第八章 氣體的一維流動(dòng)

1、 本章主要介紹氣體動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方本章主要介紹氣體動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方程，討論可壓縮氣體一元定常等熵流動(dòng)中各種參程，討論可壓縮氣體一元定常等熵流動(dòng)中各種參數(shù)之間的關(guān)系和變化規(guī)律。數(shù)之間的關(guān)系和變化規(guī)律。第八章第八章 氣體的一維流動(dòng)氣體的一維流動(dòng)要求：要求： 1、掌握一元定常氣流的基本方程，了解氣、掌握一元定常氣流的基本方程，了解氣 流速度與密度的關(guān)系，理解變截面管流流速度與密度的關(guān)系，理解變截面管流 中流動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律。中流動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律。 2、掌握聲速、馬赫數(shù)的基本概念及表達(dá)式，掌握聲速、馬赫數(shù)的基本概念及表達(dá)式， 理解微小擾動(dòng)波的傳播過程和傳播特征。理解微小擾動(dòng)波的傳播過程

2、和傳播特征。 3、了解一元等熵氣流的兩種特定狀態(tài)及其了解一元等熵氣流的兩種特定狀態(tài)及其 參數(shù)，掌握流動(dòng)參數(shù)與馬赫數(shù)的關(guān)系。參數(shù)，掌握流動(dòng)參數(shù)與馬赫數(shù)的關(guān)系。81 一元?dú)饬鞯幕痉匠毯土鲃?dòng)特性一元?dú)饬鞯幕痉匠毯土鲃?dòng)特性一、理想氣體一元定常流動(dòng)的基本方程一、理想氣體一元定常流動(dòng)的基本方程1、連續(xù)方程、連續(xù)方程對(duì)于一元定常流動(dòng)，連續(xù)方程為：對(duì)于一元定常流動(dòng)，連續(xù)方程為： vA = 常常數(shù)數(shù)微分得：微分得：取對(duì)數(shù)得：取對(duì)數(shù)得： CAlnvlnlnvAln 0 AdAvdvd 可壓縮流體一元定常流動(dòng)的連續(xù)方程可壓縮流體一元定常流動(dòng)的連續(xù)方程 根據(jù)三個(gè)限制條件曾對(duì)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)三個(gè)限制條件曾對(duì)歐拉

3、運(yùn)動(dòng)微分方程（理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程）化簡(jiǎn)后得：（理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程）化簡(jiǎn)后得： 022 vddpdzg 忽略質(zhì)量力忽略質(zhì)量力( (重力重力) )，g g = 0 = 0 得：得：022 vddp 或或dvvdp 2、伯努利方程、伯努利方程積分上式得：積分上式得： Cvdp 22 對(duì)于做等熵流動(dòng)的理想氣體，有：對(duì)于做等熵流動(dòng)的理想氣體，有：Cp（絕熱方程式）（絕熱方程式） 即即11Cp則：則： ppppdpCCpdpdp1111111111 代入得：代入得：Cvp 212 可壓縮流體的可壓縮流體的 伯努利方程伯努利方程或或Cgvgp 212 由于由于ppp111RTp RTc還可得如下不同形式

4、的伯努利方程：還可得如下不同形式的伯努利方程：或或CRTvp 122 Cpvp 1122（） 此式與不可壓縮流體的伯努利方程的區(qū)別在于此式與不可壓縮流體的伯努利方程的區(qū)別在于 項(xiàng)，項(xiàng)， 該項(xiàng)表示單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能。該項(xiàng)表示單位質(zhì)量氣體所具有的內(nèi)能。1 RTCvc 2122 （） 上述一組同等效用，多種形式的伯努利方程的上述一組同等效用，多種形式的伯努利方程的物理意義：物理意義：在一元定常等熵氣體流動(dòng)中，沿流束在一元定常等熵氣體流動(dòng)中，沿流束任意斷面上，單位質(zhì)量氣體的機(jī)械能和內(nèi)能之和任意斷面上，單位質(zhì)量氣體的機(jī)械能和內(nèi)能之和保持不變。保持不變。二、氣體速度與密度的關(guān)系二、氣體速度與密度的關(guān)

5、系由上式可以看出：由上式可以看出：1、加速氣流、加速氣流 ，必然引起壓強(qiáng)降低，氣體膨，必然引起壓強(qiáng)降低，氣體膨脹，密度減小。反之脹，密度減小。反之 ，則壓強(qiáng)增大。氣，則壓強(qiáng)增大。氣體壓縮，密度增加，即氣流沿流線（動(dòng)）做加速體壓縮，密度增加，即氣流沿流線（動(dòng)）做加速運(yùn)動(dòng)（降壓氣流）或減速運(yùn)動(dòng)（升壓氣流），實(shí)運(yùn)動(dòng)（降壓氣流）或減速運(yùn)動(dòng)（升壓氣流），實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于氣體的膨脹或壓縮過程。質(zhì)上相當(dāng)于氣體的膨脹或壓縮過程。氣體的運(yùn)動(dòng)氣體的運(yùn)動(dòng)伴隨著密度的變化。伴隨著密度的變化。)(odv)(odv即：即：vdvMavdvcvcvdvd2222 dcdddpdpdvv21 由于由于 無論是亞聲速無論是亞聲速

6、和超聲速和超聲速 氣流氣流都具有上述特性。都具有上述特性。)Ma(1 )Ma(1 2、 Ma 數(shù)不同時(shí)，速度變化率數(shù)不同時(shí)，速度變化率 和密度變化率和密度變化率 的關(guān)系不同：的關(guān)系不同：vdv d 時(shí)，時(shí)， 。即若為加速降壓氣流，。即若為加速降壓氣流，密度的減小率小于流速的增加率，若為升壓減速密度的減小率小于流速的增加率，若為升壓減速氣流，密度的增加率小于流速的減小率。氣流，密度的增加率小于流速的減小率。1 Mavdvd 1 Mavdvd 時(shí)，時(shí)， 這種變化率關(guān)系的不同，將導(dǎo)致如下亞聲速和超聲這種變化率關(guān)系的不同，將導(dǎo)致如下亞聲速和超聲速氣流在速度與流道斷面積關(guān)系上的本質(zhì)差異。速氣流在速度與流

7、道斷面積關(guān)系上的本質(zhì)差異。三、三、 氣流速度與流道斷面積的關(guān)系氣流速度與流道斷面積的關(guān)系 由連續(xù)性方程由連續(xù)性方程0 AdAvdvd vdvMavdvvdvMavdvdAdA) 1()(22得得此式即為流速變化率與斷面積變化率的關(guān)系式。此式即為流速變化率與斷面積變化率的關(guān)系式。以下討論此關(guān)系式。以下討論此關(guān)系式。 反之，亞聲速氣流做加速降壓流動(dòng)時(shí)，過流反之，亞聲速氣流做加速降壓流動(dòng)時(shí)，過流斷面積一定是逐漸減小的。斷面積一定是逐漸減小的。1、 若若 （亞聲速流動(dòng)）（亞聲速流動(dòng)）1 Ma 與與 具有相反的符號(hào)，可見對(duì)于亞聲速具有相反的符號(hào)，可見對(duì)于亞聲速變截面流動(dòng)，截面積增加時(shí)，流速減小，壓強(qiáng)增變

8、截面流動(dòng)，截面積增加時(shí)，流速減小，壓強(qiáng)增加，加，變化規(guī)律符合不可壓縮流體的流動(dòng)規(guī)律。變化規(guī)律符合不可壓縮流體的流動(dòng)規(guī)律。vdvAdA欲使氣流加速，則必須使用漸縮管道。欲使氣流加速，則必須使用漸縮管道。2、若、若 Ma 11（超（超聲聲速流速流動(dòng)動(dòng)） 當(dāng)過流斷面積增加時(shí)，在超聲速流動(dòng)的情況下，當(dāng)過流斷面積增加時(shí)，在超聲速流動(dòng)的情況下，流速增加，壓強(qiáng)降低；反之，超聲速氣流作減速升流速增加，壓強(qiáng)降低；反之，超聲速氣流作減速升壓流動(dòng)時(shí)，過流斷面積一定是逐漸減小的。壓流動(dòng)時(shí)，過流斷面積一定是逐漸減小的。 欲使氣流加速，則必須采用漸擴(kuò)管道。欲使氣流加速，則必須采用漸擴(kuò)管道。dA 03、Ma =1 （跨聲速

9、流動(dòng)）（跨聲速流動(dòng)） dA= 0， 過流斷面積過流斷面積 無變化無變化。 將氣流從亞聲速向超聲速轉(zhuǎn)變，或者相反，用將氣流從亞聲速向超聲速轉(zhuǎn)變，或者相反，用單純的收縮管或單純的擴(kuò)張管都是無法實(shí)現(xiàn)的。單純的收縮管或單純的擴(kuò)張管都是無法實(shí)現(xiàn)的。 采用拉瓦爾噴管可獲得超聲速氣流。拉瓦爾噴采用拉瓦爾噴管可獲得超聲速氣流。拉瓦爾噴管由收縮管段、喉部、及擴(kuò)張管段組成。管由收縮管段、喉部、及擴(kuò)張管段組成。82 聲速和馬赫數(shù)聲速和馬赫數(shù)（兩個(gè)重要參數(shù)）（兩個(gè)重要參數(shù)） 壓縮性的大小常常以聲速判斷，壓縮性效應(yīng)壓縮性的大小常常以聲速判斷，壓縮性效應(yīng)的度量又往往用馬赫數(shù)。的度量又往往用馬赫數(shù)。一、聲速一、聲速 聲速聲

10、速 微小擾動(dòng)在氣體（介質(zhì)）中的傳微小擾動(dòng)在氣體（介質(zhì)）中的傳播速度。以字母播速度。以字母 c 表示。表示。1、微小擾動(dòng)波的傳播過程、微小擾動(dòng)波的傳播過程 微小擾動(dòng)波的傳播方向與流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微小擾動(dòng)波的傳播方向與流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向是一致的，但方向是一致的，但 c dv。2、微小擾動(dòng)波傳播速度（即聲速、微小擾動(dòng)波傳播速度（即聲速 c）的表達(dá)）的表達(dá) 式式( (聲速公式聲速公式) ) 對(duì)所取的兩個(gè)斷面和控制體分別列連續(xù)方程對(duì)所取的兩個(gè)斷面和控制體分別列連續(xù)方程和動(dòng)量方程：和動(dòng)量方程： 由連續(xù)方程知：由連續(xù)方程知： cAdt = ( + d )( c dv )Adt略去二階微量可得：略去二階微量可得

11、： c d = dv ( ) 由動(dòng)量方程得：由動(dòng)量方程得： pA p + dp A = q c dv c = c A dv 整理得：整理得： A dp = c A dv dp = c dv ( )由上述兩由上述兩( )式消去式消去dv 得：得：則則:(常數(shù)常數(shù)) 微小擾動(dòng)波的傳播過程是一個(gè)絕熱、可逆的微小擾動(dòng)波的傳播過程是一個(gè)絕熱、可逆的等熵過程等熵過程:ddpc RTc聲速公式的又一種形式聲速公式的又一種形式Cp或或:Cp 微分上式得：微分上式得：pddpRTp又由理想氣體又由理想氣體狀態(tài)方程：狀態(tài)方程：得：得：代入聲速公式得：代入聲速公式得：dcdccdp2 聲速公式聲速公式(方程式方程式

12、)RTddp綜合以上聲速公式的兩種形式可以看出：綜合以上聲速公式的兩種形式可以看出：(1) 流體密度對(duì)壓強(qiáng)的變化率流體密度對(duì)壓強(qiáng)的變化率 d / dp 反映了流體的反映了流體的壓縮性，亦反映了聲速的大小，所以聲速是反映壓縮性，亦反映了聲速的大小，所以聲速是反映流體壓縮性大小的物理參數(shù)。流體壓縮性大小的物理參數(shù)。(2)聲速與某氣體的熱力學(xué)溫度聲速與某氣體的熱力學(xué)溫度 T 有關(guān)，所以聲速有關(guān)，所以聲速也是空間坐標(biāo)的函數(shù)，常把聲速稱為當(dāng)?shù)芈曀?。也是空間坐標(biāo)的函數(shù)，常把聲速稱為當(dāng)?shù)芈曀佟?3)聲速與氣體的絕熱指數(shù)聲速與氣體的絕熱指數(shù) 及氣體常數(shù)及氣體常數(shù) R 有關(guān)。有關(guān)。 空氣中的聲速為：空氣中的聲速

13、為：sm 1 .202874 . 1TTc二、馬赫數(shù)二、馬赫數(shù)1、馬赫數(shù)的定義：氣體流動(dòng)速度、馬赫數(shù)的定義：氣體流動(dòng)速度 v 與其本身與其本身(該該 介質(zhì)中介質(zhì)中) 的聲速的聲速 c 之比。之比。 記為：記為：Ma = v / c 馬赫數(shù)反映了氣體的可壓縮性程度，是氣體馬赫數(shù)反映了氣體的可壓縮性程度，是氣體可壓縮性效應(yīng)的一個(gè)重要度量。可壓縮性效應(yīng)的一個(gè)重要度量。氣體動(dòng)力學(xué)依據(jù)馬赫數(shù)對(duì)可壓縮氣體流動(dòng)進(jìn)行分類氣體動(dòng)力學(xué)依據(jù)馬赫數(shù)對(duì)可壓縮氣體流動(dòng)進(jìn)行分類: Ma 1 即即 v c， 為亞聲速流動(dòng)；為亞聲速流動(dòng)； Ma 1 即即 v c， 為為(跨跨)聲速流動(dòng)聲速流動(dòng)(兼有亞兼有亞 聲速區(qū)和超聲速區(qū)聲

14、速區(qū)和超聲速區(qū))； Ma 1 即即 v c， 為超聲速流動(dòng)。為超聲速流動(dòng)。2、微小擾動(dòng)在空氣中的傳播特征、微小擾動(dòng)在空氣中的傳播特征 擾動(dòng)波的傳播有如圖所示的四種情況。擾動(dòng)波的傳播有如圖所示的四種情況。（1）擾動(dòng)源）擾動(dòng)源 O 點(diǎn)靜止不動(dòng)，即：點(diǎn)靜止不動(dòng)，即： v = 0。 微小擾動(dòng)波面是一個(gè)個(gè)不同半徑的空間球面。微小擾動(dòng)波面是一個(gè)個(gè)不同半徑的空間球面。（2）擾動(dòng)源以小于聲速的速度向左作等速直線運(yùn)）擾動(dòng)源以小于聲速的速度向左作等速直線運(yùn) 動(dòng)，即：動(dòng)，即：v c， Ma 1 (亞聲速亞聲速)。 擾動(dòng)將始終走在擾動(dòng)源的前面。擾動(dòng)將始終走在擾動(dòng)源的前面。（3）擾動(dòng)源的運(yùn)動(dòng)速度等于聲速，即：）擾動(dòng)源的

15、運(yùn)動(dòng)速度等于聲速，即： v = c Ma = 1 (跨聲速跨聲速)。 擾動(dòng)源將與它所產(chǎn)生的擾動(dòng)同時(shí)到達(dá)同一空擾動(dòng)源將與它所產(chǎn)生的擾動(dòng)同時(shí)到達(dá)同一空間的任何位置。間的任何位置。v = 0v c， Ma 1 (亞聲速亞聲速)v = c Ma = 1 （跨聲速）（跨聲速）v c Ma 1（超聲速）（超聲速）（4 4）擾動(dòng)源以大于聲速的速度運(yùn)動(dòng)，）擾動(dòng)源以大于聲速的速度運(yùn)動(dòng)， 即：即：v c Ma 1（超聲速）。（超聲速）。 擾動(dòng)源將永遠(yuǎn)走在所產(chǎn)生的擾動(dòng)之前。擾動(dòng)源將永遠(yuǎn)走在所產(chǎn)生的擾動(dòng)之前。 馬赫錐馬赫錐 擾動(dòng)波面形成的一個(gè)空間圓面。擾動(dòng)波面形成的一個(gè)空間圓面。 馬赫角馬赫角 馬赫錐半頂角。馬赫錐半

16、頂角。 sin = c / v = 1 / Ma 在不可壓縮流體中，由于聲速接近無窮大，在不可壓縮流體中，由于聲速接近無窮大，擾動(dòng)將立刻傳至各處，擾動(dòng)源永遠(yuǎn)不會(huì)到達(dá)擾動(dòng)擾動(dòng)將立刻傳至各處，擾動(dòng)源永遠(yuǎn)不會(huì)到達(dá)擾動(dòng)波的前方。在可壓縮流體中，當(dāng)波的前方。在可壓縮流體中，當(dāng)Ma1時(shí)時(shí)，擾動(dòng)擾動(dòng)的傳播特征與不可壓縮流體相近，因此，對(duì)于低的傳播特征與不可壓縮流體相近，因此，對(duì)于低速流體，可以按不可壓縮流體來處理。速流體，可以按不可壓縮流體來處理。例題：飛機(jī)在距地面高度為例題：飛機(jī)在距地面高度為H = = 2000 m 的上空，以的上空，以v = 1836 km/h 的速度飛行，空氣的溫度為的速度飛行，空氣

17、的溫度為T = = 15，試求：從飛機(jī)飛過觀察者正上方，到觀察者聽到飛試求：從飛機(jī)飛過觀察者正上方，到觀察者聽到飛機(jī)聲要多少時(shí)間？機(jī)聲要多少時(shí)間？解：當(dāng)?shù)芈曀贋椋航猓寒?dāng)?shù)芈曀贋椋簊mTRc/340152732874 . 1馬赫數(shù)為：馬赫數(shù)為：15 . 13403600/1018363cvMa馬赫角為：馬赫角為：8 .415 . 11arcsin1arcsinMacotHtvl觀察者聽到飛機(jī)聲的時(shí)間為：觀察者聽到飛機(jī)聲的時(shí)間為：svHt38. 48 .41cot5102000cot83 理想氣體一元等熵流動(dòng)的特征理想氣體一元等熵流動(dòng)的特征 分析氣體一元等熵流動(dòng)，找出流動(dòng)斷面間各分析氣體一元等熵流

18、動(dòng)，找出流動(dòng)斷面間各參數(shù)間的關(guān)系。參數(shù)間的關(guān)系。 以滯止?fàn)顟B(tài)和臨界狀態(tài)來說明這種特征。以滯止?fàn)顟B(tài)和臨界狀態(tài)來說明這種特征。一、滯止?fàn)顟B(tài)和滯止參數(shù)一、滯止?fàn)顟B(tài)和滯止參數(shù) 滯止?fàn)顟B(tài)滯止?fàn)顟B(tài) 假定在一元等熵流動(dòng)中，氣假定在一元等熵流動(dòng)中，氣體在某一斷面處速度等熵地降為零，該斷面的氣體在某一斷面處速度等熵地降為零，該斷面的氣流狀態(tài)稱為滯止?fàn)顟B(tài)。流狀態(tài)稱為滯止?fàn)顟B(tài)。 滯止參數(shù)滯止參數(shù) 滯止?fàn)顟B(tài)下的運(yùn)動(dòng)參數(shù)稱為滯止?fàn)顟B(tài)下的運(yùn)動(dòng)參數(shù)稱為滯止參數(shù)。滯止參數(shù)。 滯止參數(shù)以下標(biāo)滯止參數(shù)以下標(biāo)“0”0”標(biāo)識(shí)，對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)、標(biāo)識(shí)，對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)、密度、溫度、聲速分別記為：密度、溫度、聲速分別記為： 、 、 、 。0p00T

19、0c 在滯止?fàn)顟B(tài)下，由能量方程可得氣流某一斷在滯止?fàn)顟B(tài)下，由能量方程可得氣流某一斷面的面的運(yùn)動(dòng)參數(shù)與滯止參數(shù)之間的關(guān)系運(yùn)動(dòng)參數(shù)與滯止參數(shù)之間的關(guān)系如下：如下：000021121TcRTpvpp 022hvh 1212022 cvc （）流動(dòng)參數(shù)與馬赫數(shù)之間的關(guān)系：流動(dòng)參數(shù)與馬赫數(shù)之間的關(guān)系：由（由（）式兩邊同乘以）式兩邊同乘以 ，可得：，可得：21c222220211211Macvcc所以：所以：200220211MaTTRTRTcc又由等熵關(guān)系：又由等熵關(guān)系：Cpp 00)()()(000000TTppRTpRTppp故：故： 或或 )TT()pp(010 )TT()pp(010 100 )

20、TT(pp1100 )TT(1120)211(Ma所以：所以：120)211(Mapp 由上述三式可見：對(duì)于一元等熵流動(dòng)，只要由上述三式可見：對(duì)于一元等熵流動(dòng)，只要知道滯止參數(shù)和馬赫數(shù)知道滯止參數(shù)和馬赫數(shù) Ma，則沿流束各斷面上的，則沿流束各斷面上的溫度、壓強(qiáng)和密度等參數(shù)都是可求的。溫度、壓強(qiáng)和密度等參數(shù)都是可求的。二、二、 最大速度狀態(tài)和最大速度最大速度狀態(tài)和最大速度 氣體的全部能量轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，壓強(qiáng)為零，速氣體的全部能量轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，壓強(qiáng)為零，速度達(dá)到最大值度達(dá)到最大值 ，分別稱為最大速度狀態(tài)和最，分別稱為最大速度狀態(tài)和最大速度。大速度。maxv 由狀態(tài)方程可見：因由狀態(tài)方程可見：因RTp 此

21、時(shí)此時(shí) ， 即即 ，且聲速，且聲速0p0T0h0c由能量方程可知：由能量方程可知：221222maxvvc 或者：或者： 得：得：12202 cvmax120 cvmax三、臨界狀態(tài)和臨界參數(shù)三、臨界狀態(tài)和臨界參數(shù)臨界斷面臨界斷面 Ma =1的喉部斷面的喉部斷面 ( 此斷面處此斷面處 )。cv 臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)臨界斷面上的氣流狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。臨界斷面上的氣流狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。臨界參數(shù)臨界參數(shù)臨界斷面上的氣流參數(shù)稱為臨界參數(shù)。臨界斷面上的氣流參數(shù)稱為臨界參數(shù)。臨界參數(shù)以下標(biāo)臨界參數(shù)以下標(biāo) “ ”標(biāo)識(shí)，標(biāo)識(shí)，如如 、 、 、 、 。 Tpcv臨界參數(shù)與滯止參數(shù)的關(guān)系臨界參數(shù)與滯止參數(shù)的關(guān)系：由前

22、述流動(dòng)參數(shù)與馬赫數(shù)的關(guān)系式可得：由前述流動(dòng)參數(shù)與馬赫數(shù)的關(guān)系式可得：當(dāng)當(dāng) Ma = 1 時(shí)，則有：時(shí)，則有： 210TT111100)21()(TT1100)21()(TTpp滯止參數(shù)和臨界參數(shù)都是描述可壓縮流體的參數(shù)。滯止參數(shù)和臨界參數(shù)都是描述可壓縮流體的參數(shù)。臨界參數(shù)與滯止參數(shù)的關(guān)系只與絕熱指數(shù)臨界參數(shù)與滯止參數(shù)的關(guān)系只與絕熱指數(shù) 有關(guān)。有關(guān)。84 收縮噴管與拉伐爾噴管的計(jì)算收縮噴管與拉伐爾噴管的計(jì)算 導(dǎo)出收縮噴管與拉伐爾噴管的速度和流量的計(jì)導(dǎo)出收縮噴管與拉伐爾噴管的速度和流量的計(jì)算公式。算公式。 可由已知的噴管尺寸和壓強(qiáng)計(jì)算速度和流量，可由已知的噴管尺寸和壓強(qiáng)計(jì)算速度和流量，反之，亦可由要求的噴管流量和壓強(qiáng)設(shè)計(jì)噴管的型反之，亦可由要求的噴管流量和壓強(qiáng)設(shè)計(jì)噴管的型式和尺寸。式和尺寸。一、收縮噴管一、收縮噴管二、拉伐爾噴管二、拉伐爾噴管例題例題: 大容積容器中的