2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽吉林預賽試題及詳解

1、2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽（吉林賽區(qū)）預賽試題2019年5月20日8:30-11:00、選擇題：本大題共6個小題,每小題5分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .集合Ax Z log 2 x的真子集個數(shù)為（）A. 72 .三棱錐ABC的底面ABC是邊長為3的正三角形，PA3,PB4,PC5,則三棱錐ABC的體積A. 3. 10. 2,33 .已知函數(shù)x滿足:x, y R20194 .已知Sinx ,則對 2 cosxR,卜列說法中錯誤的是A.fx5.已知x22x11在2xx2018,00,2018上的最大值為最小值為A.36.設x0,y0,z0,滿足xxy,xy

2、zxyz,則z的取值范圍是（A.0,3.1,30,4D第II卷（共120分）、填空題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上）7.函數(shù)y1x1 2 3 6x 8log2 2的定義域為 x 18 .已知圓C的方程為x一 sin xy28x150,若直線ykx2kR上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值等于9 .如圖，在直角三角形ABC中，ACB-,ACBC2,點P是斜邊AB上一2uuuuuuuu uuuCP CB10.已知點P在直線x2y0上，點Q在直線x 2y 3 0上，PQ的中點為m xo,yo，且 y°xo2,處的取值范圍是x011.若實數(shù)a, b

3、滿足條件則a 2b的最大值等于2a b12.在數(shù)列an中，若2 an2 an 1*2,n Nr為常數(shù)），則稱an為“等方差數(shù)列”.下列是對“等方點，且BP2PA,則CPCA差數(shù)列”的判斷:數(shù)列n1 是等方差數(shù)列;是等方差數(shù)列，則2an是等差數(shù)列;是等方差數(shù)列，則* （k N ,k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列;an既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列其中正確命題序號為.（將所有正確的命題序號填在橫線上）三、解答題（本大題共4小題，共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）13 .已知函數(shù)fx4cosxsinxa的最大值為2.6（1）求a的值及fx的最小正周期；（2）求fx的單調遞減

4、區(qū)間14 .數(shù)列an為等差數(shù)列，且滿足3a58a猿0,數(shù)列燈滿足bnanan1an2nN*,bn的前n項和記為S,問：n為何值時，Sn取得最大值，說明理由.15.已知拋物線y ax2過點P 1,1 ,過點1Q_,0作斜率大于0的直線l交拋物線于M,N兩點（點M在2Q,N之間），過點M作x軸的平行線，交OP于A,交ON于B,PMA與OAB的面積分別記為SS,比較S與3&的大小，說明理由16.設x,y,z0,且至多有一個為0,求fx,y,z尸22562yz'22呼F22562xy的最小值.1yz.zxxy2018年全高中數(shù)學聯(lián)賽（吉林賽區(qū)）預賽暨2018年吉林省高中數(shù)學聯(lián)賽試題參考

5、答案一.選擇題1,c2. 1 解析】皿=匕4-=gx（gx3x4xVil.3. Bt解析】取工=Lj=O.得=域就=1J=1，得4/飛1）=/（2）+/（0）故/（2）=取力=21=1,得4/2）=/+以故*3）=/取*=打.y=I.白門"）二，（打+1）卜門mI）,同理一門打十1）一，（掰2>1/（n）.聯(lián)立，得，"?）=故/=叼，所以周期為仇Si/<20l9）=/（336x6+3）=LAtWiJ/（）|-!smT<.uir<|a-12-CDS5.B解析】/（可圖像大于（0.1）村稱,故M+N?。?十八%）3=2.6iDT+X【解析由已知r二二所以

6、二二三二二一盧二1二一-!-x-lXV-1A-,A-.V+1.1tI丁11+7#一1M2因為R>1,即OVMl所以二Ml-4rVl,故.x4工廠3二，填空題7.g|U|48-3【祠析】因為阿C的方程可化為（#-4f+爐=1.所以圓仁的01心為|10）,半柱為匚者>工匕一2上至少存在一點2）,以讀點為蒯心.1為華般的圓與圓。有公共點*則存在5wR,使得|41W1+1=2成立.即|心£2又因為ML為點C到直線二板-2的距寓、二甲所以fid就得。三上三,因此上的最大值是2.啟+1+1339.4【解析】法h因為而二日+萬二石4二日+：（7?+百）=：否+；而,一一1JBr口一i1

7、10所以士rB二C4十一£=一+=4.3333法圖以點C為原點.C4G?分別為工軸.i軸建立平面直角坐標系.蛔用2,0卜研0,2）,尸（小（） WCt = (2,0),C5 = (0,2)JHt所以彳（H+f于f5二色十已10.【解析】注意到兩直級是平行的"故點."的軌跡為與兩直線距圖出¥出?行于兩直線的直線.其療程為£十2了十=0.EPM（h小打）滿足/十2M+1=0,而滿足不等式網工/+2的點在直淺）=父+2的左上方.問88轉化為求射線/+2見+1=0（/<-上的點的區(qū)的范利3天而返的幾何意義是%）與原點建線的斜率，越兒孫=e-,-|

8、./I2517可知當上取最大值3時F二笆也取得最大值為302(j+b512.【解析】因為|11丁_(_1)1了=0,所以(-1門符合“等方差數(shù)列,定義：根據定義,顯則N/是等差致列；®b/一HI；一口丁一汀十口一口h-J十十一口日1；-如符合定義*若數(shù)列SJ瞬足4,%：=9，%i=d«d為常數(shù):，若4=0.顯然為常數(shù)列：,2若U#Q.則兩式相除得q,+*=g所以/二.十P常數(shù)即為常數(shù)列.d2r7三、解答題13.解析】.1 /(X)=4CO!sin A一二近sin*cosh2cos'x+11寸usjii2a,-cos2vi+d-2sin|之彳卜6)因此當Bin2h+=

9、|=T時/)取得最大值又因為/(m)的最火僮為2.所以十門-2.即。=1./&)的最小正周期為丁(|)由(I)得y(x)=2sin(2x+I之上注上卜2kn左JZr得萬已一P-ZtH4+AFeZ»36因此,戈)的單調減區(qū)間為一尹片喘+后卜".14*t解析】:*3%一弘,。二=8(%47H).斛得。5=-(7A0.二dv。、rt.+15枚；3是首項為正數(shù)的遞減數(shù)列.%之。,即1<0FT+L*78-二d + 5-Dd 孑076 , 1八 + )7(/ S 0,解得151直打X161.口1A/A生A/6Ao>017>b?>“>>b4A0

10、>47>%>而X=ai>ai6ai7<°、6/718>S14>4>A3><幾，$16>5|7>4>.所以S”中5k最大,即打=16時，3；取得屎大值.15.1解析拋物線產=心過點尸(-11),fflrt=1所以拋物線的方程為¥=/.設直線，的方程為二JI才十:(其中左>0 > ,由1 '1 2 L 得2/ 一加一品=0.設1“.3箱)、N區(qū).力),則為與，/(-y,，3再+與=kX吊=2乂ON的方鉗為了二絲，故E-所以U=叮一再，|B|二叵*/，/I>2/H制“叫-跳4|二生j2乂+巧二西士+21>4日Ti>'i“/*1fr1ai,1T,（2尸+2R）k1+klfr+t1JJ=0+見可用打耳|義必,由IS意知一2nMe1c國V。*故*；=K：vJ,1Vh>1-i=2q14-44更因為& =3.4”卜（_內）.凡=44同，所以$二35 16. E：