晶體的對稱性

1、第五節(jié)第五節(jié) 晶體的對稱性晶體的對稱性本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :1.5.1 1.5.1 對稱性與對稱操作對稱性與對稱操作1.5.2 1.5.2 晶系和布拉維原胞晶系和布拉維原胞1.5.1 對稱性與對稱操作對稱操作所依賴的對稱操作所依賴的幾何要素。1.對稱操作與線性變換),(321xxxX 經(jīng)過某一對稱操作，把晶體中任一點經(jīng)過某一對稱操作，把晶體中任一點 變?yōu)樽優(yōu)?可以用線性變換來表示?？梢杂镁€性變換來表示。 ),(321xxxX1.5 晶體的對稱性對稱性：對稱性：經(jīng)過某種動作后，晶體能夠自身重合的特性。經(jīng)過某種動作后，晶體能夠自身重合的特性。對稱操作：對稱操作：使晶體自身重合的動作。使晶體

2、自身重合的動作。對稱素：對稱素：232221232221xxxxxx 321xxxX 321xxxX 333231232221131211aaaaaaaaA操作前后，兩點間的距離保持不變，操作前后，兩點間的距離保持不變，),(321xxxX),(321xxxX Ox1 1x3 3x2 2O點和點和X點間距與點間距與O點和點和 點間距相等點間距相等。X XXAXAXAXXAXX AXX IAAI為單位矩陣，即：為單位矩陣，即： 100010001I或者說或者說A為正交矩陣，其矩陣行列式為正交矩陣，其矩陣行列式 。1 A 2.簡單對稱操作(旋轉(zhuǎn)對稱、中心反映、鏡象、旋轉(zhuǎn)反演對稱)(1)(1)旋轉(zhuǎn)對

3、稱旋轉(zhuǎn)對稱( (Cn, ,對稱素為線對稱素為線) ) 若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后自身重合，則此軸稱為以后自身重合，則此軸稱為n次次( (度度) )旋轉(zhuǎn)對稱軸旋轉(zhuǎn)對稱軸。n2下面我們計算與轉(zhuǎn)動對應的變換矩陣。下面我們計算與轉(zhuǎn)動對應的變換矩陣。 當當OX繞繞Ox1轉(zhuǎn)動角度轉(zhuǎn)動角度 時，圖中時，圖中),(321xxxX),(321xxxX 若若OX在在Ox2x3平面上投影的長度為平面上投影的長度為R，則則11xx cos2Rx sinsincoscosRR sincos32xx sin3Rx sincoscossinRR cossin32xx ),(321xxxX),(321xx

4、xX Ox1x3x2 321321cossin0sincos0001xxxxxx cossin0sincos0001A1 A 晶體中允許有幾度旋轉(zhuǎn)對稱軸呢晶體中允許有幾度旋轉(zhuǎn)對稱軸呢? 設設B1ABA1是晶體中某一晶是晶體中某一晶面上的一個晶列，面上的一個晶列，AB為這一晶為這一晶列上相鄰的兩個格點列上相鄰的兩個格點。A1ABB1 AB 若晶體繞通過格點若晶體繞通過格點A并垂直于并垂直于紙面的紙面的u軸順時針轉(zhuǎn)軸順時針轉(zhuǎn) 角后能自身重角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過格合，則由于晶體的周期性，通過格點點B也有一轉(zhuǎn)軸也有一轉(zhuǎn)軸u。, ,ABBA2cos11 ,21, 0cos ,23,21

5、2,62,42BA AB是是 的整數(shù)倍，的整數(shù)倍， A1 1ABB1 1 A B 相反若相反若逆時針轉(zhuǎn)逆時針轉(zhuǎn) 角后能自身重合，則角后能自身重合，則A1ABB1 AB, ,ABBA2cos1BA AB是是 的整數(shù)倍，的整數(shù)倍， 1,21, 0cos ,32,222,32,42 643212, , , , ,n,n晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對稱軸只能是晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。度軸。綜合上述證明得：綜合上述證明得：12346 正五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)正五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)720恢恢復原狀，但它不能重復排列充滿一個復原狀，但它不能重復排列充滿一個平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)平面而

6、不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)對稱軸中不存在五次軸，只有對稱軸中不存在五次軸，只有1，2，3，4，6度度旋轉(zhuǎn)對稱軸旋轉(zhuǎn)對稱軸。(2)(2)中心反映中心反映( (i，對稱素為點對稱素為點) ) 取中心為原點，經(jīng)過中心反映后，圖形中任一點取中心為原點，經(jīng)過中心反映后，圖形中任一點),(321xxx),(321xxx 變?yōu)樽優(yōu)?321321xxxxxx 100010001A1 A(3)鏡象鏡象(m，對稱素為面對稱素為面)如以如以x3= =0面作為對稱面，鏡象是將圖形的任何一點面作為對稱面，鏡象是將圖形的任何一點),(321xxx),(321xxx 變?yōu)樽優(yōu)?100010001A1 A 321321xxx

7、xxx(4)(4)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)-反演對稱反演對稱 若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn) 以后，以后，再經(jīng)過中心反演, ,晶體自晶體自身重合，則此軸稱為身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸。n2 旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸只能有1，2，3，4，6度軸。6, 4, 3, 2, 1旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸用反演對稱軸用 表示。表示。旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸并反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如：獨立的基本對稱素。如：12i1123456i 3312m21 ABDCEFGH正四面體既無四正四面體既無四度軸也無對稱心度軸也無對稱心6=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 CADGFH

8、EB1 1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋轉(zhuǎn)對稱操作。度旋轉(zhuǎn)對稱操作。 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6度旋轉(zhuǎn)反演對稱操作。度旋轉(zhuǎn)反演對稱操作。(3)(3)中心反映：中心反映：i。(4)(4)鏡象反映：鏡象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符號表示）用熊夫利符號表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號表示）用熊夫利符號表示）點對稱操作：點對稱操作：(2)(2)旋轉(zhuǎn)反演對稱操作：旋轉(zhuǎn)反演對稱操作：(1)(1)旋轉(zhuǎn)對稱操作：旋轉(zhuǎn)對稱操作： 獨立的對稱操作有8種, ,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C

9、6 ，Ci，Cs，S4。 4立方體對稱性立方體對稱性(1)(1)立方軸立方軸C4：3 3個立方軸；個立方軸；4個個3度軸；度軸；(2)體對角線體對角線C3：(3)面對角線面對角線C2：6個個2度軸；度軸；與與4 4度軸正交的對稱面度軸正交的對稱面與與2 2度軸正交的對稱面度軸正交的對稱面 所有點對稱操作都可由這所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。種操作或它們的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構(gòu)成一個群，每個操作都是群的一個，每個操作都是群的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演點

10、對稱操作構(gòu)成的群，稱作點群。反演點對稱操作構(gòu)成的群，稱作點群。 理論證明，所有理論證明，所有晶體只有32種點群，即只有，即只有32種不同的點對種不同的點對稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。性質(zhì)在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。如果考慮平移，還有兩種情況，即如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。 （5 5）n度螺旋軸度螺旋軸：若繞軸旋轉(zhuǎn)：若繞軸旋轉(zhuǎn)2 / /n角以后，再角以后，再沿軸方向平移l( (T/ /n) )，晶體能自身重合，則稱此軸為晶體能自身重

11、合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中度螺旋軸。其中T是是軸方向的周期，軸方向的周期， l是小于是小于n的整數(shù)。的整數(shù)。 n只能取只能取1、2、3、4、6。 （6 6）滑移反映面滑移反映面：若經(jīng)過某面：若經(jīng)過某面進行鏡象操作后，再沿平行于該面進行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個方向平移的某個方向平移T/ /n后，晶體能自后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。身重合，則稱此面為滑移反映面。 T是平行方向的周期，是平行方向的周期， n可取可取2或或4。 點對稱操作加上平移操作構(gòu)成空間群。全部晶體構(gòu)有點對稱操作加上平移操作構(gòu)成空間群。全部晶體構(gòu)有230種空種空間群，即有間群，即有230種對稱類型。種對稱

12、類型。1.5.2 晶系和布拉維原胞 根據(jù)不同的根據(jù)不同的點對稱性，將晶體分為，將晶體分為7大晶系，14種布拉維晶格。 ,baaccb與與與與與與,cba,為布拉維原胞三個基矢，為布拉維原胞三個基矢， 分別為分別為取取間的夾角。間的夾角。abc 7大晶系的特征及布拉維晶格如下所述：大晶系的特征及布拉維晶格如下所述：1.1.三斜晶系：三斜晶系： , cba 090cba2.2.單斜晶系：單斜晶系：3.3.三角晶系：三角晶系：0012090 cba簡單三斜簡單三斜( (1) )簡單單斜簡單單斜( (2) ) 底心單斜底心單斜( (3) )三角三角( (4) )4.4.正交晶系：正交晶系：090 cb

13、a簡單正交簡單正交( (5) )，底心正交，底心正交( (6) )體心正交體心正交( (7) )，面心正交，面心正交( (8) )5.5.四角系：四角系：( (正方晶系正方晶系) )090 cba簡單四角簡單四角( (9) )，體心四角，體心四角( (10) )6.6.六角晶系：六角晶系：0012090 cba六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：090 cba簡立方簡立方( (12) )，體心立方，體心立方( (13) )，面心立方面心立方( (14) )簡單三斜簡單三斜( (1) ) 090, cba簡單單斜簡單單斜( (2) )底心單斜底心單斜(3)1.1.三斜晶系：三斜晶系： 2.2.單斜晶系：單斜晶系： ,cba3.3.三角晶系：三角晶系：三角三角( (4) )0012090 cba4.4.正交晶系：正交晶系：090 ,cba簡單正交簡單正交( (5) )底心正交底心正交( (6) )體心正交體心正交( (7) )面心正交面心正交( (8) )5.5.四角