圖像處理課件-chapter6

1、(數(shù)字?jǐn)?shù)字)圖像處理圖像處理(Digital) Image Processing 第第6章章 圖像重建圖像重建6.1 計(jì)算機(jī)斷層掃描技術(shù)計(jì)算機(jī)斷層掃描技術(shù)6.2 投影定理投影定理6.3 傅立葉投影定理傅立葉投影定理6.4 卷積逆投影重建卷積逆投影重建6.5 代數(shù)重建代數(shù)重建6.6 三維圖像重建的體繪制三維圖像重建的體繪制發(fā)射斷層成像系統(tǒng)發(fā)射斷層成像系統(tǒng)反射斷層成像系統(tǒng)反射斷層成像系統(tǒng)透射式斷層掃描成像系統(tǒng)透射式斷層掃描成像系統(tǒng)發(fā)射斷層成像：發(fā)射斷層成像： 發(fā)射源在物體內(nèi)部，將具有放射性的離發(fā)射源在物體內(nèi)部，將具有放射性的離子（放射元素）注入物體內(nèi)部，在物體子（放射元素）注入物體內(nèi)部，在物體外部

2、檢測其經(jīng)過物體吸收之后放射量外部檢測其經(jīng)過物體吸收之后放射量。發(fā)射投影成像發(fā)射投影成像 如，正電子發(fā)射成像（如，正電子發(fā)射成像（PET：Positron Emission Tomography） 采用在衰減時(shí)放出正電子的放射性離子，放出的采用在衰減時(shí)放出正電子的放射性離子，放出的正電子很快與負(fù)電子相撞湮滅而產(chǎn)生一對相背運(yùn)正電子很快與負(fù)電子相撞湮滅而產(chǎn)生一對相背運(yùn)動的光子。動的光子。 相對放置的兩個(gè)檢測器接收到這兩個(gè)光子就可以相對放置的兩個(gè)檢測器接收到這兩個(gè)光子就可以確定一條射線，確定一條射線， 檢測器圍繞物體呈環(huán)形分布，檢測器圍繞物體呈環(huán)形分布， 相對的兩個(gè)檢測器構(gòu)成一組檢測器對，檢測由一相對

3、的兩個(gè)檢測器構(gòu)成一組檢測器對，檢測由一對正負(fù)電子產(chǎn)生的光子。對正負(fù)電子產(chǎn)生的光子。 正電子負(fù)電子光子光子PETPET成像系統(tǒng)示意圖成像系統(tǒng)示意圖檢測器檢測器反射斷層成像：反射斷層成像：將入射信號（通常是單色平面波）入射到將入射信號（通常是單色平面波）入射到物體上，通過檢測經(jīng)物體散射（反射）后物體上，通過檢測經(jīng)物體散射（反射）后的信號強(qiáng)度來重建的信號強(qiáng)度來重建。射線投影成像的基本原理：射線投影成像的基本原理： 人體組織對人體組織對X射線吸收和散射，造成衰減，射線吸收和散射，造成衰減， 人體內(nèi)的不同結(jié)構(gòu)，比如脂肪、胰、骨骼對人體內(nèi)的不同結(jié)構(gòu)，比如脂肪、胰、骨骼對X射線吸收能力有所不同。射線吸收能力

4、有所不同。入射線入射線 組織對射線的吸收組織對射線的吸收散射線散射線散射線散射線透射投影成像，透射投影成像， 圖圖6.2表示等強(qiáng)度的射線透過不同密度分布時(shí)表示等強(qiáng)度的射線透過不同密度分布時(shí)的情況，的情況， 每塊上的數(shù)字表示每塊的密度或衰減，總的衰每塊上的數(shù)字表示每塊的密度或衰減，總的衰減是疊加的，減是疊加的， 其中一條射線束通過均勻密度物質(zhì)的厚塊，另其中一條射線束通過均勻密度物質(zhì)的厚塊，另一射線通過不等密度的厚塊組合，但檢測器的一射線通過不等密度的厚塊組合，但檢測器的記錄相同，記錄相同， 因此，投影重建時(shí)需要一系列投影才能重建二因此，投影重建時(shí)需要一系列投影才能重建二維圖像。維圖像。 10 投

5、影重建是利用人體投影重建是利用人體(物體物體)對射線的能量吸對射線的能量吸收衰減作用收衰減作用,不同密度的組織具有不同的吸不同密度的組織具有不同的吸收能力。收能力。入射線6222入射線6141入射線少透射高密度體高密度體多透射入射線低密度體低密度體等強(qiáng)度射線穿透不同組織的情況等強(qiáng)度射線穿透不同組織的情況116.1 計(jì)算機(jī)斷層掃描技術(shù)計(jì)算機(jī)斷層掃描技術(shù)CT掃描成像示意圖掃描成像示意圖掃描 CTCT掃描成像的示意圖掃描成像的示意圖計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)準(zhǔn)直器X X射線管射線管視頻監(jiān)視器視頻監(jiān)視器測量電路檢測器12第一代第一代CT單個(gè)探測器單個(gè)探測器平移旋轉(zhuǎn)平移旋轉(zhuǎn)并行光光束并行光光束 (From G. Wa

6、ng)13第二代第二代CT多個(gè)探測器多個(gè)探測器平移旋轉(zhuǎn)平移旋轉(zhuǎn)小扇形光束小扇形光束(From G. Wang)14第三代第三代CT多個(gè)探測器多個(gè)探測器平移旋轉(zhuǎn)平移旋轉(zhuǎn)大扇形光束大扇形光束(From G. Wang)15CT一次平移掃描所獲得的輸出信號一次平移掃描所獲得的輸出信號CT一次平移掃描所獲得的輸出信號一次平移掃描所獲得的輸出信號光電倍增管輸出電信號光電倍增管輸出電信號檢測點(diǎn)位檢測點(diǎn)位置置信號電流信號電流X檢測器檢測器平移接收平移接收X射線管射線管平移掃描平移掃描CT機(jī)對人體腹部的平移運(yùn)動機(jī)對人體腹部的平移運(yùn)動受受檢檢組組織織X射線射線16第第1 1次平移次平移頭顱頭顱CTCT掃描成像示

7、意圖掃描成像示意圖X X射線管射線管X X檢測器檢測器旋 轉(zhuǎn)第29次平移17第四代第四代CT環(huán)形探測器環(huán)形探測器發(fā)射源旋轉(zhuǎn)發(fā)射源旋轉(zhuǎn)大扇形光束大扇形光束(From G. Wang)18第三和第四代第三和第四代CT(From Picker)(From Siemens)19CT 掃描儀掃描儀掃描速度掃描速度: 50, 100 ms掃描厚度掃描厚度: 1.5, 3, 6, 10 mm(From Imatron)20Filter數(shù)據(jù)獲取系統(tǒng)數(shù)據(jù)獲取系統(tǒng) (DAS)SourceDetectorPre-CollimatorPost-CollimatorPatientScattering(From G. W

8、ang)21數(shù)據(jù)獲取系統(tǒng)數(shù)據(jù)獲取系統(tǒng)(DAS)X-ray TubeDetectorsCT Gantry(From Siemens)FilterSourceDetector(From G. Wang)22醫(yī)學(xué)影像領(lǐng)域：醫(yī)學(xué)影像領(lǐng)域： Computed Tomography(CT)：獲：獲1979年諾貝爾獎（年諾貝爾獎（Nobel Price） 布爾赫、珀塞爾，獲布爾赫、珀塞爾，獲1952年諾貝年諾貝爾獎，發(fā)現(xiàn)了核磁共振現(xiàn)象爾獎，發(fā)現(xiàn)了核磁共振現(xiàn)象 勞特布爾（美）、勞特布爾（美）、P曼斯菲爾德曼斯菲爾德（英）獲（英）獲2003年年諾貝爾獎，核年年諾貝爾獎，核磁共振的研究磁共振的研究（英）（英）G.

9、N.Hounsfield（美）（美）Allan M. Cormack236.2 投影定理投影定理一個(gè)一個(gè)N維函數(shù)維函數(shù)f(x1,x2,x3,xN)在第在第N1維維上的映射稱為函數(shù)上的映射稱為函數(shù)f在第在第N-1維的投影。維的投影。在簡單的二維情況下，函數(shù)在簡單的二維情況下，函數(shù)f(x,y)在在x軸上軸上（沿（沿y方向）和在方向）和在y軸上（沿軸上（沿x方向）的投方向）的投影可分別表示為影可分別表示為 : dyy, xfxgy dxy, xfygx24 設(shè)設(shè)f(x,y)的傅立葉變換為的傅立葉變換為F(u,v)，則根據(jù)傅，則根據(jù)傅立葉反變換式可知：立葉反變換式可知：dudvvyuxjvuFyxf

10、2exp,),(25把把f(x,y)傅立葉變換代入傅立葉變換代入： dydudvvyux2 jexpv, uFxgy dyvyjdudvuxjvuF2exp2exp, dudvvuxjvuF2exp, duuxjdvvvuF2exp,duuxjuF2exp0 ,26 上式表明上式表明g gy y(x)(x)是是F(u,0)F(u,0)的傅立葉反變換的傅立葉反變換?；蛘哒f?；蛘哒fg gy y(x)(x)的傅立葉變換的傅立葉變換G(u)G(u)與與F(u,0)F(u,0)相同。由此可知，函數(shù)相同。由此可知，函數(shù)f(x,y)f(x,y)在在x x軸上投影的傅立葉變換等于軸上投影的傅立葉變換等于f(x

11、,y)f(x,y)的傅的傅立葉變換在立葉變換在(u,v)(u,v)平面上沿平面上沿u u軸平面上的軸平面上的切片。切片。 27沿沿y y軸的投影圖示軸的投影圖示沿沿y軸的的投影示意圖軸的的投影示意圖f(x,y)(a) 二維函數(shù)二維函數(shù)f(x,y)在在x軸上投影軸上投影yxgy(x) (b) f(x,y)傅立葉變換傅立葉變換F(u,v)在在u 軸上切片軸上切片F(xiàn)(u,v)vuF(u,0)28假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)f(x,y)投影到一條經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的直投影到一條經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的直線上線上t1，t是一條與是一條與t1平行經(jīng)過原點(diǎn)的直線平行經(jīng)過原點(diǎn)的直線，與，與t垂直經(jīng)過原點(diǎn)的直線為垂直經(jīng)過原點(diǎn)的直線為s，該直線，該

12、直線s與與x軸的夾角為軸的夾角為，直線，直線t1離開原點(diǎn)的距離離開原點(diǎn)的距離為為s1 29cosysinxtsinycosxs坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)關(guān)系坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)關(guān)系tyxst1s1s1=xcos+ ysin30函數(shù)f(x,y)沿著s方向(在t1軸上)的投影為tsdtyxfsg,1 31111111122,( , )exp(2)( , )sxp(2)( , )exp2(cossin )(cossin) ( , )exp2 (cossin )( cos , siG rg sjrs dsf x y dtjrs dsssxyf x yjr xRydxdyttxyf x yjxryrdxdyF rr n )1( ,

13、)exp2()( , )sxp2()( , )f x yjr xuyv dxdyf x yjr xuyv dxdyF u v ( , )( cos , sin )( , )G rF rrF u v32 上式表明，上式表明，f(x,y)在一條與在一條與x軸夾角為軸夾角為，離開原點(diǎn)距離為離開原點(diǎn)距離為r的直線上的投影的傅立的直線上的投影的傅立葉變換等于二維傅立葉變換在與葉變換等于二維傅立葉變換在與u軸成軸成方向上的切片，這就是投影定理，也稱方向上的切片，這就是投影定理，也稱之為切片定理。之為切片定理。 33 投影定理示意圖投影定理示意圖f (x,y)yx vuF(u,v)F(r,)ts 34dxd

14、yvyux2 jexpdzz , y, xf0 , v, uF dxdyvyux2 jexpy, xgzdzz, y, xfy, xgz其中356.3 傅立葉投影重建傅立葉投影重建 傅立葉投影重建的基礎(chǔ)就是傅立葉投影定理。傅立葉投影重建的基礎(chǔ)就是傅立葉投影定理。 根據(jù)投影定理，如果能將不同角度1,2, n得到的投影值進(jìn)行傅立葉變換，就可以得到F(u,v)分別在相應(yīng)角度位置上的切片。當(dāng)切片趨向無窮多，即取無窮多個(gè)投影時(shí)，就可獲得在 (u,v)平面上的所有F(u,v)值，從而進(jìn)行傅立葉反變換就可以重建圖像f(x,y)。36sdsy, xf,gdR2 jexp,g,RG 200RdRdsinycos

15、xR2 jexp,RGy, xf37 0dRdsinycosxR2 jexp,RGRy, xfdRsinycosxR2 jexp,RGR; y, xfd; y, xfy, xf038由此可得，用傅立葉變換法重建圖像的步驟如下： 根據(jù)式（6.12）或式（6.18）對N個(gè)不同方向上投影進(jìn)行一維傅立葉變換。 在傅立葉變換空間從極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)插值。 利用式（6.15）或離散形式的傅立葉頻譜進(jìn)行反變換得到重建圖像。396.4 卷積逆投影重建卷積逆投影重建卷積逆投影重建法：以投影切片定理為基礎(chǔ)；卷積逆投影重建法：以投影切片定理為基礎(chǔ)；傅立葉變換重建法：計(jì)算量比較小，但要二維傅立葉變換重建法：計(jì)算量比較小

16、，但要二維插值，在射電天文學(xué)研究中得到應(yīng)用廣泛；插值，在射電天文學(xué)研究中得到應(yīng)用廣泛；卷積逆投影法：能快速實(shí)現(xiàn)，噪聲較小時(shí)可重卷積逆投影法：能快速實(shí)現(xiàn)，噪聲較小時(shí)可重建出準(zhǔn)確清晰的圖像，在建出準(zhǔn)確清晰的圖像，在X射線射線CT成像中應(yīng)用成像中應(yīng)用廣泛。廣泛。 40在計(jì)算投影的一維傅立葉變換在計(jì)算投影的一維傅立葉變換F(R,)時(shí)，時(shí)，R為頻域極軸為頻域極軸變量。投影數(shù)據(jù)變量。投影數(shù)據(jù)g(,)總是被有限截?cái)唷．?dāng)總是被有限截?cái)?。?dāng)?shù)娜娱g的取樣間隔為隔為d時(shí)，在頻率時(shí)，在頻率R的變化范圍將是的變化范圍將是-d/2d/2，于是投，于是投影切片定理可近似寫成影切片定理可近似寫成:12102,exp2cos

17、sinddf x yR F RjR xydRd 1212( )exp( 2)ddhRjRdR cossinxy1212cossinexp2cossinddh xyRjR xydR因?yàn)橐驗(yàn)?，上式記：，上式記：41由由(6.15)可知：可知：0( , )( , , )f x yf x yd 121212121212, ;,exp2cossin,exp2exp2cossin,exp2cossin,cossinddddddfx yR F RjR xydRRgjRdjR xydRgRjR xydRdgh xyd 卷積逆投影法重建圖像為卷積逆投影法重建圖像為：42由式（由式（6.21）可知，右邊正是投影

18、數(shù)據(jù)）可知，右邊正是投影數(shù)據(jù)g(,)與脈沖響應(yīng)與脈沖響應(yīng)h()所表示的濾波器的卷積，所表示的濾波器的卷積，h()為卷積函數(shù)。為卷積函數(shù)。求求f (x,y,) 則是在則是在角方向上卷積了的投影，角方向上卷積了的投影，因此從式（因此從式（6.22）求）求f (x,y)可被認(rèn)為是求逆投可被認(rèn)為是求逆投影過程，即卷積逆投影重建法。影過程，即卷積逆投影重建法。43式（式（6.20）所表示的）所表示的h()正是頻率響應(yīng)為正是頻率響應(yīng)為|R|的的濾波器，如下圖所示，通常稱為重建濾波器。濾波器，如下圖所示，通常稱為重建濾波器。由此可知，卷積逆投影重建的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)重建由此可知，卷積逆投影重建的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)重建濾波

19、器。下面簡單介紹重建濾波器的設(shè)計(jì)。濾波器。下面簡單介紹重建濾波器的設(shè)計(jì)。對式對式(6.20)求積分：求積分： 122122sin()sin (2)1()exp( 2)222ddddhRjRdRddd 44在離散情況下，重建濾波器被有限截?cái)?，設(shè)在離散情況下，重建濾波器被有限截?cái)啵O(shè)在在的變化范圍內(nèi)，對其取的變化范圍內(nèi)，對其取M點(diǎn)，采樣間隔點(diǎn)，采樣間隔為為d，即，即= md， 。21Mm456.5 代數(shù)重建代數(shù)重建投影重建的傅立葉變換法和濾波器逆投影都在投影重建的傅立葉變換法和濾波器逆投影都在變換域（頻率域）內(nèi)處理；變換域（頻率域）內(nèi)處理；這兩種方法都在連續(xù)域內(nèi)進(jìn)行解析處理，為便這兩種方法都在連續(xù)

20、域內(nèi)進(jìn)行解析處理，為便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，引入離散化和有限近似。于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，引入離散化和有限近似。代數(shù)重建技術(shù)則是屬于另一類方法，也稱為級代數(shù)重建技術(shù)則是屬于另一類方法，也稱為級數(shù)展開法，它是一種逐次逼近的迭代算法。數(shù)展開法，它是一種逐次逼近的迭代算法。46代數(shù)重建法：代數(shù)重建法： 需要在重建的目標(biāo)上加一柵格，將目標(biāo)劃分為許需要在重建的目標(biāo)上加一柵格，將目標(biāo)劃分為許多等大小的體積單元，多等大小的體積單元， 計(jì)算每個(gè)體元的衰減系數(shù)，計(jì)算每個(gè)體元的衰減系數(shù)， 寫成矩陣形式如下：寫成矩陣形式如下：Y = AX ； 在許多位置，射線束只是部分地通過一些體元。在許多位置，射線束只是部分地通過一些體元。47代

21、數(shù)法重建：切片柵格小體積元（小立方體）代數(shù)法重建：切片柵格小體積元（小立方體）掃描重建柵格掃描重建柵格48迭代方法來求解式迭代方法來求解式(6.26)的基本思想：的基本思想：根據(jù)物體已有的先驗(yàn)知識，先對未知圖像的各像素都根據(jù)物體已有的先驗(yàn)知識，先對未知圖像的各像素都賦予一個(gè)初始估值，賦予一個(gè)初始估值，利用這些假設(shè)數(shù)據(jù)去計(jì)算各射線穿過對象時(shí)可能得到利用這些假設(shè)數(shù)據(jù)去計(jì)算各射線穿過對象時(shí)可能得到的投影值的投影值,將算得的值和實(shí)測投影值進(jìn)行比較，按照差異獲得一將算得的值和實(shí)測投影值進(jìn)行比較，按照差異獲得一個(gè)修正值，個(gè)修正值，根據(jù)這些修正值，修正各對應(yīng)射線穿過的諸像素值，根據(jù)這些修正值，修正各對應(yīng)射線

22、穿過的諸像素值，如此反復(fù)迭代，直到計(jì)算值和實(shí)測值接近所要求的精如此反復(fù)迭代，直到計(jì)算值和實(shí)測值接近所要求的精度為止。度為止。49具體實(shí)施步驟如下： (1)對于未知圖像各像素均給予一個(gè)假定的初始值，從而得到一幅初始計(jì)算圖像，如設(shè)各像素的初始值均為0。 (2)根據(jù)假設(shè)圖像，求對應(yīng)第i條射線穿過時(shí)，各體單元應(yīng)得到的各個(gè)相應(yīng)投影值Z1*，Z2*，Zn*。 (3)將計(jì)算值Z1*，Z2*，Zn*和對應(yīng)的實(shí)測值Z1，Z2，Zn進(jìn)行比較，然后取對應(yīng)差值Zi=ZiZi* 作為修正值。50 (4)用每條射線的修正值來修正和該射線相交的諸像素值。 (5)用修正后的像素值重復(fù)(1)(4)步，直到計(jì)算值和實(shí)測值之差，即修正值小到所允許