勾股定理16種經(jīng)典證明方法

1、v1.0可編輯可修諛【證法1】（課本的證明）22- 4 -做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個(gè)邊長分別為 a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a + b ,所以面積相等.即2.2.1.2.1,整理得 a2 b2 c2ab4abc4ab22則每個(gè)直角三角形的面積等于1 ab2.把這四個(gè)直角三C G D三點(diǎn)在一條直線上【證法2】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形,B F、C三點(diǎn)在一條直線上,角形拼成如圖所示形狀，使 A、E、B三點(diǎn)在一條直線上, Rt A HAE 9 Rt

2、AEBF,/AHE = /BEF / AEH + / AHE = 90 o , / AEH + / BEF = 90 o .Z HEF = 180o 90o = 90 o .四邊形EFGH一個(gè)邊長為c的正方形.它的面積等于c2. Rt A GDH Rt A HAE,/ HGD= / EHAZ HGD + Z GHD = 90o ,Z EHA + Z GHD = 90o .又 Z GHE = 90o ,Z DHA = 90o + 90 o = 180 o . ABCD是一個(gè)邊長為a + b的正方形，它的面積等于a ba b 241ab c222,22a b c.【證法3（趙爽證明）以a、b為直角

3、邊（b>a）,以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角1ab三角形的面積等于 2.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀. Rt A DAH 9 Rt A ABE,/ HDA = / EAB / HAD + / HAD = 90o , / EAB + / HAD = 90o ,ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2. EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 90 o . EFGH是一個(gè)邊長為ba的正方形，它的面積等于b a1 224 -abb a c2.2 . 22.a b c.【證法4】（1876年美國總統(tǒng) Garfield 證明）1一 ab2.把這兩個(gè)

4、直角三以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于 角形拼成如圖所示形狀，使 A E、B三點(diǎn)在一條直線上 Rt A EAD 省 Rt ACBE,Z ADE = /BEC / AED + Z ADE = 90 o , / AED + / BEC = 90 o ./ DEC = 180o 90o = 90 o . A DE比一個(gè)等腰直角三角形，1 2c它的面積等于2v1.0可編輯可修諛又 /DAE = 90o , /EBC = 90o ,AD / BC336 -ABCD 是1 a b 2個(gè)直角梯形，它的面積等于2212 -ab22,2a b【證法5】（梅文鼎證明）

5、做四個(gè)全等的直角三角形,設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ,斜邊長為c,把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形, 使D> E、F在一條直線上.過C作AC的延長線交 DF于點(diǎn)P.D、E、F 在一條直線上，且 RtAGEF 且 Rt A EBD,/ EGF = / BED /EGF + ZGEF = 90° ,Z BED + Z GEF = 90 ° , / BEG =180o 90o = 90 o .又 AB = BE = EG = GA = c ,ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形.Z ABC + Z CBE = 90 o ./H a b Rt A ABC 9 Rt AEBD,Z

6、 ABC = /EBDZ EBD + Z CBE = 90 o .即 Z CBD= 90o .又 Z BDE = 90o , / BCP = 90o , BC = BD = a .BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形.同理，HPFG一個(gè)邊長為b的正方形.設(shè)多邊形GHCB曲面積為S,則22 八1a b S 2 ab,22 c1cS 2 -ab2,2. 22a b c .v1.0可編輯可修諛448【證法6】（項(xiàng)明達(dá)證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b (b>a),斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上過點(diǎn)Q作QP/

7、BC,交AC于點(diǎn)P.過點(diǎn)B作BML PQ垂足為M再過點(diǎn)F作FN PQ垂足為N. /BCA = 90o , QP/ BC/ MPC = 90o ,BMI± PQ/ BMP = 90o ,BCPM是一個(gè)矩形,即/ MBC = 90o . / QBM + / MBA = / QBA = 900 ,/ ABC + / MBA = / MBC = 900 ,/QBM = /ABC又 /BMP = 900 , / BCA = 90 0 , BQ = BA = c , Rt A BMQZ Rt A BCA同理可證 RtAQNF 9 Rt AAEF從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法 4】(梅文鼎證明).b/a【

8、證法7（歐幾里得證明）cA卜PMcc0N做三個(gè)邊長分別為 a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使BF、CD 過 C作 CL.X DE, 交AB于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn) L. AF = AC , AB = AD,/ FAB = / GADA FAB 9 A GAD1 2a A FAB的面積等于2:A GAM面積等于矩形 ADLM 的面積的一半，.一一2矩形ADLM勺面積=a .H C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)v1.0可編輯可修諛BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點(diǎn)C作CD!AB,垂足是D.把它們拼成如圖所示的多邊形2同理可證，矩形 MLEB勺面積=b .正方形ADEB的面積=矩形AD

9、LM勺面積+矩形MLEB的面積【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在 Rt A ABC中，設(shè)直角邊 AG在A AD的A ACB中， /ADC = /ACB = 90o ,/ CAD = / BACA ADC s A ACBAD： AC = AC : AB,一 2 一一即 AC AD ?AB.2-一同理可證，A CDB s A ACB從而有 BC BD ?AB .22_2. AC BC AD DB ?AB AB 即 a2 b2 c2【證法9】（楊作玫證明）做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b （b>a）,斜邊長為c.再做一個(gè)邊長為c的正方形.過A作AFL AC A

10、F交GT于F, AF交DT于R 過B作BP! AF,垂足為 P.過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為 E, DE交AF于H/BAD = 90o , / PAC = 90o , / DAH = / BAC又 Z DHA = 90o , / BCA = 90o , AD = AB = c , Rt A DHA 9 Rt A BCADH = BC = a , AH = AC = b .由作法可知，PBCA是一個(gè)矩形， 所以 Rt A APB 9 Rt A BCA 即 PB = CA = b , AP= a,從而 PH = b a. Rt A DGT 9 Rt A BCA ,Rt A DHA 9 Rt

11、 A BCA Rt A DGT 9 Rt A DHA .DH = DG = a , / GDT = / HDA .又 Z DGT = 90o , / DHF = 90o ,Z GDH = ZGDT + ZTDH = / HDA+ ZTDH = 90o ,DGFH是一個(gè)邊長為a的正方形. .GF = FH = a . TF± AF, TF = GT GF = b a . TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF=b a,下底 BP= b,高 FP=a + (ba).用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）,則以c為邊長的正方形的面積為2cc SiS2S3S4S5S8S3S42bb2 1ab2S5S8S9S

12、3S4b22 abS8b2S1S866- 11 -把代入,c2S1b2S2S2-22a bb2S9b2S8S8S9c2a2【證法10】（李銳證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a）,斜邊的長為c.做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使 A、E、G三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖） /TBE = / ABH = 90 0ZTBH = / ABE又 / BTH = / BEA = 90 0BT = BE = b , Rt A HBT 目 Rt A ABEHT = AE = aGH = GT HT = ba.又 /GHF + Z BHT = 90

13、 o/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90 o ,/ GHF = / DBCv1.0可編輯可修諛 DB = EB ED = ba,/ HGF = / BDC = 90o Rt A HGF 咨 Rt A BDC即 S7S27713過Q作QM_ AG垂足是M由/ BAQ = / BEA = 90 o ,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c ,所以 Rt A ABE Rt A QAM.又 Rt A HBTRt A ABE 所以 Rt A HBT 省 Rt A QAM,即 S8 S5Rt A ABE 9 Rt A QAM 又得 QM = AE = a

14、 , / AQM = / BAEZ AQM + /FQM = 90o , Z BAE + Z CAR = 90o , Z AQM = Z BAE/ FQM = / CAR又/QMF = Z ARC = 90o ,QM = AR = a ,又Rt A QMF RtA ARC 即S4S6SiS2S3S4S5,Si2S6b S3S7S8S7S2 ，S8S5S4S6【證法b2b211】SiS6S3S7S8SiS4S3S2S5（利用切割線定理證明）AB及AB的延長線由切割線定理，得在Rt A ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b ,斜邊AB = c .如圖，以B為圓心a為半徑作圓,分別于D

15、、E,則BD = BE = BC = a .因?yàn)? BCA = 90o，點(diǎn)C在。B上，所以 AC是。B的切線.2 2_ _AC AE ? ADBE AB BDb2v1.0可編輯可修諛【證法12（利用多列米定理證明）在Rt A ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b ,斜邊AB = c （如圖）.過點(diǎn)A作AD）/ CB,過點(diǎn)B作BD/ CA貝U ACBD9917 -為矩形，矩形 ACBDJ接于一個(gè)圓.根據(jù)多列米定理, 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線的乘積等于兩對(duì)邊乘積之和，有AB?DC AD?BC AC?BD, AB = DC = c , AD = BC = a ,AC = BD = b ,AB

16、2 BC2 AC2 ,即 c2 a2 b2 ,2. 22.a b c .【證法13（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在RtAABC中，設(shè)直角邊 BC = a, AC = b,斜邊 AB = c.作RtAABC的內(nèi)切圓。O,切點(diǎn)分別為 D E、F （如圖）， 設(shè)。的半徑為r. AE = AF , BF = BD, CD = CE,AF BF. AC BC AB AE CE BD CD=CE CD = r + r = 2r,即 a b c 2r,.a b 2r c.,22a b 2r c2, 222即 a b 2ab 4 r rc c1S abc - ab2,. 2ab 4 s abcS ABCAOBS

17、 BOCAOC1-cr 21一 ar 2ibr-2r c c r 2=2= rrc,24 rrc4S abc24 rrc2abc2,a2 b2 2ab 2ab c2,【證法14（利用反證法證明）如圖，在 Rt A ABC中，設(shè)直角邊 AG BC的長度分別為 a、b,斜邊 AB的長為c,過點(diǎn)C作CDLAB,垂足是 D.2,22222假設(shè)a b c ,即假設(shè)AC BC AB，則由AB2 AB?AB = abadbd=AB?AD AB ?BD22可知AC AB ?AD ,或者BC22BC AB的假設(shè)不能成立AB ?BD .即 ad： ACw AC AB,或者 BD: BO BC: AB在A AD的A

18、 ACB中，/A = /A,若 AD: ACwAC: AB,則/ ADO / ACB在 A CD*口 A ACB中， Z B = /B,若 BD BCw BC: AB,貝U/ CD5 / ACB又 Z ACB = 90o , /ADO 90o , / CD& 90o .2這與作法CDL AB矛盾.所以，AC2,22，a b c .【證法15（辛卜松證明）aba2b2ab作邊長是c.設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b,斜邊的長為a+b的正方形ABCD 把正方形ABCDJ分成上方左圖所示的幾個(gè)部分，則正方形ABCD的面積為 a b2,2a b2ab ;把正方形ABCD分成上方右圖所示的v1.0可編輯可修諛101019 -幾個(gè)部分，則正方形 ABCD勺面積為124 一 ab c2ab c2.a2 b2 2ab 2ab c2a2 b2 c2,.【證法16（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b （b>a）,斜邊的長為c.做兩個(gè)邊長分別為 a、b的正方形（b>a）,把它們用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）拼成如圖所示形狀，使 E、H、M三點(diǎn)在一條直線上.在EH