波函數(shù)與薛定諤方程

1、 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation1 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件V（1 1）根據(jù)）根據(jù)BornBorn統(tǒng)計解釋，統(tǒng)計解釋， 是粒子在是粒子在時刻出現(xiàn)在時刻出現(xiàn)在 點(diǎn)的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以點(diǎn)的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求應(yīng)是要求應(yīng)是 的單值函數(shù)且有限。的單值函數(shù)且有限。2( , )( , )r tr trt( , )r t( , )r t（2 2）根據(jù)粒子數(shù)守恒定律）根據(jù)粒子數(shù)守恒定律 : :( , )2SSVdir t dJ dSdSdt 此式右邊含有及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，此式右邊含有及其對坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的

2、積分，由于積分區(qū)域是任意選取的，所以是任意閉合由于積分區(qū)域是任意選取的，所以是任意閉合面。要使積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，面。要使積分有意義，必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦即空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。連續(xù)。 概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)應(yīng)滿足概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)應(yīng)滿足單值、單值、有限、連續(xù)有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。件。S Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation2( , )( )iEtr tr e 2 2定態(tài)

3、定態(tài)SchrSchrdingerdinger方程方程 當(dāng)粒子處在定態(tài)中時，具有確定的能量，其空間當(dāng)粒子處在定態(tài)中時，具有確定的能量，其空間波函數(shù)波函數(shù) 由方程（由方程（2 2），即由），即由)(r 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程1 1定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù) 當(dāng)粒子處在由波函數(shù)當(dāng)粒子處在由波函數(shù)（1）所描述的狀態(tài)時，所描述的狀態(tài)時，粒子的能量粒子的能量 有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)；描述定態(tài)的波函數(shù)（述定態(tài)的波函數(shù)（1）稱為定態(tài)波函數(shù)。）稱為定態(tài)波函數(shù)。（1）E)()()(222rErrU（2）在給定的定解條件下求出，方程（在給定的定解條件下求出，方程（2 2）稱為）

4、稱為定態(tài)定態(tài)Schr- Schr- dingerdinger方程。方程。 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation33.Hamilton3.Hamilton算符和能量本征值方程算符和能量本征值方程( , )( , )r tiEr tt 22( )( , )( , )2U rr tEr t 這兩個方程都是以一個算符作用在定態(tài)波函數(shù)這兩個方程都是以一個算符作用在定態(tài)波函數(shù) 上，得出定態(tài)能量乘以該定態(tài)波函數(shù)，因此算符上，得出定態(tài)能量乘以該定態(tài)波函數(shù)，因此算符),(tr（4）（3）ti均稱為均稱為能量算符能量算符 22( )2U r )(22

5、2rUH利用哈密頓算符利用哈密頓算符(能量算符能量算符) Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation4可將方程可將方程(4)和定態(tài)和定態(tài)SchrSchrdingerdinger方程方程(2)和和分別分別寫成寫成),(),(trEtrH )()(rErH和和兩式均稱為兩式均稱為哈密頓哈密頓算符算符(能量算符能量算符)的的本征方程本征方程 的的本征函數(shù)本征函數(shù)H能量能量本征值本征值 為為本征波函數(shù)本征波函數(shù)),( tr 當(dāng)體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)當(dāng)體系處在能量本征波函數(shù)所描寫的狀態(tài)(又稱又稱本本征態(tài)征態(tài))中時，粒子的能量有確定的值

6、。中時，粒子的能量有確定的值。 討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)及這些態(tài)中的能量數(shù)及這些態(tài)中的能量;求定態(tài)波函數(shù)的問題又歸結(jié)為求定態(tài)波函數(shù)的問題又歸結(jié)為解定態(tài)解定態(tài)Schrdinger方程方程+定解條件構(gòu)成的本征值問題定解條件構(gòu)成的本征值問題。 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation54.4.求解定態(tài)問題的步驟求解定態(tài)問題的步驟( , )( )eniE tnnnr tCr1| )(|2 drCnn)()(222rErV （1 1）列出定態(tài)）列出定態(tài)SchrodingerSchro

7、dinger方程方程（2 2）根據(jù)波函數(shù)三個）根據(jù)波函數(shù)三個 標(biāo)準(zhǔn)條件求解能標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量量 的本征值問的本征值問題，得題，得：E1212,nnEEE，本征能量本征能量本征函數(shù)本征函數(shù)（4 4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)）通過歸一化確定歸一化系數(shù)nC（3 3）寫出定態(tài)波函數(shù)）寫出定態(tài)波函數(shù) 即得到對應(yīng)第即得到對應(yīng)第 個個本征值本征值 的定態(tài)波的定態(tài)波函數(shù)函數(shù)nEn?nC Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation6( , )( )niE tnnr tr e*( , )( , )( , )( , )2nnnniJr tr tr tr t*

8、( )( )( )( )2nnnnirrrr22( , )( , )( )nnnr tr tr 與與 無關(guān)無關(guān)t5 5定態(tài)的性質(zhì)定態(tài)的性質(zhì)（2 2）幾率流密度與時間無關(guān)）幾率流密度與時間無關(guān)（1 1）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān)）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān)與與 無關(guān)無關(guān)t判別定態(tài)的方法：判別定態(tài)的方法：（1 1）能量是否為確定值）能量是否為確定值（2 2）幾率與時間無關(guān)）幾率與時間無關(guān)（3 3）幾率流密度與時間無關(guān)）幾率流密度與時間無關(guān) Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation7 1. 1.下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)是否為定態(tài)？為什么？

9、下列波函數(shù)所描述的狀態(tài)是否為定態(tài)？為什么？EtiixtEiixexvexux)()()(1（1） tEitEiexuexux21)()()(2（2） tEitEiexuexux)()()(3（3） 思 考 題思 考 題 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation82.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱 在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用Schrodinger Schrodinger 方程來處理一類簡單的問題方程來處理一類簡單的問題 一維定態(tài)問題（一維定態(tài)問題（一維無限深勢阱，線性諧振子，勢壘貫

10、穿）。 （1 1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理；）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理； （2 2）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理；）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理； （3 3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進(jìn)行）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進(jìn)行細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來；題中展現(xiàn)出來； （4 4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。其好處主要有四：其好處主要有四： Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation91 1

11、定態(tài)定態(tài)SchrSchrdingerdinger方程方程axaxxU0)()()()(2222xExxUdxd)(2222xUdxdH哈密頓算符哈密頓算符無限深勢阱無限深勢阱-aa0U(x)2.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（續(xù)續(xù)1 1）222222( )( )2( )( )( )2dxExxadxdxxExxadx(1)(2)考慮一維?？紤]一維粒子的運(yùn)動，子的運(yùn)動，其勢能為其勢能為: : Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation102 2定態(tài)定態(tài)SchrSchrdingerdinger方程的解方程的解因因 及及 有限，由（

12、有限，由（2 2） )(x0)(xxa（3）E令令222E（4）222( )0dxdx 從物理考慮，粒從物理考慮，粒子不能透過無窮子不能透過無窮高的勢壁。高的勢壁。2.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（續(xù)續(xù)2 2） 其通解為其通解為 xBxAxcossin)(ax （5） 利用利用 的連續(xù)性，由（的連續(xù)性，由（3 3）和（）和（5 5）得）得)(x( )sincos0()sincos0aAxBaaAaBa （1）（4） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation11當(dāng)當(dāng) ，有，有00BA0sinaann2（n n為偶數(shù)）為偶數(shù)）

13、 (6)當(dāng)當(dāng) ，有，有0cosa00BAann2（n n為奇數(shù)）為奇數(shù)） (7)2.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（續(xù)續(xù)3 3）(6)(6)和和(7)(7)兩式統(tǒng)一寫成兩式統(tǒng)一寫成, 3 , 2 , 1,2nann（8） 本征能量：本征能量： （9） 22228nnEa222 E Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation12本本征征函函數(shù)數(shù)2.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（續(xù)續(xù)4 4）sin()2( )00nnAxnxaaxx（10） 為偶數(shù)為偶數(shù)cos()2( )00nnBxnxaaxx（11） 為奇數(shù)為奇數(shù)(

14、10)(10)和和(11)(11)兩式統(tǒng)一寫成兩式統(tǒng)一寫成sin()2( )0nnAx axaaxxa由歸一化條件求得歸一化常數(shù)由歸一化條件求得歸一化常數(shù)1Aa Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation13推導(dǎo)推導(dǎo): 2222|aannnnaaxdxdxdxdx22222|sin()211 cos()12aanaaaandxAx adxanAx a dxA aa1Aa（取實數(shù)）（取實數(shù)）2.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（續(xù)續(xù)5 5）axax)ax(ansina)x(n021（12） 歸一化歸一化的本征的本征函數(shù)函數(shù) Cha

15、pter 2The wave function and Schrdinger Equation142212( , )nni ni nx E tx E taanx tCeCeax or 由此可見：粒子的每個定態(tài)波函數(shù)由此可見：粒子的每個定態(tài)波函數(shù) 是由是由兩個沿相反方向傳播的兩個沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波平面波疊加而成的駐波。),(txn1( , )sin()2nniiE tE tnnnx tex a eaaax 3粒子的定態(tài)波函數(shù)粒子的定態(tài)波函數(shù)2.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（續(xù)續(xù)6 6） Chapter 2The wave function and Schrdinge

16、r Equation154 4幾率幅與幾率密度曲線圖幾率幅與幾率密度曲線圖2.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（續(xù)續(xù)7 7） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation165.5.宇稱宇稱( , )(, )rrr tr t 空間反射：空間矢量反向的操作?？臻g反射：空間矢量反向的操作。稱波函數(shù)具有稱波函數(shù)具有正宇稱正宇稱（或偶宇稱）（或偶宇稱）(, )( , )r tr t稱波函數(shù)具有稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱負(fù)宇稱（或奇宇稱）（或奇宇稱）(, )( , )r tr t（3 3）在空間反射下，如果）在空間反射下，如果(, )( , )r

17、tr t 則則稱稱波函數(shù)沒有確定的宇稱。波函數(shù)沒有確定的宇稱。（1 1）在空間反射下，如果有：）在空間反射下，如果有： (, )( , )r tr t 則稱波函數(shù)有則稱波函數(shù)有確定的宇稱。確定的宇稱。2.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（續(xù)續(xù)8 8） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation17討論討論22128Ea基態(tài)基態(tài)能量能量（3 3） 取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。取負(fù)整數(shù)與正整數(shù)描寫同一狀態(tài)。 n2.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（續(xù)續(xù)9 9）（1 1）能量）能量 取分離譜，即能量是量子取分離譜，即能量是量

18、子化的?；摹?2228nnEa(2)(2)粒子能量最低的態(tài)粒子能量最低的態(tài) 稱為基態(tài)稱為基態(tài)1與經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動性的與經(jīng)典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動性的表現(xiàn)，因為表現(xiàn)，因為“靜止的波靜止的波”是沒有意義的，亦即是沒有意義的，亦即 的態(tài)不存在，無意義。的態(tài)不存在，無意義。0,0,0nE Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation18本征函數(shù)具有確定宇稱是由勢能對原點(diǎn)對稱：本征函數(shù)具有確定宇稱是由勢能對原點(diǎn)對稱： 而導(dǎo)致的。而導(dǎo)致的。)()(xUxU（5 5）束縛態(tài)束縛態(tài)通常將在無窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描寫的狀

19、態(tài)稱為束縛態(tài)。2.6 2.6 一維無限深勢阱一維無限深勢阱（續(xù)續(xù)1010）（4 4）當(dāng)）當(dāng) 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時， ，即，即 具有具有負(fù)宇稱負(fù)宇稱（奇宇稱）。（奇宇稱）。 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時， ，即，即 具有具有正宇稱正宇稱（偶宇稱（偶宇稱) )。nn)()(xxnn)(xn)()(xxnn)(xn Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation192.7 2.7 線性諧振子線性諧振子 在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為 的粒子，受彈性力的粒子，受彈性力 作作用，由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動方程為：用，由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動

20、方程為：Fk x2220d xk xxxkdt其解為其解為 。這種運(yùn)動稱為簡諧振動，作這種運(yùn)這種運(yùn)動稱為簡諧振動，作這種運(yùn)動的粒子稱為（線性）諧振子。動的粒子稱為（線性）諧振子。sinxAt經(jīng)典允許的振動范圍經(jīng)典允許的振動范圍諧振子在運(yùn)動中能量守恒。諧振子在運(yùn)動中能量守恒。其能量是振幅的連續(xù)函數(shù)其能量是振幅的連續(xù)函數(shù)。 1.經(jīng)典諧振子經(jīng)典諧振子222122xpHmxm 諧振子哈密頓量：諧振子哈密頓量：引 言引 言 諧振子能量：諧振子能量：2212Em A Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation20 量子力學(xué)中的線性諧振子是指在勢場量

21、子力學(xué)中的線性諧振子是指在勢場 中運(yùn)動的質(zhì)量為中運(yùn)動的質(zhì)量為 的粒子的粒子 2221)(xxV2.2.量子諧振子量子諧振子 例如雙原子分子，兩原子間的勢例如雙原子分子，兩原子間的勢 是二者相對距離是二者相對距離 的函的函數(shù)，如圖所示。數(shù)，如圖所示。Vx 自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡諧振動。場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復(fù)雜運(yùn)動的初步近

22、似，所以簡諧振動的簡諧振動往往還作為復(fù)雜運(yùn)動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。x221212122pHkxm mmm2.7 2.7 線性諧振子線性諧振子（續(xù)續(xù)1 1） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation2122211( )( )()()1!2!x ax aVVV xV ax ax axx201()2Vk xa在在 處，有一極小處，有一極小值值 。在。在 附近，附近，勢可以展開成泰勒級數(shù)：勢可以展開成泰勒級數(shù)：x a0Vx aaxV(x)0V022x

23、aVkx記記若取若取 ，即平衡位置處于勢即平衡位置處于勢 點(diǎn)；并記點(diǎn)；并記 ，則，則00V 00V 2k 2212V xx2.7 2.7 線性諧振子線性諧振子（續(xù)續(xù)2 2）0( )V aV0 x aVx Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation22Hamilton operator 22222212xdxdH定態(tài)定態(tài)SchrSchrdingerdinger方程：方程： )()(21222222xExxdxd1. 1. SchrdingerSchrdinger方程方程（1） 改寫成改寫成0)(21222xxEdxd令令 E2（ 為待定常

24、數(shù)） （2） x,（3） 2.7 2.7 線性諧振子線性諧振子（續(xù)續(xù)3 3） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation23于是方程（于是方程（2 2）可寫成）可寫成0)(222dd（4 4） 2. 2. 方程的求解方程的求解當(dāng)當(dāng) 時，方程（時，方程（4 4）的漸近形式為）的漸近形式為 222dd（5 5） 方程（方程（5 5）在）在 處的有限解為處的有限解為 221)(e令方程（令方程（4 4）的解）的解 212( )( )He （6 6） 代入方程（代入方程（4 4）可得）可得 滿足的微分方程滿足的微分方程 )(H2.7 2.7 線

25、性諧振子線性諧振子（續(xù)續(xù)4 4） Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation24本征函數(shù)本征函數(shù): :2222!( )(2 )(1)(2 )( 1)(2 )!2nnnnnnnHn nn 用常微分方程的冪級數(shù)解法求厄密方程（用常微分方程的冪級數(shù)解法求厄密方程（7 7）滿）滿足有限性條件（足有限性條件（8 8）的有限解，可得厄密方程本征）的有限解，可得厄密方程本征值問題的本征值：值問題的本征值：( )H有限值, (- UEU0 0 情形情形1. 1. 定態(tài)薜定諤方程定態(tài)薜定諤方程0 aV(x) V0I II IIIE令令 12122mkE1

26、22022()mkE U2.8 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation36則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?0(0), 0(022222122axkdxdaxxkdxd分分區(qū)區(qū)取取解解112211123(0)(1)(0)(2)()(3)ikxikxik xik xikxikxAeA exBeB ex aCeC ex a 2. 2. 方程的求解方程的求解向右傳播的向右傳播的入射平面波入射平面波向左傳播的向左傳播的反射平面波反射平面波由左向右的透射波由左向右的透射波因因區(qū)無由右向左傳播區(qū)無由右向左傳播的平面波，故的平面波，

27、故0C 三式均三式均為兩個為兩個左右傳左右傳播的平播的平面波的面波的疊加疊加2.8 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation37 可得透射波振幅可得透射波振幅 及反射波振幅及反射波振幅 與入射波與入射波振幅振幅 間間的關(guān)系的關(guān)系CAA聯(lián)立這四個方程式，聯(lián)立這四個方程式，消除消除 與與BB102012002332( )()()()xxxxx ax ax ax adddxdxdddxdx由由波波函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性條條件件 A AB B1122k A k Ak B k B221ik aik aik aBeBe

28、Ce221221ik aik aikak Bek BekCeAekkekkekkCaikaikaik22122122121)()(4（4 4）2.8 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation38AekkekkakkkiAaikaik2222122122221)()(sin)(2（5 5）利用幾率流密度公式利用幾率流密度公式: :*()2iJm 求得入射波求得入射波 的幾率流密度的幾率流密度 xikAe121| AmkJ透射波透射波 的幾率流密度的幾率流密度 xikCe121|CmkJD反射波反射波 的幾率流密

29、度的幾率流密度 xikeA121| |RkJAm2.8 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation39 為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。3. 3. 透射系數(shù)和反射系數(shù)透射系數(shù)和反射系數(shù)透射透射系數(shù)系數(shù)222122222212221224sin)(4|kkakkkkkACJJDD（6 6）反射反射系數(shù)系數(shù)22 222122222 222212212|() sin|() sin4RJkkakA

30、RJAkkakk k（7 7）以上二式說明入射粒子一部分貫穿勢壘到以上二式說明入射粒子一部分貫穿勢壘到 的的IIIIII區(qū)域，另一部分則被勢壘反射回來。區(qū)域，另一部分則被勢壘反射回來。xa1DR表明粒子數(shù)守恒表明粒子數(shù)守恒2.8 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation40（2 2）EUEU0 0情形情形122022()mkE U 是虛數(shù)是虛數(shù) 23kik令令21023)(2EUmk是實數(shù)是實數(shù)其中在在(4)(4)和和(6)(6)式中，把式中，把 換為換為 ，得到，得到2k3ik透射波振幅透射波振幅: : 1

31)2ik aikk eCAkkshakikkchak（8 8）2.8 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation41透射系數(shù)透射系數(shù): : 2213222222133134()4k kDkksh akk k（9 9）隧道效應(yīng)隧道效應(yīng) （tunnel effecttunnel effect） 粒子能夠穿透比它粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象動能更高的勢壘的現(xiàn)象稱為稱為隧道效應(yīng)隧道效應(yīng). .它是粒它是粒子具有波動性的生動表子具有波動性的生動表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定

32、條件下才比較顯在一定條件下才比較顯著。右圖給出了勢壘穿著。右圖給出了勢壘穿透的波動圖象。透的波動圖象。此結(jié)果表明，即使此結(jié)果表明，即使 ，透射系數(shù)透射系數(shù) 一般不等于零。一般不等于零。0EUD0 aV(x)V0入射波入射波+反射波反射波透射波透射波x2.8 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation4233333222311,24k ak ak ak ak aeeshkaeee當(dāng)當(dāng) 很小，或很小，或 ，而，而 又不太小時，有又不太小時，有 ，則則E0UEa31ak討 論討 論于是于是0322 ()200am U

33、Ek aD DeDe（1010）式式(9)(9)化成化成3231314144k aDkkekk1.1.低能粒子穿透低能粒子穿透因因 與與 同數(shù)量級，同數(shù)量級， 則則 故故4可忽略可忽略13ak432ake1k3k2.8 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿2031023101616E UEkkDkkU表明表明 隨壘寬隨壘寬 和和壘高壘高 的增大而的增大而成指數(shù)減小。成指數(shù)減小。a0UD Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation43 2.2.任意形狀的勢壘任意形狀的勢壘可把任意形狀的勢壘分割成可把任意形狀的勢壘分割成許許 多小勢壘，這些小勢壘可多小

34、勢壘，這些小勢壘可以近以近 似用方勢壘處理。似用方勢壘處理。dxExVeDD)(202 對每一小方勢壘透射系數(shù)對每一小方勢壘透射系數(shù)E0 a bV(x)dxx2.8 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿dxExVbaeDD)(202 則貫穿整個勢壘的則貫穿整個勢壘的 透射系數(shù)等于貫穿這些小方透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢壘透射系數(shù)之積，即勢壘透射系數(shù)之積，即此式的推導(dǎo)雖不太嚴(yán)此式的推導(dǎo)雖不太嚴(yán)格，但該式與嚴(yán)格推格，但該式與嚴(yán)格推導(dǎo)的結(jié)果一致。導(dǎo)的結(jié)果一致。 Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation444.4.應(yīng)用實例應(yīng)用實例 19621962年年,

35、,JosephsonJosephson發(fā)現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)了JosephsonJosephson節(jié)。將兩塊超節(jié)。將兩塊超導(dǎo)體用一絕緣層隔開導(dǎo)體用一絕緣層隔開, ,如果絕緣層較厚如果絕緣層較厚, ,電流則不易通電流則不易通過絕緣層。但如果絕緣層夠薄，則超導(dǎo)體中的也庫珀過絕緣層。但如果絕緣層夠薄，則超導(dǎo)體中的也庫珀電子對按一定幾率穿透絕緣層形成電流。電子對按一定幾率穿透絕緣層形成電流。JosephsonJosephson節(jié)是宏觀量子隧道效應(yīng)的一個典型例子節(jié)是宏觀量子隧道效應(yīng)的一個典型例子 量子力學(xué)提出后，量子力學(xué)提出后，Gamow Gamow 首先用勢壘穿透成功的首先用勢壘穿透成功的說明了放射性元素的說明了

36、放射性元素的衰變現(xiàn)象。衰變現(xiàn)象。2.8 2.8 勢壘貫穿勢壘貫穿 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)在固體物理學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用，它已在固體物理學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用，它已經(jīng)用來制造一些不同種類的電子器件。經(jīng)用來制造一些不同種類的電子器件。 掃描隧道顯微鏡掃描隧道顯微鏡就是利用穿透勢壘的電流對于金屬就是利用穿透勢壘的電流對于金屬探針尖端同待測物體表面的距離很敏感的關(guān)系，可以探針尖端同待測物體表面的距離很敏感的關(guān)系，可以探測到探測到 量級高低起伏的樣品表面的量級高低起伏的樣品表面的“地形圖地形圖”1110m Chapter 2The wave function and Schrdinger Equation45例例1: 1: 入射粒子為電子。入射粒子為電子。設(shè)設(shè) E=1eV, U0 = 2eV, a = 2 10-8 cm = 2， 算得算得 D 0.51。若若a=5 10-8cm = 5 則則 D 0.024，可見可見 透射系數(shù)迅速減小。透射系數(shù)迅速減小。若若a=5 10-8cm = 5 ， 則則 D 0.024，可見可見 透射系數(shù)迅速減小。透射系數(shù)迅速減小。 質(zhì)子與電子質(zhì)量比質(zhì)子與電子質(zhì)量比 p/e 1840。 對于對于a = 2 則則 D 2 10-38。 可見透射系數(shù)明顯的依賴于可見透