《任意角三角函數(shù)一》新人教a版必修

1、任意角三角函數(shù)一新人教a版必修 任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)中最基本最重要的概任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)中最基本最重要的概念之一。三角學(xué)起源于對(duì)三角形邊角關(guān)系的研究，念之一。三角學(xué)起源于對(duì)三角形邊角關(guān)系的研究，始于古希臘的喜帕恰斯、梅內(nèi)勞斯和托勒密等人對(duì)始于古希臘的喜帕恰斯、梅內(nèi)勞斯和托勒密等人對(duì)天文的測(cè)量，在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期里隸屬于天文學(xué)。直天文的測(cè)量，在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期里隸屬于天文學(xué)。直到到14641464年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦著年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦著論各種三角論各種三角形形，才獨(dú)立于天文學(xué)之外對(duì)三角知識(shí)作了較系統(tǒng)，才獨(dú)立于天文學(xué)之外對(duì)三角知識(shí)作了較系統(tǒng)的闡說(shuō)；的闡說(shuō)；14141616世紀(jì)，三角學(xué)

2、曾一度成為歐洲數(shù)學(xué)世紀(jì)，三角學(xué)曾一度成為歐洲數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，研究的方面包括三角函數(shù)值表的編制、的主要內(nèi)容，研究的方面包括三角函數(shù)值表的編制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推導(dǎo)等等立和推導(dǎo)等等.1631.1631年，三角學(xué)輸入中國(guó)，三角學(xué)年，三角學(xué)輸入中國(guó)，三角學(xué)在中國(guó)早期比較通行的名稱是在中國(guó)早期比較通行的名稱是“八線八線”和和“三角三角”?！鞍司€八線”是指在單位圓上的八種三角函數(shù)線：正弦是指在單位圓上的八種三角函數(shù)線：正弦線、余弦線、正切線、余切線、正割線、余割線、線、余弦線、正切線、余切線、正割線、余割線、正矢線、余矢線。隨著科

3、學(xué)的發(fā)展，三角函數(shù)成為正矢線、余矢線。隨著科學(xué)的發(fā)展，三角函數(shù)成為研究自然界和生產(chǎn)實(shí)踐中周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)研究自然界和生產(chǎn)實(shí)踐中周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)工具，它在測(cè)量、力學(xué)工程和無(wú)線電學(xué)中有著廣泛工具，它在測(cè)量、力學(xué)工程和無(wú)線電學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用的應(yīng)用. . 在初中就學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，在初中就學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，銳角三角函數(shù)是在直銳角三角函數(shù)是在直角三角形中來(lái)研究的。角三角形中來(lái)研究的。 那么那么銳角三角函數(shù)的銳角三角函數(shù)的正弦正弦sinsin，余弦，余弦coscos，正切，正切tantan它們的值分別等于什么？它們的值分別等于什么？B Csi n =A BaA Ccos =A BaB C

4、tan =A CaA AB BC C斜邊鄰邊對(duì)邊 我們把銳角我們把銳角放到直角坐標(biāo)系中，并使角放到直角坐標(biāo)系中，并使角的頂?shù)捻旤c(diǎn)與原點(diǎn)點(diǎn)與原點(diǎn)O O重合重合, ,始邊與始邊與x x軸的非負(fù)半軸重合軸的非負(fù)半軸重合. .在角在角的終的終邊上取一點(diǎn)邊上取一點(diǎn)P P（a a，b b）, ,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P與原點(diǎn)的距離為與原點(diǎn)的距離為r r，那么，那么，sinsin，coscos，tantan的值分別如何表示？的值分別如何表示？sinMPbOPrcosOMaOPrtanMPbOPax xy yo oP(aP(a，b)b)r rM M思考思考: : 對(duì)于確定的銳角對(duì)于確定的銳角，上述三個(gè)比值是否隨，上述三

5、個(gè)比值是否隨 點(diǎn)點(diǎn)P P在角在角的終邊上的位置的改變而改變呢？的終邊上的位置的改變而改變呢？ 為什么？為什么？ 由相似三角形的知識(shí)可知由相似三角形的知識(shí)可知, ,這三個(gè)比值不會(huì)隨著點(diǎn)這三個(gè)比值不會(huì)隨著點(diǎn)P P在角在角的終邊上的位置的改變而改變的終邊上的位置的改變而改變. .y yo or rM MA AB BP(aP(a，b)b)思考：為了使思考：為了使sinsin，coscos的表示式更簡(jiǎn)單，你認(rèn)為點(diǎn)的表示式更簡(jiǎn)單，你認(rèn)為點(diǎn)P P的的位置選在何處最好？此時(shí)，位置選在何處最好？此時(shí)，sinsin，coscos分別等于什么？分別等于什么？x xy yo o P(a P(a，b)b)sinbcos

6、atanba1 1 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓稱為單位圓的圓稱為單位圓. . 對(duì)于角對(duì)于角的終邊上一點(diǎn)的終邊上一點(diǎn)P P，要使，要使|OP|=1|OP|=1，點(diǎn)點(diǎn)P的位置如的位置如何確定？何確定？ y yO Ox xP P單位圓單位圓點(diǎn)點(diǎn)P為角的終邊為角的終邊與單位圓的交點(diǎn)與單位圓的交點(diǎn) 思考：設(shè)思考：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P P（x x，y y），為了不與當(dāng)），為了不與當(dāng)為銳角時(shí)的三角函數(shù)值發(fā)生矛盾，你認(rèn)為為銳角時(shí)的三角函數(shù)值發(fā)生矛盾，你認(rèn)為sinsin，cosco

7、s，tantan對(duì)應(yīng)的值應(yīng)分別如何定義？對(duì)應(yīng)的值應(yīng)分別如何定義？ 的終邊的終邊P(xP(x，y)y)O Ox xy ysinycosxtan(0)yxx思考：對(duì)于一個(gè)任意給定的角思考：對(duì)于一個(gè)任意給定的角，按照上述定義，對(duì)應(yīng)，按照上述定義，對(duì)應(yīng)的的sinsin，coscos，tantan的值是否存在？是否唯一？的值是否存在？是否唯一？角角的終邊在的終邊在y y軸上時(shí)軸上時(shí), tan, tan的的值無(wú)意義值無(wú)意義, ,除此之外除此之外, ,其它的角的其它的角的三角函數(shù)值都是唯一確定的三角函數(shù)值都是唯一確定的. .的終邊的終邊P(xP(x，y)y)O Ox xy ysinycosxtan(0)yx

8、x一、三角函數(shù)的定義一、三角函數(shù)的定義正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)函數(shù)正、余弦函數(shù)的定義域?yàn)檎?、余弦函?shù)的定義域?yàn)镽 R，正切函數(shù)的定義域是正切函數(shù)的定義域是 |k ,kZ.2 思考：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域分別是什么？思考：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域分別是什么？練習(xí)：不需計(jì)算，直接寫(xiě)出下列答案。（1）（2）（3）3sin2costan()4關(guān)鍵找到p點(diǎn)的坐標(biāo)O Oxy y53例例1 1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正

9、切值. .53B解：解： 53sin32 , 51cos32, 5tan33 . A13( ,)22MP P0 0（3 3，4 4）P P（x x，y y）例例2 2 已知角的終邊過(guò)點(diǎn)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P P0 0（3 3，4 4），求角的正弦、），求角的正弦、余弦和正切值余弦和正切值. . O Ox xy yM0M解解：由已知得由已知得 220( 3)( 4)5OP . . 設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)( , )P x y, , 分別過(guò)點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn)0,P P作作x軸的垂線軸的垂線00,MP M P, ,則則 000,4,3MPy M POMx OM OMP00OM P, ,

10、于是于是, , 0004sin;15MPM PyyOPOP 003cos;15OMOMxxOPOP sin4tan.cos3yxP P0 0（3 3，4 4）P P（x x，y y）O Ox xy yM M0 0M M若點(diǎn)若點(diǎn)P P（x x，y y）為角）為角終邊上任意一點(diǎn)，則終邊上任意一點(diǎn)，則P(xP(x，y)y)O Ox xy ysinyrcosxrtanyx提升總結(jié)提升總結(jié)r22rxy其中因?yàn)?,3xy ，所以222( 3)13r ， 于是 33 13sin1313yr ； 22 13cos1313xr； 3tan2yx 解析解析: :( ,2 )(0)aa a ( ,2 )(0)aa a 5 |ra,2xa ya解：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以 ， 222 50sin55 |5yaaaraa時(shí)，5cos55xara2tan222 50sin55| |5yaaaraa時(shí)，5cos55xaara 2tan當(dāng)當(dāng)變式1:已知 的終邊過(guò)點(diǎn) ，求角 的三個(gè)三角函數(shù)值思考1：已知