第三章 線性方程組解法

1、計算方法 (力學(xué)系本科生)3.1 問題的提出 第三章 線性方程組解法 n階線性方程組3.1 問題的提出11 11221331121 1222233221 12233.nnnnnnnnnnna xa xa xa xba xa xa xa xba xa xa xa xb3.1 問題的提出線性方程組Ax=b，其中A是n維維方陣，x是n維未知數(shù)向量，b是n維常數(shù)向量。1112111212222212.,.nnnnnnnnaaabxaaabxaaabxAbx3.1 問題的提出如果A是非奇異陣時，方程組有唯一解，且可以用克萊姆(Grammer)法則表示:, (1,2,., )iiDxinD其中xi是解向量

2、x*的第i個分量，D=detA, Di是用b代替A的第i列后得到矩陣的行列式。3.1 問題的提出克萊姆方法求解計算量太大，需要計算(n+1)個n階行列式，共需要(n+1)!次乘法運算。3.1 問題的提出 求解線性方程組的數(shù)值方法有兩大類：1)直接法(direct methods)。 經(jīng)過有限次算術(shù)運算可求方程組精確解的方法(實際上，由于舍入誤差不可避免，一般得不到精確解)。適合于求解低階稠密陣方程組。3.1 問題的提出2) 迭代法(iterative methods)。采用極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法。迭代法需要計算機存儲單元較少，對計算機要求不高，程序設(shè)計簡單，但有收斂性和收斂速

3、度方面的問題。迭代法是求解大型稀疏矩陣方程的重要方法。 3.1 問題的提出 我們在本章將要學(xué)習(xí)迭代法有：雅可比(Jacobi)迭代法高斯塞德爾(Gauss-Seidel)迭代法超松弛迭代法(Successive overrelaxation method, SOR)。3.1 問題的提出追趕法(Forward elimination and backward substitution)。 我們在本章將要學(xué)習(xí)直接解法有：高斯消去法(Gauss Elimination)，高斯主元素消去法(Gauss Elemination with pivoting),三角分解法(LU decomposition)

4、，3.1 問題的提出JacobiGauss Seidel迭代法迭代法迭代法超松弛迭代法不選主元高斯消去法選主元（列選，全選）直接法三角分解法追趕法【歷史注記】線性代數(shù)方程組數(shù)值解法有著悠久的歷史。我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)(公元1世紀)的“方程”章中就有了較好的線性方程組數(shù)值解法相當(dāng)于現(xiàn)代對方程組的增廣矩陣進行初等變換、消去未知數(shù)的方法。中世紀的印度數(shù)學(xué)家也可以求解線性方程組。例如12世紀的婆什迦羅的著作中，也有求解線性方程組的內(nèi)容。3.1 問題的提出在歐洲，16世紀的比特奧在其算術(shù)（1559）中采用了與九章算術(shù)類似的消元法。日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其解伏題之法一書(1683)中首先采用了類似于現(xiàn)代行

5、列式法求解了三元線性方程組。稍后，萊布尼茨提出關(guān)于行列式解線性方程組的思想(1693)。1721年馬可勞林用行列式展開式的方法給出了二元、三元、四元線性方程組的解法，3.1 問題的提出但他的符號記法不完善。1750年，克萊姆給出了現(xiàn)在比較通用的線性方程組行列式解法，即克萊姆法則。1764年，貝祖用行列式建立了線性方程組的一般理論。但由于當(dāng)時計算的效率很低，這一理論幾乎只有理論的意義，實際上只能求出未知數(shù)很少的線性代數(shù)方程組的解。只是在20世紀中葉電子計算機問世并投入應(yīng)用之后，大型線性代數(shù)方程組的數(shù)值求解才成為可能。3.1 問題的提出如何利用計算機更精確、更有效地求解大型線性方程組，是計算數(shù)學(xué)中

6、最重要的課題之一。 現(xiàn)代計算實踐中，常用的線性代數(shù)方程組數(shù)值解法有直接法和迭代法兩大類。直接法是在沒有舍入誤差的假設(shè)下，經(jīng)過有限次運算就可得出方程組的精確解的方法，如各種消元法。迭代法則采用逐次逼近的方法,即從一個初始值出發(fā)，按照一定的計算格式(迭代公式)，構(gòu)造一個向量的無窮序列，其極限才3.1 問題的提出是方程組的精確解，用有限次運算得不到精確解。迭代法是牛頓最先提出來的，1940年經(jīng)司威爾提出的松弛法也是一種迭代法，共軛梯度法則是另一種迭代法，是弗萊徹等人于20世紀60年代提出來的。3.1 問題的提出例3.13.1 問題的提出52832026xyxy精確解為*2,1xy 0.41.60.1

7、51.3xyyx 將方程寫為取(0)(0)0 xy(1)(0)(1)(0)0.41.61.60.151.31.3xyyx 3.1 問題的提出重復(fù)以上過程得(2)(1)(2)(1)0.41.62.120.151.31.06xyyx k0123456x(k)01.62.122.0241.99281.998562.000432y(k)0-1.3-1.06-0.982-0.9964-1.00108-1.0002163.1 問題的提出如果把原方程寫為6.6678.6672.54.0 xyyx 構(gòu)造(1)( )(1)( )6.6678.6672.54.0kkkkxyyx k0123x(k)08.66735

8、.335-109.126y(k)04.0-17.668-84.35852832026xyxy3.1 問題的提出例3.2 12312312382124102132516xxxxxxxxx構(gòu)造(1)( )( )123(1)( )( )213(1)( )( )3120.1250.251.50.40.12.10.60.43.2kkkkkkkkkxxxxxxxxx (0)(0)(0)1230 xxx3.1 問題的提出得 3.1 問題的提出構(gòu)造(1)( )( )123(1)( )( )213(1)( )( )3122.50.255.25(2)1.52.58.0(3)40.56.0(1)kkkkkkkkkx

9、xxxxxxxx (0)(0)(0)1230 xxx12312312382124102132516xxxxxxxxx由原方程3.1 問題的提出得3.1 問題的提出 如果A非奇異，則線性方程組Ax=b有唯一解x*，將方程化為x=Bx+f，給出初始向量x0，則有： xk+1=Bxk+f, k=0,1,2可以構(gòu)成一向量序列xk，若向量序列xk收斂于x*，則x*=Bx*+f, 即即x*是方程組的解 。 這種方法稱為迭代法, B稱為迭代矩陣。 3.1 問題的提出 構(gòu)造迭代法的中心問題是建立一個由本次近似值計算下一次近似值的規(guī)則。用迭代法求解線性方程組時要解決的問題有： 1) 構(gòu)造一種迭代格式，由xk計算

10、xk+1 3) 證明向量序列xk的收斂性 2) 給出初始向量x04) 如果序列收斂，證明是原方程組的解 5) 給出估計誤差和迭代停止判據(jù)。 3.1 問題的提出v 定義：在n維空間中給定一個向量序列 ， ，如果對每一個分量 ,當(dāng) 時都有極限xi, 即 , 則稱向量序列 有極限 ,或稱 收斂于x。 kx 12(,.)kkkkTnxxxxkixk limkiikxx kx122( ,.)Tx xxx kx3.2 雅可比迭代(Jacobi iteration) 第五章 線性方程組解法3.2 雅可比迭代 最簡單的迭代方法是從第i個方程解出未知數(shù)xi，i=1,2,n 1,1()niiijjjj iiixb

11、a xa于是雅可比迭代式為 111(),1,2,.,nkkiiijjjj iiixba xina 把系數(shù)矩陣分解為A=U+D+L，其中U為由A上三角部分構(gòu)成的上三角陣，L為由A下三角元素構(gòu)成的下三角陣，D為由A對角線元素構(gòu)成的對角陣。 3.2 雅可比迭代 顯然，所有aii, i=1,2,n不為零上式才有意義，從線性代數(shù)知，對于任何系數(shù)方陣非奇異的方程組，通過適當(dāng)交換方程的順序總可以使所有方程的0iia 3.2 雅可比迭代121312320.0.0.0nnaaaaaU21313212000.0nnaaaaaL112233.nnaaaaD于是原方程組為 (U+D+L)x=b3.2 雅可比迭代上式兩

12、邊左乘D-1得 x= D-1 b- D-1(U+L)x=Bx+f其中 B=-D-1(U+L), f=D-1b于是有迭代格式 xk+1=Bxk+f例3.3 用Jacobi迭代格式解下面方程組。3.2 雅可比迭代解：Jacobi迭代格式為 1238111210141153xxx 3.2 雅可比迭代取初始向量x(0)=(0,0,0)T，各次迭代結(jié)果(1)( )( )123(1)( )( )213(1)( )( )312(1)/8(42)/10( 3)/( 5)kkkkkkkkkxxxxxxxxx k0123456x1(k)0.00000.12500.25000.22630.22350.22510.2

13、250 x2(k)0.00000.40000.31500.30050.30600.30580.3056x3(k)0.0000-0.6000 -0.4950 -0.4870 -0.4946 -0.4941 -0.49483.3 高斯塞德爾迭代(Gauss-Seidel iteration ) 第五章 線性方程組解法 在雅可比迭代中, 計算第k+1次迭代近似值時用的是上一次即第k次的近似值，從式 3.3 高斯塞德爾迭代11,1(),1,2,.,nkkiiijjjj iiixba xina可以看出，在計算第i個xik+1分量時，前面i-1個分量x1k+1, x2k+1 xi-1k+1已經(jīng)從上式中計算

14、出來了，于是很自然會想到如果把它們代入用來計算xik+1可能會改進迭代,于是就得到Gauss-Seidel迭代格式： 寫成矩陣形式為： 3.3 高斯塞德爾迭代111111(),1,2.,inkkkiiijjijjjj iiixba xa xina 111()kkkxDbLxUx或1()kkDL xbUx如果(D+L)-1存在，則 111()()kkk xDLUxDLbBxf其中3.3 高斯塞德爾迭代11(),() BDLU fDLb【注記】 通常高斯塞得爾方法比雅可比方法有更快的收斂速度，但不是總這樣，對于某些方程組，雅可比迭代收斂，而高斯塞得爾方法發(fā)散。即，并不是任何時候高斯塞得爾方法都比雅

15、可比方法好。 例3.4 用Gauss-Seidel迭代格式解下面方程組，精確到3位有效數(shù)。3.3 高斯塞德爾迭代1238111210141153xxx 解：Gauss-Seidel迭代格式如下3.3 高斯塞德爾迭代取初始近似值x0=(0,0,0)T，各次迭代結(jié)果112311213111312(1)/8(42)/10( 3)/( 5)kkkkkkkkkxxxxxxxxx k01234xk10.00000.12500.23440.22450.2250 xk20.00000.37500.30310.30590.3056xk30.0000-0.5000-0.4925-0.4939-0.49363.4

16、逐次超松弛迭代法(SOR) (Successive Overrelaxation Method) 第五章 線性方程組解法 逐次超松弛迭代簡稱SOR方法，是高斯塞得爾法的一種加速方法。 3.4 逐次超松弛迭代法高斯塞得爾法迭代格式得到 111111(),1,2,.,inkkkiiijjijjjj iiixba xa xina 把xik+1改進為xik與 的加權(quán)平均，即 1kix11111(1)(),1,2,.,kkkiiiinkkkiiijjijjjj iiixxxxba xa xina3.4 逐次超松弛迭代法 上式中 時, 就是高斯塞得爾方法，為保證迭代過程收斂,要求 102當(dāng) 時叫低階松弛法

17、；當(dāng) 時叫超松弛法。 121 SOR方法收斂時，希望選擇一個最佳的使收斂速度最快。目前還沒有最佳松弛因子 的一般算法理論，實際大都由計算經(jīng)驗通過試算確定 的近似值 optopt 超松弛迭代式的矩陣形式 3.4 逐次超松弛迭代法1)直接由分量形式公式寫 由1111()inkkkkiiiijjijjjj iiixxba xa xa有111()kkkkkxxDbLxUxDx所以111() ()()kkxDLDDU xDLb(證明)3.4 逐次超松弛迭代法111()kkkkkxxDbLxUxDx111() ()()kkxDLDDU xDLb11()kkkkkDxDxbLxUxDx11kkkkkDxLx

18、DxUxDxb1()()kkDL xDUD xb2)由高斯塞德爾公式推導(dǎo)。 3.4 逐次超松弛迭代法高斯塞德爾迭代公式的矩陣形式是 11kkkDxbLxUx加權(quán)平均11(1)kkkxxx11(1)()kkkkDxDxbLxUx111() (1)()kkxDLDU xDLb(證明)3.4 逐次超松弛迭代法11(1)()kkkkDxDxbLxUx111() (1)()kkxDLDU xDLb11(1)kkkkDxLxDxUxb1() (1)kkDL xDU xb3.5 迭代法的收斂性 (convergence) 第五章 線性方程組解法v 矩陣 的特征值 的絕對值最大值稱為矩陣A的譜半徑，即 3.5

19、 迭代法的收斂性n nRA,1,2,.,iin1( )maxii n A 定理 (迭代法基本定理)：設(shè)有方程組x=Bx+f，對于任意初始向量x0及任意f，迭代公式xk+1=Bxk+f收斂的充要條件是 ( )1B3.5 迭代法的收斂性 定理(迭代收斂的充分條件)：設(shè)有迭代式xk+1=Bxk+f，如果 ，則對于任意初始向量x0，這個迭代過程收斂于方程組x=Bx+f的唯一解x*，并且有事后估計 1qB*111kkkqxxxx以及事前估計 *101kkqqxxxx3.5 迭代法的收斂性v定義：如果對于方陣 ，有 n nA1,1,2,.,niiijjj iaain則稱方陣對角占優(yōu)。 定理：如果方程組Ax

20、=b的系數(shù)陣對角占優(yōu)，則方程組有唯一解且對任意初始向量x0雅可比迭代和高斯塞德爾迭代都收斂于真解。 3.5 迭代法的收斂性【思考題3.1】如何對方程組進行調(diào)整，使用Gauss-Seidel迭代格式求解時收斂？1213123879897xxxxxxx 定理：如果方程組Ax=b的系數(shù)陣對稱正定，則方程組有唯一解且對任意初始向量x0高斯塞德爾迭代收斂于真解。 3.5 迭代法的收斂性 Jacobi迭代格式的收斂性3.5 迭代法的收斂性 Jacobi迭代矩陣1() JDUL 特征方程0IJ1()0IDUL1()0DDUL3.5 迭代法的收斂性由于10D0DUL所以注意到ADUL所以，將A的對角線元素乘以

21、 后取行列式，令其等于零，就是Jacobi迭代矩陣的特征方程。 例3.5 討論用Jacobi迭代格式解方程組的收斂性。3.5 迭代法的收斂性1238111210141153xxx解：Jacobi迭代矩陣的特征方程為81121010115展開得3.5 迭代法的收斂性Jacobi迭代格式收斂。34001230解得12,30.146084,0.073041 0.214487i 123( )max,0.226581B Gauss-Seidel迭代格式的收斂性3.5 迭代法的收斂性 Gauss-Seidel迭代矩陣1() GDLU 特征方程0IG1()0IDLU1()()0DLDLU3.5 迭代法的收斂

22、性由于1()0DL()0DLU所以注意到ADUL所以，將A的對角線以下元素乘以 后取行列式，令其等于零，就是Gauss-Seidel迭代矩陣的特征方程。3.5 迭代法的收斂性【思考題3.2】Gauss-Seidel迭代矩陣1() GDLU至少有1個特征值為零，為什么？ 例3.6 討論用Gauss-Seidel迭代格式解方程組的收斂性。3.5 迭代法的收斂性1238111210141153xxx解： Gauss-Seidel迭代矩陣特征方程為811210105展開得3.5 迭代法的收斂性Gauss-Seidel迭代格式收斂。2(400101)0解得12,30,( 117)/80 123()max

23、,0.0640381G3.5 迭代法的收斂性!作業(yè)：(1) 寫出下面方程組的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的算法 (2) 討論它們的收斂性。123211111111121xxx 3.6高斯消去法(Gauss Elimination)第三章 線性方程組解法 高斯消去法是最古老的數(shù)值方法之一，現(xiàn)在仍然是一個很有用的方法，它在計算機上容易實現(xiàn)。 3.6 高斯消去法 其基本思想是在各個方程之間進行乘法和加減運算，逐步消去方程中的未知數(shù)。它分為消去和回代兩個過程。 Axb 給定線性方程組3.6 高斯消去法1112111212222212.nnnnnnnnaaaxbaaaxbaaa

24、xb第一步消元，令 ，用 乘第一個方程再加到第i個方程上作為第i個新方程，消去x1的項，變?yōu)?111/,2,3,.,iimaain1 im逐次進行同樣過程，最后，經(jīng)過n-1次消元，得到： 3.6 高斯消去法1112111(1)(1)(1)22222(1)(1)(1)2.0.0.nnnnnnnaaaxbaaxbaaxb以上這些步驟叫消元過程。 3.6 高斯消去法1112111(1)(1)(1)22222(1)(1).0.0.00.nnnnnnnnaaaxbaaxbaxb然后，從第n個方程開始，依次解出 xn, xn-1, x1 3.6 高斯消去法(1)(1)/nnnnnnxba(1)(1)(1)

25、1()/niiiiiijjiij ixbaxa 1,.,1in高斯消去法的計算量3.6 高斯消去法 消去過程的計算量。第一步計算乘數(shù)mi1,(i=2,3,n)需要i-1次除法運算，計算aij(2)(i,j=2,3,n)需要(i-1)2次乘法運算以及(i-1)2次加減法運算。 利用求和公式211(1)/2,(1)(21)/6,1nniiin nin nnn 得到3.6 高斯消去法第k步加減法次數(shù)乘法次數(shù)除法次數(shù)1(n-1)2(n-1)2n-12(n-2)2(n-2)2n-2N-1111合計n(n-1)(2n-1)/6 n(n-1)(2n-1)/6n(n-1)/2 于是消去過程乘除法次數(shù)為2(1)

26、/3n n 消去過程加減法次數(shù)為(1)(21)/6n nn3.6 高斯消去法計算b(n-1)的計算量(1)(2).2 1(1)/2nnn n 乘除法次數(shù)為 加減法次數(shù)為(1)/2n n3.6 高斯消去法回代計算量 乘除法次數(shù)為 加減法次數(shù)為(1)/2n n12.(2)(1)(1)/2nnnn n3.6 高斯消去法總的計算量332333nnnn 乘除法次數(shù)為 加減法次數(shù)為3353263nnnn 高斯消去法還有沒有辦法進行，為什么？ 3.6 高斯消去法(1)0,1,2,.,(1)iiiain【思考題3.3】如果遇到! 作業(yè)：寫出高斯消去法Fortran程序。3.7高斯主元消去法(Gauss Eli

27、mination with pivoting )第三章 線性方程組解法3.7 高斯主元消去法 從高斯消去法我們已經(jīng)看出，為使高斯消去法能順利進行，必須在每一步消去步都滿足條件 ，但若(1)0iiia(1)(1),iiiikiaaki相應(yīng)的系數(shù) (1)(1)/,iikikiiimaaki計算可能引起很大的舍入誤差。 為此，需要改進高斯消去法。有兩種改進方法：列選主元，完全選主元。 3.7 高斯主元消去法u列選主元通過交換方程而使得 aki(i-1), k=i,i+1,n,中絕對值最大的一個換到(i, i)位置而成為第i步的消去主元。u完全選主元法就是在系數(shù)矩陣的子塊 1,11,1,.kkknn

28、kn naaaa中找出絕對值最大的元素，作為第k+1次消去過程的主元。 3.7 高斯主元消去法假設(shè) 11maxpqijki nkj naa 則k+1行與p行交換，第k+1列與第q列交換。右端也同時交換，在做列交換時，要注意未知量也作交換，即把xk+1與xp交換。 3.7 高斯主元消去法 列選主元算法： 1. for k=1,2,n-1 2. 找出滿足 元素的行位置p ,maxp kikk i naa 3. if , error, stop4. if ( )換行 ,p kapk5. for j=k,k+1,n 6. ak,j與ap,j交換 3.7 高斯主元消去法7. bk與bp交換 8. End

29、for9. Endif 消去計算： /,1,.,ikikkkmaaikn,1,.,ijijikkjaam ai jkn,1,.,iiikkbbm bikn10. Endfor3.7 高斯主元消去法回代計算：/nnnnxba11. for i=n-1,n-2,2,1 1()/niiijjiij ixba xa 12. Endfor 3.7 高斯主元消去法3.8 三角分解法(LU decomposition )第三章 線性方程組解法高斯消去法 3.7 三角分解法第一次消元過程為 111111/,2,3,., ,0iimaaina用-mi1乘上面第一個方程再加到第i個方程，即可消去第i個方程中的未知

30、量x1。這個過程實際上是給系數(shù)矩陣A左乘這樣一個下三角陣L1： 作第二次消元相當(dāng)于給系數(shù)矩陣A(1)左乘了一個下三角陣L2：211311100.010.00100.00.1nmmm L3.7 三角分解法作第k次消元相當(dāng)于系數(shù)矩陣A(k-1)左乘一個下三角陣Lk2322100.0010.001.0.00.1nmmL(1)(1)(1)222222/,2,., ,0iimaain a3.7 三角分解法|11,2,100.010.1.0.0.0.kKkkkkkn kmmmL3.7 三角分解法于是第n-1次消元過程可表示為：( )1221.nnnLLL L AA( )1221.nnnLLL L bb于是

31、1111( )1221.nnnAL LLLA下三角陣乘積也是一個下三角陣。 記111121.nLL LL3.7 三角分解法 L是單位下三角陣(即對角元素全為1的下三角陣)。 211210.01.0.1nnlllL3.7 三角分解法( )nALA叫矩陣A的三角分解，或LU分解。如果L為單位下三角陣，則叫Doolittle分解，若U為單位上三角陣，則叫Crout分解。 ALU只要A的各順序主子式不為零，則A可唯一分解成一個單位下三角陣L與一個上三角陣U的乘積。3.7 三角分解法 設(shè)Ax=b，A=LU，則Ax=LUx=b于是令Ux=y，則Ly=b11121212221210.0.1.00.,.0.1

32、00.nnnnnnuuuluulluLU3.7 三角分解法這樣原來方程能化為兩個簡單方程組由 求y11,1,2,.,iiiijjjybl yin然后由 求x1()/niiijjiij ixyu xu 3.7 三角分解法,1,.,1in n 現(xiàn)在顯式地給出lij和uij的表達式 111211112121222212221212.1.10.1nnnnnnnnnnnnaaauuuaaaluuaaallu從第一行可以看出，u1j=a1j, j=1,2,n3.7 三角分解法從第一列可以看出 ai1=li1u11, i=2,3,n, 即li1=ai1/u11, i=2,3,n 。 從第二行可以看出，a2j

33、=l21u1j+u2j , j=2,3,n，則u2j=a2j-l21u1j, j=2,3,n 從第二列可以看出，ai2=li1u12+li2u22 , i=2,3,n，則li2=(ai2-li1u12)/u22, i=2,3,n3.7 三角分解法111211112121222212221212.1.10.1nnnnnnnnnnnnaaauuuaaaluuaaallu 一般地，如果U的前k-1行，L的前k-1行已經(jīng)求出，則第k (k=2,3,n)步 11kkjkmmjkjmal uu(行)3.7 三角分解法11,1,.kkjkjkmmjmual ujk kn(列)11kikimmkikkkmal

34、 ul u11()/,1,.kikikimmkkkmlal uuikn直到第n步，A全部分解成LU。3.7 三角分解法3.9 追趕法( Forward elimination and backward substitution )第三章 線性方程組解法 在很多實際問題中，方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A是一個稀疏矩陣。 3.6 追趕法11122221110.0000000.0000000.00.00000000.00000000.000000000iiinnnnnnbcxabcxabcabcabx12.nddd假設(shè)非零元素集中分布在對角線及其相鄰兩個次對角線上，且系數(shù)陣為對角占優(yōu)陣，即有：11,2,

35、3,.1iiinnbcbacinba3.6 追趕法把系數(shù)矩陣三角分解有11222110.010000.0100,.0000010000nnnnqrqrpqrpqLU3.6 追趕法利用LU分解公式，寫出111111,2,3,.,kkkkkkkkkqb rcrcp qaqp cb kn3.6 追趕法得到 11,kkqbrc11,2,3,.,kkkkkkkapqbp cknq于是 ,LydUxy得到 111,2,3,.,kkkkydydp ykn3.6 追趕法1/1(),1,2,.,1nnnkkkkkxyqxyc xknnq3.6 追趕法3.10 其它應(yīng)用第三章 線性方程組解法 計算行列式值3.6 其他應(yīng)用ALU1122det( )det( ).nnu uuAU 求矩陣逆1AAI111212122212.1000.0100.0001nnnnnnxxxxxxxxxA分別由 120.,1,2,.,.10iinixxinix A解出 xij, ij=1,2,n 于是1ijxA3.6 其他應(yīng)用3.11 誤差分析(Error analysis)第三章 線