高數(shù)B第一章-5課件

1、高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回溫故而知新溫故而知新什么是水平漸近線？還有什么樣什么是水平漸近線？還有什么樣的漸近線？的漸近線？高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回回顧回顧1.函數(shù)極限的四則運算法則函數(shù)極限的四則運算法則定理一及推論的使用基礎：極限存在。定理一及推論的使用基礎：極限存在。對有理函數(shù)，不涉及分母極限為零時，定對有理函數(shù)，不涉及分母極限為零時，定理一及推論的使用。（代入）理一及推論的使用。（代入）對有理函數(shù)，當分母極限為零時，定理一對有理函數(shù)，當分母極限為零時，定理一及推論的使用。及推論的使用。對有理函數(shù)，當對有理函數(shù)，當,時時 x極限的計算。極限的計算。高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回2.函數(shù)極

2、限的復合運算法則函數(shù)極限的復合運算法則3.兩個重要極限兩個重要極限0sinlim1uuu e1lim 1uuu e10lim 1uuu 或或或或？高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回 第一章 二、二、 無窮小的比較無窮小的比較 三三 、無窮大量、無窮大量一、一、 無窮小量無窮小量 第四節(jié) 無窮小量與無窮大量下頁高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜?shù)母傎惏⒒锼故枪畔ＥD神話中善跑的英雄。在他和烏龜?shù)母傎愔?，烏龜在前面跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜。中，烏龜在前面跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜?因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發(fā)點，因為在競賽中，追者首

3、先必須到達被追者的出發(fā)點，當阿基里斯追到烏龜?shù)牡钠瘘c時，烏龜已經又向前爬了一當阿基里斯追到烏龜?shù)牡钠瘘c時，烏龜已經又向前爬了一定的距離，于是，一個新的起點產生了；阿基里斯必須繼定的距離，于是，一個新的起點產生了；阿基里斯必須繼續(xù)追，而當他追到烏龜這個新的起點時，烏龜又已經向前續(xù)追，而當他追到烏龜這個新的起點時，烏龜又已經向前爬了一段距離，阿基里斯只能再追向那個更新的起點。就爬了一段距離，阿基里斯只能再追向那個更新的起點。就這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之這樣，烏龜會制造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間制造出一個距離，不管這個距離有多小，但只要烏龜不間制造出一個距離，不管這

4、個距離有多小，但只要烏龜不停的奮力向前爬，阿基里斯就永遠也追不上烏龜！停的奮力向前爬，阿基里斯就永遠也追不上烏龜！芝諾悖論芝諾悖論高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回一一、無窮小量、無窮小量 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)當當xx0(或或x)時的極限為零時的極限為零 那么稱函數(shù)那么稱函數(shù)f(x)為當為當xx0(或或x)時的無窮小時的無窮小 1.無窮小的定義無窮小的定義 很小很小的數(shù)是否是無窮?。亢苄『苄〉臄?shù)是否是無窮?。刻崾咎崾?無窮小是這樣的函數(shù)無窮小是這樣的函數(shù) 在在xx0(或或x)的的過程中過程中 極限為零極限為零 很小很小的數(shù)很小很小的數(shù) 作為常數(shù)函作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過程中數(shù)在自變量的任

5、何變化過程中 其極限就是這其極限就是這個常數(shù)本身個常數(shù)本身 討論 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回例1 因為01limxx 所以函數(shù)因為因為0) 1(lim1 - -xx 所以函數(shù)所以函數(shù)為為x- -1當當 x1 時時的的無窮小無窮小 因為因為011lim nn 所以函數(shù)所以函數(shù)x1為為當當 x 時時的的無窮小無窮小 所以數(shù)列所以數(shù)列11 n為為當當 n 時時的的無窮小無窮小 但是函數(shù)但是函數(shù)在在x1時時不是不是無窮小無窮小 x1x- -1但是函數(shù)但是函數(shù)當當x1 1時時不是不是無窮小無窮小 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回思思考考題題 下下面面說說法法是是否否正正確確 1 1、無無窮窮小小是是比比任

6、任何何數(shù)數(shù)都都小小的的數(shù)數(shù)。2 2、無無窮窮小小是是最最小小的的數(shù)數(shù)。3 3、無無窮窮小小就就是是0 0。4 4、0 0是是無無窮窮小小。高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回2、無窮小與函數(shù)極限的關系、無窮小與函數(shù)極限的關系:證明證明 必要性必要性充分性充分性 )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 定理定理 1),()(xAxf )(lim0Axfxx 其中其中 )(x 是當是當 0 xx 時的無窮小時的無窮小 .,)(lim0Axfxx 設設 ,)()(Axfx- - 令令 , 0)(lim0 xxx則有則有 ).()(xAxf ),()(xAxf 設設 ,時

7、的無窮小時的無窮小 )(0是當是當 其中其中 xxx 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回證明證明: 設設 及及 是當是當xx0時的兩個無窮小時的兩個無窮小 則則 0 1 0 當當0 |x- -x0| 1 時時 有有| | 2 0 當當0 |x- -x0| 2 時時 有有| | 取取 min 1 2 則當則當0 |x- -x0| 時時 有有 這說明這說明 也是當也是當xx0時的無窮小時的無窮小 | | | | | | 2 定理定理2 有限個無窮小的和與積也是無窮小有限個無窮小的和與積也是無窮小 、無窮小的性質、無窮小的性質 僅就兩個僅就兩個xx0時的無窮小之和證明時的無窮小之和證明 高等數(shù)學高等數(shù)學下

8、頁結束返回 設函數(shù)設函數(shù)u在在x0的某一去心鄰域的某一去心鄰域x|0 |x- -x0| 1內有界內有界 即即 M 0 使當使當0 |x- -x0| 1時時 有有|u| M 又設又設 是當是當xx0時的無窮小時的無窮小 即即 0 存在存在 2 0 使當使當0 |x- -x0| 2時時 有有| | 取取 min 1 2 則當則當0 |x- -x0| 時時 有有 |u | |u| | | M 這說明這說明u 也是當也是當xx0時的無窮小時的無窮小 證明證明 定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回推論推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)

9、與無窮小的乘積是無窮小 oyx例1. 求求.sinlimxxx解: 1sinx01limxx利用定理利用定理2 2，可知，可知 .0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是是 xxysin的水平漸近線的水平漸近線. . 第一個重要極限？第一個重要極限？高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回思考題思考題1 1、無無限限多多個個無無窮窮小小之之和和是是否否還還是是無無窮窮小??？（不一定）（不一定）2 2、兩兩個個無無窮窮小小之之商商是是否否是是無無窮窮小??？（不一定）不一定）例1).12111(lim222nnnnn 求求高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回二、二、無窮小的比較無窮小的比較（一）無

10、窮小階的比較無窮小階的比較（二）等價代換等價代換高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回v觀察與比較觀察與比較觀察兩個無窮小比值的極限觀察兩個無窮小比值的極限 兩個無窮小比值的極限的各種不同情況兩個無窮小比值的極限的各種不同情況 反映了不同的無窮小趨于零的反映了不同的無窮小趨于零的“快慢快慢”程程度度 03lim20 xxx 203limxxx 1sinlim0 xxx （一）無窮小階的比較無窮小階的比較高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回v無窮小的階設設 及及 為為同一個自變量的變化過程中的無窮小同一個自變量的變化過程中的無窮小 如果如果0lim 就說就說 是比是比 高階的無窮小高階的無窮小 記為記為 o( )

11、 如果如果 lim 就說就說 是比是比 低階的無窮小低階的無窮小 如果如果0lim c 就說就說 與與 是同階無窮小是同階無窮小 如果如果1lim 就說就說 與與 是等價無窮小是等價無窮小 記為記為 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回v舉例所以當所以當x0時時 3x2是比是比x高階的無窮小高階的無窮小 例3 例2 因為因為03lim20 xxx 即即3x2 o(x)(x0) 因為因為 211limnnn 所以當所以當 n 時時 n1是比是比21n低階的無窮小低階的無窮小 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回所以當所以當x0時時 sin x 與與x是等價無窮小是等價無窮小 例5 所以當所以當x3時時 x2-

12、-9與與x- -3是同階無窮小是同階無窮小 例4 因為因為639lim23 - - -xxx 因為因為1sinlim0 xxx 即即sin xx(x0) 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回v關于等價無窮小的定理 定理5 設設 且且 lim存在存在 則則 limlim 定理4 )()()()()(xoxxxx 的高階無窮小。的高階無窮小。是是)()()()()(xxxxx- - 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回 求兩個無窮小比值的極限時求兩個無窮小比值的極限時 分子及分母都可分子及分母都可用等價無窮小來代替用等價無窮小來代替 因此因此 如果用來代替的無如果用來代替的無窮小選取得適當窮小選取得適當 則可使計

13、算簡化則可使計算簡化 定理5的意義:解 當當x0時時 tan 2x2x sin 5x5x 所以所以 例6 求求xxx5sin2tanlim0 xxx5sin2tanlim052 52lim0 xxx 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回解 例7 3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx 求求xxxx3sinlim30 當當x0時時sin xx 無窮小無窮小x3 3x與它本身

14、顯然與它本身顯然 是等價的是等價的 所以所以 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回xxxx30sinsintanlim- -21lim22210 xxx?sinsintanlim30 - -xxxx例例8解解xxx20sincos1lim- - xxxxcos1sincos1lim20 - - 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回0limsinsintanlim3030 - - - -xxxxxxxxxxxxxsin,tan,0時時當當 討論：討論：?sinsintanlim30 - -xxxx例例8乘法或除法乘法或除法運運注意：無窮小的替換，在注意：無窮小的替換，在中常用，但在加中常用，但在加算算減運算中慎

15、用。減運算中慎用。高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回.111xnxn- - .arcsin,tan,sinxxxxxx,2cos12xx- -,)1ln(,1xxxex - -)0 xxx注意：將上述結論中所有 換成（當（時，仍成立。等價無窮小：等價無窮?。簳r時, ,有下列常用的一些有下列常用的一些當0 x高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回2303sinlimsin2xxxxx-2013sincoslim(1 cos )ln(1)xxxxxx201sin1lim1xxxxe-03limsin2xxx03sinlim(1 cos )xxx x201sin2limxxxx高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回22sin

16、sinlimxaxaxa-思考與練習(sinsin )(sinsin )lim-xaxaxaxa2sincos(sinsin )22lim-xaxaxaxaxasin2limcos(sinsin )22-xaxaxaxaxasin2a高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回limsinnnnlimnnn0高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回三三、無窮大量、無窮大量 如果當如果當xx0(或或x)時時 對應的函數(shù)值的絕對應的函數(shù)值的絕對值對值|f(x)|無限增大無限增大 那么稱函數(shù)那么稱函數(shù)f(x)為為xx0(或或x)時的無窮大時的無窮大 記為記為 . .無窮大的定義無窮大的定義 )(lim0 xfxx(或)(lim

17、xfx) 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回討論：討論：無窮大的精確定義如何敘述？很大很大無窮大的精確定義如何敘述？很大很大的數(shù)是否是無窮大的數(shù)是否是無窮大?精確定義 )(lim0 xfxxM0 0 當0|x-x0| 時有| f(x)|M 說明: 當當xx0(或或x)時為無窮大的函數(shù)時為無窮大的函數(shù)f(x) 按函數(shù)極限定義來說按函數(shù)極限定義來說 極限是不存在的極限是不存在的 但為了但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài)便于敘述函數(shù)的這一性態(tài) 我們也說我們也說“函數(shù)的極函數(shù)的極限是無窮大限是無窮大” 高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回正無窮大與負無窮大 )(lim)( 0 xfxxx-)(lim)( 0 xfxxx例

18、如例如, , xxtanlim2 - xxtanlim2 - -xxtanlim2 - xxlnlim02limxxe xxelim高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回注意注意:1).無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;2). 函數(shù)為無窮大函數(shù)為無窮大 , 必定無界必定無界 . 但反之不真但反之不真 !例如例如, ,函數(shù)函數(shù)),(,cos)( - xxxxf )2( nf)( n n2但但0)(2 nf所以所以x時時 , ,)(xf不是無窮大不是無窮大! !oxyxxycos高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回v鉛直漸近線 11-xy1形的鉛直漸近線形的鉛直漸近線 例9 證明： 當當0 |x- -1| 時時 有有 鉛直漸近線鉛直漸近線水平漸近線水平漸近線證明證明 - -11lim1xx 因為因為 M 0 M1 所所 以以 - -11lim1xx Mx - -|11| 如果如果 )(lim0 xfxx則稱直線則稱直線 0 xx是函數(shù)是函數(shù) y f(x)的圖的圖 x=1高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回21( )f xx 鉛直漸近線是鉛直漸近線是直線直線x=0高等數(shù)學高等數(shù)學下頁結束返回若若)(xf為無窮大為無窮大, )(1xf為無窮小為無窮小;若若)(xf為無窮小為無窮小, 且且 ,0)(