正交小波構(gòu)造

1、2022-3-26110.8 小波變換小結(jié)小波變換小結(jié)至今，我們已討論了連續(xù)小波變換、離散柵格上的小波變換及小波變換的Mallat算法。現(xiàn)對(duì)以上內(nèi)容作簡(jiǎn)要的總結(jié)。2022-3-2622022-3-2632022-3-2642022-3-265),(),(k22WTkjWTjjxx)(),()()(,/ttxdtkt2tx2kjj2j2022-3-2662022-3-2672022-3-268第第11章章 正交小波構(gòu)造正交小波構(gòu)造2022-3-26911.1 正交小波概述正交小波概述 現(xiàn)在舉兩個(gè)大家熟知的例子來(lái)說(shuō)明什么是正交小波現(xiàn)在舉兩個(gè)大家熟知的例子來(lái)說(shuō)明什么是正交小波及對(duì)正交小波的要求及對(duì)正

2、交小波的要求, 一是一是Haar小波，二是小波，二是Shannon小波小波1. Haar小波小波011)(t其它12/ 12/ 10tt01)(t其它10t)()(),(kkktkt)()(),(,kkttkjkj2022-3-26104/4/sin)(22/jje2/2/sin)(2/je2022-3-2611 Haar小波對(duì)應(yīng)的二尺度差分方程中的濾波器是：小波對(duì)應(yīng)的二尺度差分方程中的濾波器是： 由于由于Haar小波在時(shí)域是有限支撐的，因此它在時(shí)小波在時(shí)域是有限支撐的，因此它在時(shí)域有著好的定位功能。但是，由于時(shí)域的不連續(xù)引起域有著好的定位功能。但是，由于時(shí)域的不連續(xù)引起頻域的無(wú)限擴(kuò)展，因此，

3、它在頻域的定位功能差，或頻域的無(wú)限擴(kuò)展，因此，它在頻域的定位功能差，或者說(shuō)頻域的分辨率極差。者說(shuō)頻域的分辨率極差。21,21)(0nh21,21)(1nh它們是最簡(jiǎn)單的兩系數(shù)濾波器。它們是最簡(jiǎn)單的兩系數(shù)濾波器。2022-3-26122. Shannon小波小波tttsin)(01)(其它dktktkk)()(21)(),(,0*,0)(21)(kkdekkj2022-3-26130, 0)(Vtk100VWV01)(, 1k其它21)2(Vkt0)(Wt 01)(其它2)2/3cos()2/2/sin()(tttt2022-3-2614)()(),(kkktkt0V)(, 0k2)(, 0k0

4、W2022-3-2615)(, 1k1V)(, 0k2)(,1k1W2244)(,2k2V22)(,2k2W442022-3-2616 顯然，顯然，Shannon小波在頻域是緊支撐的，因小波在頻域是緊支撐的，因此，它在頻域有著好的定位功能。但頻域的不連此，它在頻域有著好的定位功能。但頻域的不連續(xù)引起時(shí)域的無(wú)限擴(kuò)展，也即時(shí)域?yàn)槔m(xù)引起時(shí)域的無(wú)限擴(kuò)展，也即時(shí)域?yàn)镾inc函數(shù)。函數(shù)。這樣，這樣，Shannon小波在時(shí)域不是緊支撐的，有著小波在時(shí)域不是緊支撐的，有著差的定位功能。差的定位功能。2022-3-26172022-3-26181100)2(2)2/()(jjjjHH)2()2/(2)2/(2)

5、2/()(201201jjjjHHHH 正交小波及其尺度函數(shù)可由共扼正交濾波器組作無(wú)限次正交小波及其尺度函數(shù)可由共扼正交濾波器組作無(wú)限次的遞推來(lái)產(chǎn)生。這一方面給我們指出了構(gòu)造正交小波的途徑，的遞推來(lái)產(chǎn)生。這一方面給我們指出了構(gòu)造正交小波的途徑，另一方面也指出，在遞推過(guò)程中還存在著一個(gè)收斂的問(wèn)題，另一方面也指出，在遞推過(guò)程中還存在著一個(gè)收斂的問(wèn)題，這就要求對(duì)小波函數(shù)還要提出更多的要求，如后面要討論的這就要求對(duì)小波函數(shù)還要提出更多的要求，如后面要討論的消失矩和規(guī)則性等問(wèn)題。消失矩和規(guī)則性等問(wèn)題。2022-3-2619)(0nh)(t11.2 由由 遞推求解遞推求解 的方法的方法 nntnht)2(

6、)(2)(0nntnht)2()(2)(11100)2(2)2/()(jjjjHH)2()2/(2)2/(2)2/()(201201jjjjHHHH2022-3-26201020)(0)()(JjJjzHzH用它來(lái)近似用它來(lái)近似 ；上式對(duì)應(yīng)的時(shí)域關(guān)系是；上式對(duì)應(yīng)的時(shí)域關(guān)系是 )()(*)(*)()() 1(0) 1 (0) 0(0)(0nhnhnhnhJJ2022-3-2621)(*)(*)()()1(0)1(0)0(0)(0nhnhnhnhJJ2022-3-26221,3,3, 182)(0nh 1, 0, 3, 0, 3, 0, 1*1, 3, 3, 1)82()(2)1(0nh1, 3,

7、 6,10,12,12,10, 6, 3, 1)82(2 1 , 0, 0, 0, 3 , 0, 0, 0, 3 , 0, 0, 0, 1*1 , 3, 6,10,12,12,10, 6, 3 , 1)82()(3) 2(0nh2022-3-26232022-3-2624niintxnhtx)2()(2)(0101)(0tx其它10 t1,3,3, 182)(0nh2022-3-26250123400.40.81.20123400.40.81.20123400.40.81.20123400.40.81.22022-3-26261, 3, 3, 142)(0nh總之，二尺度差分方程及其頻域關(guān)系給

8、出了由濾波器組遞推求解正交尺度函數(shù)和正交小波的方法。但是，這種遞推并不保證總是收斂的，它涉及到離散情況下的正則性條件等問(wèn)題。對(duì)此，我們將在下一節(jié)給以討論。2022-3-262711.3 消失矩、規(guī)則性及支撐范圍消失矩、規(guī)則性及支撐范圍1消失矩消失矩(Vanishing moments) dtttmkk)(0)()(kkkkddjm2022-3-26282022-3-26292022-3-26302022-3-26312022-3-2632)(),()(,ttxkdkjj2022-3-2633)2()2/(2)2/(2)2/()(201201jjjjHHHH2022-3-26342022-3-2

9、6352022-3-2636證明：證明：dtettj)()(dtetjtddtjkkkk)()()()()(dtttkjk)()1()0()(于是于是(1)和和(2)等效等效。2022-3-2637)()()()()2(2*01HeHj)()(1011zHzzH對(duì)上式連續(xù)微分，可證明對(duì)上式連續(xù)微分，可證明(2)等效于等效于(3)。2022-3-26382022-3-2639有關(guān)消失矩的定義也適用于離散信號(hào)。例如，令有關(guān)消失矩的定義也適用于離散信號(hào)。例如，令nnjenhH)()(11nnjkkkenhjndHd)()()(11nknhn0)(11, 1, 0pk2022-3-26402. 規(guī)則性

10、規(guī)則性規(guī)則性 (regularity) 又稱(chēng)正則性，在數(shù)學(xué)上是用于描述函數(shù)局部特征的一種度量。在信號(hào)處理中，用于描述信號(hào)在某點(diǎn)，或某一區(qū)間內(nèi)的平滑性和奇異性。2022-3-26412022-3-26422022-3-26432022-3-26442022-3-26452022-3-26461,3,3, 182)(0nh1, 3, 3, 142)(0nh2022-3-2647)()21(2)(10zQzzHp2022-3-2648)2(2)2/()(1010jjjjHH111)2/()2cos()(jjjpjQ1)2/(2/2/sin)(jjpQ2022-3-26492022-3-26501,3,3, 182)(0nh)()21(2)(310zQzzH2022-3-26511, 3, 3, 142)(0nh)()21(2)(10zQzzH241)(21zzzQ2022-3-26523. 支撐范圍支撐范圍2022-3-2653證明：證明：nntnht)()(2)