立體幾何垂直關(guān)系專題

1、立體幾何垂直關(guān)系專題高考中立體幾何解答題中垂直關(guān)系的基此題型是：證明空間線面垂直需注意以下幾點： 由想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。 立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當添加輔助線或面或輔助體 是解題的常用方法之一。 明確何時應(yīng)用判定定理， 何時應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相 應(yīng)結(jié)論。 三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應(yīng)優(yōu)先考慮應(yīng)用時常需先認清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內(nèi)直線的位置， 再根據(jù)定理由的兩直線垂直得出新的兩直線垂直 另外通過計算證明線線垂直也是常用的方法之一。垂直題目的解決方法須

2、熟練掌握以下相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：2 垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直線面垂直面面垂直；每一垂直判定就是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直最終到達目的。例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化 為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。2“升降維思想直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的。 運用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn) 化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為，從而使問題得到解決。運用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學會學習的重要方法。平 面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升

3、維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運用的過程。注意：證明線面關(guān)系，嚴禁跳步作答證明線面位置關(guān)系的根本思想是轉(zhuǎn)化與化歸，根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)， 進行相互之間的轉(zhuǎn)化，但分析問題時不能只局限在線上，要把相關(guān)的線歸結(jié)到某個平面上， 通過證明線面垂直到達證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又要借助于線線垂直，在不斷的相互轉(zhuǎn)化中到達最終目的.解決空間問題常添加的輔助線與輔助面1. 遇到線面平行面面平行做輔助面引出平行線，遇到線面垂直做出過垂線的平面引出垂面2.遇到面面垂直在一平面內(nèi)做出兩垂面交線的垂線引出線面垂直的條件添加輔助線的策略：一、添加垂線策略。因為立體幾何的許多定義或定理是與垂線有關(guān)的，如線

4、面角、二面角的定義，點到平面、線到平面、平面到平面距離的定義，三垂線定理，線面垂直、面面垂直的判定及性質(zhì)定理，正棱柱、正棱錐的性質(zhì)，球的性質(zhì)等，所以運用這些定義或定理，就需要把沒有的垂線補上。尤其要注意平面的垂線，因為有了平面的垂線，才能建立空間直角坐標系，才能使用三垂線 定理或其逆定理。二、添加平行線策略。其目的是把不在一起的線，集中在一個圖形中，構(gòu)造出三角形、平行四邊形、矩形、菱 形，這樣就可以通過解三角形等，求得要求的量，或者利用三角形、梯形的中位線來作出所需要的平行線。三. 向中心對稱圖形對稱中心添加連線策略。這主要是因為對稱中心是整個圖形的“交通樞紐，它可以與周圍的點、 線、面關(guān)聯(lián)起

5、來，常見的有對平行四邊形連對角線，對圓的問題向圓心連線，對球體問題向球心連線。四、名線策略。即添加常用的、重要的線，如中位線、高、角平分線、面對角線和體對角線等。盡管這些線 上面也有提到，但還是要在這里強化一下，這些線有著廣泛的聯(lián)系。尤其是添加三角形中位 線或者梯形中位線， 這主要是因為中位線占據(jù)了兩個邊的中點，并且中位線平行于底邊， 且是底邊長的一半，它可以把底邊與其他線面的角度關(guān)系平移，使和未知集中在一個三角形中。典型例題精講空間垂直題型一線線垂直問題1.證明：體對角線與與側(cè)面上無公用定點的對角線互相垂直，同一側(cè)面上的兩條對角線互相垂直，不在同一側(cè)面上的兩條對角線的交角為60 ,1含AC的

6、對角面共有幾個分別是哪幾個？答案：共三個分別是平面 AA1CC1平面A1B1CD平面A1BCD12. 06江西卷如圖，在三棱錐 A- BCD中，側(cè)面ABD ACD是全等的直角三角形， AD是公 共的斜邊，且 AD- 3 , BD= CD= 1，另一個側(cè)面是正三角形，求證： AD BC3.直三棱柱證：AB丄AMABC- A1B1G 中，/ ACB=90,/ BAC=30, BC=1, AA=/6 , M 為 CC 中點，求4.矩形 ABCD過A作SAL平面 ABCD再過 A作AE丄SB交SB于E,過E作EF SC交 SC于F。求證：AF丄SC ； (2)假設(shè)平面 AEF交SD于G 求證：AGL

7、SD5.如圖，在正方體 ABCD- A1B1C1D中，M是棱 AA的中點, 求證：CML MNN在 AB上，且 AN： NB=1：3,CCiAiBi6.正三棱柱 ABC-ABG的側(cè)面三條對角線 AB、BG、CA中，AB丄BG.求證：AB丄CA.a的正方體截去一半如圖甲所示得到如圖乙所示的幾何體，點E,F分別是BC,DC的中占I 八、I證明： AF EDi ；n求三棱錐 E AFDi的體積.DiACiADiABC ABG中，側(cè)面ABBA為矩形，ABi,AAF 2 , D 為 AA 的中點，BD 與 AB交于點O, CO 側(cè)面ABBA .證明：BC ABi ；(n )假設(shè)OC OA，求三棱錐Ci

8、ABC的體積.Ci空間垂直題型線面垂直問題1三棱錐P ABC中，E、F分別是 AC AB的中點， ABC PEF都是正三角形，PF丄AB.證明PC丄平面 PABAiBiCD, G為CC的中點,0為底面ABCD勺中心。求證:A0丄平面GBDCiAGCB3. 06天津如圖，在五面體 ABCDEF中，點0是矩形ABCD的對角線的交點，面 CDE是等1邊三角形，棱EF / BC .2II丨設(shè)BC 3CD,證明E0 平面CDF .A0DBCI證明F0 /平面CDE;4.福建卷如圖，四面體 ABCD中，0、E分別是 BD、BC的中點，CA CB CD BD 2, AB AD 2.I求證：A0 平面BCDI

9、I求點E到平面ACD的距離。5如以下圖， PA丄矩形ABCD所在平面,M , N分別是AB , PC的中點.(1)求證：MN丄CD ;假設(shè)/ PDA = 45，求證：MN丄平面PCD.空間垂直題型-面面垂直問題1如以下圖， ABC中，/ ABC = 90, P為厶ABC所在平面外一點， PA = PB = PC.求證：平面 PAC丄平面 ABC.PC2.如圖，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，AC = BC,點D是AB的中點.(1)求證：BCi/ 平面 CAiD;求證：平面CAiD丄平面AAiBiB.3.山東理如圖，在五棱錐 P-ABCDE 中，PA丄平面 ABCDE , AB / CD ,

10、 AC / ED, AE / BC,/ ABC=45 , AB=2“, BC=2AE=4，三角形 PABI求證：平面 PCD丄平面PAC;n求直線PB與平面PCD所成角的大小；川求四棱錐 P-ACDE的體積.是等腰三角形.4如圖，棱柱 ABC-A iBiCi的側(cè)面 BCCiBi是菱形，BiC丄AiBI證明：平面 ABiC垂直平面 AiBCi；n設(shè)D是AiCi上的點，且 AiB/平面BiCD ，求AiD:DC i的值.5以下圖是一幾何體的直觀圖和三視圖.正視圖俯視圖測視圖假設(shè)F為PD的中點，求證：AF丄平面PCD ;求幾何體BEC APD的體積.探索性問題ABCD 中，底面 ABCD 是的菱形，

11、/ DAB = 60 ,側(cè)面PAD 直于底面ABCD.(1)求證：AD丄PB;為正三角形，其所在平面垂DEF丄平面ABCD，并證明假設(shè)E為BC邊的中點，能否在棱 PC上找到一點F,使平面 你的結(jié)論.2. (2022年寧夏海南高考)如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形, 長的 2倍，P為側(cè)棱SD上的點.(1)求證：AC丄SD;假設(shè)SD丄平面PAC，求二面角 P-AC-D的大??；每條側(cè)棱的長都是底面邊PAC.假設(shè)存在，求 SE : EC在(2)的條件下，側(cè)棱 SC上是否存在一點 E,使得BE /平面 的值；假設(shè)不存在，試說明理由.3. (此題總分值12分)如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC , P、Q分別為線段AB、CD的中點, EP丄平面ABCD.(1) 求證：D