其余各數(shù)可多取一位；2）乘、除

42、法運算 兩個量相乘（相除）的積（商），其有效數(shù)字位數(shù)與各因子中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。3）乘方、開方運算 其結(jié)果可比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。4）對數(shù)運算 對數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)應與其真數(shù)相同。 在所有計算式中，常數(shù),e的數(shù)值的有效數(shù)字位數(shù)，認為是無限制，需要幾位就取幾位。表示精度時，一般取一位有效數(shù)字，最多取兩位有效數(shù)字。7.5 測量數(shù)據(jù)的處理北 京 航 空 航 天 大 學7.5 測量數(shù)據(jù)的處理三、等精度測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理步驟步驟 : : (1)將測量結(jié)果列成表格 (2)求出算術平均值 (3)檢查計算有無錯誤，先計算每一個Xi的相應的剩余誤差 。如果計算無錯誤，理論上應滿足niixnx11orn

43、vxxnii1xxvii01niiv如上式不等于0，就說明計算有錯誤。但是這個結(jié)論只有當 為可除盡的小數(shù)時才是嚴格成立的。一般情況下，由于四舍五入引入了一定誤差，上式不會完全等于零。不等于零時可用下式檢驗。設Vi以 的最后一位的單位為單位，測量次數(shù)n如滿足可認為計算無誤。反之，說明計算有誤。xx北 京 航 空 航 天 大 學7.5 測量數(shù)據(jù)的處理 (4)在每個Vi旁列出相應的Vi2值。求出標準偏差。nivn1211(5)檢查有無粗大誤差(差錯),使用萊特準則,肖維涅準則或格茹布斯準則進行。如果發(fā)現(xiàn)有粗大誤差,應剔除后重新從步驟(2)開始再計算。(6)檢查有無系統(tǒng)誤差。使用馬利科夫準則或阿卑赫梅特準則進行。如果判明有系統(tǒng)誤差存在，則測量結(jié)果不能再用，應查明原因，并在消除系統(tǒng)誤差后重新測量取得數(shù)據(jù)。再進行數(shù)據(jù)處理。(7)計算出算術平均值的標準偏差。nx (8)寫出測量結(jié)果的最后表達式xatxA這里ta為置信因數(shù)，應根據(jù)所要求的置信概率來選取。當不加注明時，置信概率為0.95。當n足夠多時， 取ta=3。北 京 航 空 航 天 大 學等精度測量某電壓10次，其數(shù)據(jù)列于表中，將此列數(shù)據(jù)進行處理，步驟如下：1、將測量數(shù)據(jù)列入表中1 1 2.593 2.593+0.