高數(shù)函數(shù)的連續(xù)性

1、一、函數(shù)的連續(xù)性的概念一、函數(shù)的連續(xù)性的概念二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題第七節(jié)第七節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性(continuity)1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量(increment).1221的的增增量量稱稱為為變變量量則則變變到到終終值值從從它它的的初初值值設(shè)設(shè)變變量量uuuuuuu 注意：注意：可可正正可可負(fù)負(fù)；u )1(.)2(的乘積的乘積與與是一個(gè)整體，不能看作是一個(gè)整體，不能看作uu ，變變到到從從，函函數(shù)數(shù)；相相應(yīng)應(yīng)地地的的增增量量在在點(diǎn)點(diǎn)為為自自變變量量稱稱時(shí)時(shí)，變變到到內(nèi)內(nèi)由由在在當(dāng)當(dāng)內(nèi)內(nèi)有

2、有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))()(),(,),()(0000000 xxfxfyxxxxxxxUxxUxf .)()()(00的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在),(0 xU內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如果當(dāng)如果當(dāng)自變量的增量自變量的增量x 趨向于零時(shí)趨向于零時(shí), ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱那末就稱函函數(shù)數(shù))(x

3、f在在點(diǎn)點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn). . ,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定定義義 2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在),(0 xU內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,如如果果函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí)的的極極限限存存在在, ,且且等等于于它它在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那那末末就就稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x連連續(xù)續(xù). . :定定義義 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng) 從從這這個(gè)個(gè)定定義義我我們們可

4、可以以看看出出，函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x處處連連續(xù)續(xù)，必必須須滿滿足足以以下下三三個(gè)個(gè)條條件件： （1）函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn) 0 x處處有有定定義義； （2）極極限限 )(lim0 xfxx存存在在，即即 )(lim)(lim00 xfxfxxxx （3）)()(lim00 xfxfxx . . 即：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在且等于該點(diǎn)的函數(shù)值.例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0

5、fxfx 例例2 2.),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)證明證明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對(duì)對(duì)任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)(),()0(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定

6、定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf 000000lim0 xfxfxfxfxfxx例例3 3.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)故故函函數(shù)數(shù) xxf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).32),(1,)

7、(處左連續(xù)）在右端點(diǎn)（處右連續(xù)；）在左端點(diǎn)（內(nèi)連續(xù)；）函數(shù)在開區(qū)間（上連續(xù)：在閉區(qū)間函數(shù)bxaxbabaxf連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)為為其其定定義義域域?yàn)闉榛颈境醭醯鹊群瘮?shù)數(shù)由由第第四四節(jié)節(jié)可可知知，DxDxf 0,)( )(lim0 xfxx).(0 xf5.基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)的連續(xù)性.定義域內(nèi)連續(xù)定義域內(nèi)連續(xù)所以基本初等函數(shù)在其所以基本初等函數(shù)在其二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(points of discontinuity).)(,)(00的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱點(diǎn)點(diǎn)則則的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)不不是是函函數(shù)數(shù)如如果果點(diǎn)點(diǎn)xf

8、xxfx：有以下三種情形有以下三種情形的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為,)(0 xfx;)()1(0處處沒沒有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn)xxf;)(lim)2(0不不存存在在xfxx).()(lim)(lim,)()3(0000 xfxfxfxxfxxxx 但但存在存在處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)1.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)(a removable discontinuity).)()(),()(lim)(的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)處處無(wú)無(wú)定定在在點(diǎn)點(diǎn)或或，但但處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx00000 例例4 4.,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討

9、論函數(shù)11111012 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1) 1 ( f, 2)01 ( f, 2)01 ( f2)(lim1 xfx),1 (f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充可去間斷可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充可去間斷處函數(shù)的定義處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).如例如例4中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy112例例5 5.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f

10、),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy2.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf 跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)左左、右右極極限限左右極限相等，則為可去間斷點(diǎn)；左右極限相等，則為可去間斷點(diǎn)；左右極限不相等，則為跳躍間斷點(diǎn)左右極限不相等，則為跳躍間斷點(diǎn)例例5 5中的間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn)中的間斷點(diǎn)為跳躍間斷點(diǎn)3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(

11、,)(00的的第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)在在右右極極限限至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不存存處處的的左左、在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這時(shí)也稱其為無(wú)窮間這時(shí)也稱其為無(wú)窮間例例7 7.01sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x注意注意 函數(shù)的間斷點(diǎn)可能

12、不只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)可能不只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).這時(shí)也稱其為振蕩間斷點(diǎn)這時(shí)也稱其為振蕩間斷點(diǎn) , 0, 1)(是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(Dirichlets function)在定義域在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間且都是第二類間斷點(diǎn)斷點(diǎn). ,)(是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxf僅在僅在x=0處連續(xù)處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷其余各點(diǎn)處處間斷.o1x2x3xyx xfy ,)(是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf11在定義域在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)

13、處都間斷, 但其絕對(duì)值處但其絕對(duì)值處處連續(xù)處連續(xù).判斷下列間斷點(diǎn)類型判斷下列間斷點(diǎn)類型:例例8 8.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf, 1 a定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例

14、如例如,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx三、初等函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性定理定理2 2 嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的連續(xù)反函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的連續(xù)反函數(shù) 例如例如,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xy.),(cot,

15、arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理例例9,), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy定理定理 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是內(nèi)都是連續(xù)的連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間

16、定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. . 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)沒有定義.注意注意例例1010. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例1111.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx注意注意2. 初

17、等函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)求極限可用初等函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)求極限可用代入法代入法.四、小結(jié) 思考題1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型無(wú)窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見下圖見下圖)可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x4. 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性（1）初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)；）初等函數(shù)在其定義區(qū)間上

18、連續(xù)；（2）初等函數(shù)的連續(xù)性在求極限時(shí)的應(yīng)用：）初等函數(shù)的連續(xù)性在求極限時(shí)的應(yīng)用： 代入法。代入法。思考題思考題 若若 )(xf在在 0 x 連續(xù)，則連續(xù)，則| )(|xf、)(2xf在在 0 x 是否連續(xù)？又若是否連續(xù)？又若| )(|xf、)(2xf在在 0 x連續(xù)，連續(xù)，)(xf 在在 0 x是否連續(xù)？是否連續(xù)？ 思考題解答思考題解答)(xf在在0 x連連續(xù)續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都都連連續(xù)續(xù).但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù), 但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)思考題思考題 設(shè)設(shè)xxfsgn)( ，21)(xxg ，試研，試研究復(fù)合函數(shù)究復(fù)合函數(shù))(xgf與與)(xfg的