計算傳熱學-第1_2講

1、n學：n自學n動手n作業(yè)n考核：n平時作業(yè)：獨立完成n期末考試n授課：n畫龍點睛n經(jīng)驗所得n平時布置的作業(yè)：按要求完成n大作業(yè)：4個題，要求結課時一并提交計算傳熱學習題之一 試以下述一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題為模型，編寫求解一維非穩(wěn)態(tài)擴散型問題的通用程序： )()()()(10000000 xTTWTThxTkWTThxTkTcsxTkfxfLLxxLfLLxxxxfxx 其中，x 是空間坐標變量，是時間坐標變量，T 是溫度（分布） ，k 是材料的導熱系數(shù)，s 是內熱源強度，是材料的密度，c 是材料的比熱，h0和 hL分別是 x0和 xL處流體與固體壁面間的換熱系數(shù)，而 Tf0和 TfL分別是固體壁兩

2、側流體的溫度，W0和 WL是x0和 xL處(非對流換熱)熱流密度，T0(x)是固體壁內初始溫度分布。注意 k、c、s、h0 、hL、W0和 WL均可以是溫度 T 和/或空間坐標 x 的函數(shù)。 f 是坐標系類型開關函數(shù)，它是自變量 x 的函數(shù)，其定義如下： 球面坐標半徑圓柱坐標半徑直角坐標 , , 12xxf 具體要求： 1) 將數(shù)學模型無量綱化； 2) 考慮各種可能的邊界條件和初始條件組合； 3) 考慮復合介質的情況； 4) 提供完整的程序設計說明，包括數(shù)學推導過程和程序使用說明（含啞元變量表） ； 5) 提供源程序清單及其磁盤備份； 程序考題及結果。 計算傳熱學習題之二 利用第一題你所編制的

3、通用程序求解下面的問題：如下圖所示，一厚度為 2的復合平壁具有均勻的初始溫度 T0。在=0 時，突然將之置于溫度為 Tf的無窮大流體介質中，流體與平壁兩側面間的換熱系數(shù)為 h(=常數(shù))，同時認定材料的物性及流體溫度均為常數(shù)： 1) 給出該問題的數(shù)學模型并將之無量綱化； 2) 忽略兩種材料間的接觸熱阻，取 Bi=h/kA=4，(c)A=(c)B，分別給出 kA/kB=1，2 和 40 時平壁內的溫度分布隨時間的變化關系； 根據(jù)你所得到的數(shù)值結果，畫出各種情況下典型的溫度分布，并由此推斷當 kA/kB時，左半平壁內的溫度分布與 kA/kB =1，(c)A=(c)B 條件下的溫度分布有何聯(lián)系。 （提

4、示：當 kA/kB =1，(c)A=(c)B 時，該問題有分析解） A Tf h Tf h B 計算傳熱學習題之三 考慮下述一維穩(wěn)態(tài)對流-擴散問題, LLxxUUUUsdxdUdxduUdxd00)()( 其中 u 是流速，和均為常數(shù)，而 s 是 x 的單值函數(shù)， )21 (5 . 020LxLUUsL 1) 將上面的數(shù)學模型無量綱化，并給出其分析解； 2) 取=1， 就 PeL=(uL)/=1、10、100 三種情況分別用三點中心差分格式、迎風格式、冪律格式和 QUICK格式進行計算，并與分析解比較（計算時節(jié)點數(shù)目可取為 10 20） ； 3) 改變參數(shù)，譬如取=10，重復 2）中的計算；

5、分析 2）和 3）中得到的結果，對各種格式進行比較。 計算傳熱學習題之四 直角坐標系中的二維穩(wěn)態(tài)導熱問題。如圖所示，一截面為 LL 的正方形長柱，它的左邊界和下邊界維持均勻恒定的溫度 T1，上邊界和右邊界維持均勻恒定的溫度 T2，材料的導熱系數(shù)為 k(T)。 1、 給出該問題的數(shù)學描述并定義適當?shù)臒o量綱量將之無量綱化； 2、 假定 310)(TTkk 試采用不同的界面參數(shù)插值方法（調和平均、算術平均和用兩節(jié)點代數(shù)平均溫度計算界面參數(shù)）計算其溫度場。 3、 要求： a) 采用 1111，2121 和 101101 三套網(wǎng)格計算； b) 采用 ADI 線迭代； c) 提供程序清單、磁盤備份和啞元變

6、量表； d) 計算結果分析及你對不同插值方法的評價。 T1 T1 T2 n陶文銓：數(shù)值傳熱學，第一章n作業(yè)：陶文銓，P25 題17什么是計算傳熱學n借助計算機用數(shù)值方法求解傳熱問題n傳熱學的基本任務：給出數(shù)學模型n數(shù)學模型的求解：數(shù)學家n問題：n實際問題及其復雜性n特殊問題：數(shù)學家也無能為力n出路：n借助實驗或近似方法求解n數(shù)值方法是一種典型的近似方法n數(shù)學家發(fā)展起來的數(shù)值方法：不能奏效n計算傳熱學：獨具特色的數(shù)值方法n推動了計算方法的發(fā)展計算傳熱學：內涵n計算傳熱學是一種近似方法n其基礎是數(shù)值方法n離散化的近似算法n解：非連續(xù)的（分析解是連續(xù)的）n求解區(qū)域代表點上待求變量的近似值n數(shù)值方法的

7、核心：n一系列的點代表連續(xù)的求解區(qū)域n離散的待求變量的數(shù)值逼近或近似待求變量（連續(xù)函數(shù)）n計算傳熱學的內涵：n離散連續(xù)計算傳熱學：總體步驟n給出物理模型（Physical model / description)n借助基本原理/定律給出（Mathematical model)n質量守恒（Mass Conservation）n能量守恒（Energy Conservation）n動量守恒（Momentum Conservation）n傅立葉定律（Fouriers heat conduction law)n菲克定律（Ficks mass diffusion law）n牛頓內摩擦定律（Newtons

8、friction law）n。出發(fā)點和基礎！n求解區(qū)域的離散化(discretization)n數(shù)學模型的離散化n恰當?shù)姆椒╪建立結點（代表點）處待求變量近似值（未知?。┲g的代數(shù)關系：n離散化方程計算傳熱學：總體步驟n對數(shù)學模型進行簡化和化簡n簡化：物理上的n化簡：數(shù)學上的Very Important！核心內容，成敗關鍵計算傳熱學：總體步驟n求解離散化方程n制約因素n可靠性檢驗n與分析解對比（簡單問題）n實驗結果n前人結果 （Benchmark problems）n結果表達與分析n成品階段n圖線n擬合n分析討論歷史與現(xiàn)狀n基本思想源遠流長nNewton & Leibnizn20世紀3

9、0年代n出現(xiàn)了有限差分法；圖解法n影響計算傳熱學發(fā)展的主要因素n實際需求，計算機的發(fā)展n20世紀30年代的有限差分法n3060年代的大空白n物理現(xiàn)象深入透徹的理解n70年代對流換熱計算技術的快速發(fā)展n物理機理（physical mechanism）明確n數(shù)學上確定n數(shù)值方法的發(fā)展：相輔相成，互為促進現(xiàn)狀與分類n現(xiàn)狀n成熟的藝術，滿足工程與科學研究的需要n向系統(tǒng)化、通用化和商業(yè)化發(fā)展n多種商業(yè)軟件n網(wǎng)上資源nBlack boxnprogram skillneasy reading分類n有限差分法（ Finite difference method）n用差商與代替導數(shù)n經(jīng)典、成熟n數(shù)學理論基礎明確

10、n主導方法n有限容積法(Finite volume method)n控制容積法（Control volume method）n基本上屬于有限差分法的范疇分類n有限單元法（Finite element method)n將求解區(qū)域分成若干個小的單元（element）n設定待求變量在單元上的分布函數(shù)n適應性強，適用于復雜的求解區(qū)域n一度有取代有限差分法的趨勢n程序技巧要求告n數(shù)學基礎不如有限差分法明確分類n邊界單元法（Boundary element method)n對數(shù)學模型在邊界上離散化n基于數(shù)學模型的基礎解n不需要全區(qū)域求解n數(shù)學技巧要求高n通用性差n數(shù)學基礎不是非常明確分類n樣條邊界單元法（

11、Sample spectrum )n改進的邊界單元法n用樣條插值解決邊界元的基礎解問題n應用范圍大大拓寬n靈活性更強n缺點：同邊界單元法分類n有限分析法（Finite analytical method)n將求解區(qū)域分成若干個子區(qū)域n給出在各個子區(qū)域上的分析解n利用邊界條件耦合各個子區(qū)域上的分析解從而得到離散化方程n最大限度地引入了分析解的成分n一般可以提高求解效率和精度n數(shù)學技巧非常高n與問題的性質有關n很難形成通用程序分類n數(shù)值積分變換法（Numerical integration transform method)n將積分變換法引入各類問題的求解n將問題進行分解：n可以得到分析解的輔助問

12、題n多個（無限多個）常微分方程n無需整體求解n數(shù)學要求高n前期準備工作量非常大n很難形成通用的求解程序數(shù)值方法 分析解法與實驗研究n分析解法n成本最低n結果最理想n影響因素表達清楚n缺點：局限與非常簡單的問題n數(shù)值方法n成本較低：數(shù)值實驗n適用范圍寬n缺點：可靠性差，表達困難n實驗研究n可靠n成本高第2講n熱對流（Thermal advection)n關系：n共存，相互影響n可以忽略n以邊界條件的形式給出2.1.1熱傳導nDefinitionnFouriers LawnnTTqgradn 導熱系數(shù)ngradT 溫度梯度2.1.1熱傳導nEnergy Conservation EquationV

13、VqTqTcT)grad(div)()(n符號意義，單位n timen thermal conductivityn specific heatnqV heat source2.1.1熱傳導nOperatorsCartesian ()()() (gradzkyjxilCylindrica ()()1()zkrjrizrSpherical ()sin1()1()rkrjrirCoordinate Systemsxzyox-y-zxzyorr-zrxzyor-2.1.1熱傳導nOperatorsCartesian )()()()(divzyxRzRyRxRlCylindrica )()(1)(1zr

14、RzRrrRrrSpherical )()sin(sin1)(122RRrRrrrr2.1.2 對流換熱nDefinition & Complexity)(fwTTq0)(Ut0)( 0)( 0UUnMass Conservationn符號意義nFor incompressible flow:2.1.2 對流換熱nRefers to Text Bookn來源、個數(shù)、基本原理n體積（第二）粘度系數(shù) second viscosity coef.nNot well-definednContradictory conclusionsnLess important for most of the

15、 practical casesnRelated to the divergence of velocity n符號的意義n關于黏性耗散函數(shù)的說明：n由來及地位2.1.2 對流換熱nEnergy Conservation or 1st Law of ThermodynamicsnThe Equation:hSTUphUht)grad()(div)()(Volumetric source2.1.2 對流換熱nThe Definition: Newtons Cooling LawnThe EquationfwwTTnTn推導方法：原理及依據(jù)nBoundary-layer Theory nxTwTf

16、u2.1.3 通用方程n由來及意義nThe EquationSUt)grad()()(n 通用變量，generalized dependent variablen 廣義密度，universal densitynU 速度向量（場），velocity vector (field)n 廣義擴散系數(shù)，universal diffusivitynS 廣義源項，（universal) source termUnsteady termConvection termDiffusion termSource term2.1.3 通用方程n對流-擴散方程（Convection-diffusion)n適當選擇 、

17、、U、 、S n T， c，U=0， 導熱微分方程n 1， ，S 0連續(xù)性方程nWhy do we need a generic equation?2.1.4 控制方程的數(shù)學特征n對流項是以散度的形式給出的n對流項以散度的形式給出的nFor incompressible flows,hSThUht)grad()()(n具有守恒特性n但是，對于同一方程，采用下述變換后，就成為非守恒型方程2.1.4 控制方程的數(shù)學特征n因為，)()()()(hwzhvyhuxUh)()(divzhwyhvxhuUh)()()()(zhwyhvxhuwzvyuxh)(zhwyhvxhu對于不可壓縮流體，按連續(xù)性方程

18、div(U)02.1.4 控制方程的數(shù)學特征n代回原方程，得到hSTzhwyhvxhuth)grad()(n顯然，它不具有守恒特性，是的n數(shù)學上，兩種形式的方程必然給出相同的解n數(shù)值計算時，守恒型方程n得到了廣泛的應用n離散化時靈活運用連續(xù)性方程n相同的結果2.1.4 控制方程的數(shù)學特征n控制方程的分類n橢圓型方程橢圓型方程（elliptic equations）n穩(wěn)態(tài)導熱問題n穩(wěn)態(tài)非邊界層對流換熱問題穩(wěn)態(tài)非邊界層對流換熱問題：n邊值問題，boundary value problemsn封閉邊界，穩(wěn)態(tài)n整體求解n聯(lián)立求解，各點間相互影響Pxy2.1.4 控制方程的數(shù)學特征n控制方程的分類n非穩(wěn)

19、態(tài)導熱問題n邊界層流動問題（流動方向）：n初值問題，initial value problemsn開口邊界，非穩(wěn)態(tài)n步進法（marching forward）求解Pxy初值2.1.4 控制方程的數(shù)學特征n控制方程的分類n波動方程n非Fourier導熱問題n無粘流體的穩(wěn)定超音速流動問題n無粘流體的非穩(wěn)定流動：n部分邊界，局部影響區(qū)域n特征線方法（characteristics）xyP2.1.4 控制方程的數(shù)學特征n單通道坐標與雙通道坐標n擾動僅能沿一個方向傳遞n該坐標任一點處的物理量僅受來自一側條件的影響n例子：時間坐標；邊界層流動中的主流坐標n數(shù)學上：拋物方程，初值問題n數(shù)值方法上：可以采用求

20、解n擾動和影響都是雙向的n例子：導熱問題中的空間坐標，等n數(shù)學上：橢圓型的，邊值問題n數(shù)值方法上：必須求解2.1.4 控制方程的數(shù)學特征n有一個空間坐標是單向坐標n所有空間坐標都是雙向坐標n單向坐標與一階偏導數(shù)有關n雙向坐標與二階偏導數(shù)有關hSxTxyTvxTuc)()(2.2 定解條件n恰當?shù)目刂品匠?Governing equationsn定解條件 physical boundary conditionsn物理條件 physical conditionsn幾何條件 geometry conditionsn初始條件 initial conditionsn邊界條件 boundary condi

21、tions2.2.1 初始條件n對系統(tǒng)的影響：n初始階段：較為明顯n隨著時間的推移：影響逐漸減弱n時間無限長時：完全消失，進入新的狀態(tài)n邊界條件與時間無關：穩(wěn)態(tài)n邊界條件與時間有關：非穩(wěn)態(tài)PPt , )(00n初始狀態(tài)特征：非穩(wěn)態(tài)過程開始時n設定：給定系統(tǒng)待求變量在初始時刻的分布2.2.1 初始條件n與時間無關邊界條件作用下非穩(wěn)態(tài)問題的特例n穩(wěn)態(tài)問題的狀態(tài)將唯一地由邊界條件確定n穩(wěn)態(tài)問題的狀態(tài)與初始條件無關n二者統(tǒng)一起來n在計算傳熱學中的意義n統(tǒng)一于一個程序n通過求解非穩(wěn)態(tài)問題求解穩(wěn)態(tài)問題n容易收斂，抑制發(fā)散n保證得到物理上真實的解n常用的方法2.2.2 邊界條件n提法：n最重要、最復雜的定解

22、條件n規(guī)定了系統(tǒng)的狀態(tài)特征n反映了系統(tǒng)與環(huán)境之間的聯(lián)系與相互作用n分類：nThe 1st kind of boundary conditionsn給定邊界上待求變量的分布nThe 2nd kind of boundary conditionsn給定邊界上待求變量的梯度值2.2.2 邊界條件n分類（續(xù)）：nThe 3rd kind of boundary conditionsn待求變量與梯度值之間的函數(shù)關系n說明：必須在才能得到。2.2.2 邊界條件n流固耦合邊界（liquid-solid coupling boundary)n粘性流體應滿足非滑移條件nNo-slip conditionn流體在

23、固體邊界上的速度應該等于固體表面的速度n流體在固體邊界上的溫度應該等于固體表面的溫度。n入口、出口邊界nInflow and out flow boundariesn入口邊界：給定n出口邊界：待求入口參數(shù)：給定入口參數(shù)：給定2.2.2 邊界條件n出口邊界的確定：非常重要2.2.2 邊界條件n特殊邊界n絕熱邊界（adiabatic boundaries)n絕熱與對稱n對數(shù)值計算的影響T1T1T2T2T1T2T1T12.2.2 邊界條件n不連續(xù)性n復合材料接觸面n相變界面（phase change interfaces)n待求變量的唯一性n“流量”的唯一性n依據(jù)基本原理推導n物性插值：不能違反物理

24、原則2.2.2 邊界條件n特殊邊界：n特指無窮遠處待求變量應滿足的條件n提法：n例子：半無限大介質的非穩(wěn)態(tài)導熱n無窮遠處的溫度應維持其初始溫度n無窮遠處的溫度梯度應該等于其初始溫度梯度n穩(wěn)態(tài)問題：n固體壁面的存在不會影響無窮遠處的速度場2.2.2 邊界條件n何謂無窮遠，如何判定？n純數(shù)學概念！n物理上的界定：沒有受到影響的區(qū)域在無窮遠處n例子：探針法測材料的導熱系數(shù)n基于線熱源在無限大介質中的非穩(wěn)態(tài)導熱Tttend2.3 數(shù)學模型的簡化與化簡n簡化與化簡的必要性n機理上的n抓住主要矛盾，合理假設n例子：n非穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)n多維一維n變物性常物性n量級分析：忽略小量級的項n邊界層方程n粘性耗散函數(shù)2.

25、3 數(shù)學模型的簡化與化簡n數(shù)學上的：對方程進行數(shù)學處理最重要的化簡方法之一n效果明顯n數(shù)學技巧性強，注意積累n邊界層相似變換：偏微分方程組常微分方程nBoltzmann 變換：x/(ct)1/2 常微分方程（非穩(wěn)態(tài)導熱）nKirchhoff 變換：U(T)dT常物性問題nLaplace變換nFourier變換n通用積分變換2.4 數(shù)學模型的無量綱化n定義新的無量綱因變量和自變量s)t variableindependen ( variablesdependent ,( 自變量，）因變量，待求變量rrrrxxxxnr、r 參考待求變量，如參考溫度等nxr、 xr 參考自變量，如參考時間、參考尺寸

26、等2.4 數(shù)學模型的無量綱化n基本步驟(1) 12222tTaQyTxT(2) Const 00TTt2.4 數(shù)學模型的無量綱化(6) (5) 0(4) (3) 00wyyxfxwxqyTyTTTxTTTyxo2.4 數(shù)學模型的無量綱化(7) rrrttyyxxTTT2.4 數(shù)學模型的無量綱化n第二步：計算有關偏導數(shù)（將有量綱量用無量綱量和參考量表示出來） xTxTr (8) 22222xTxTr yTyTr (8) 22222yTyTr (8) rrtTtT2.4 數(shù)學模型的無量綱化n第三步：將上述各項代入數(shù)學模型n代入（1） 222222rrrratTQyTxTn方程兩邊同除以Tr/2，得到， 222222rratTQyxn按照，令，2.4 數(shù)學模型的無量綱化n或 12rat (9) 2atrn