概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件04A 重要分布

1、1第四章：重要分布第四章：重要分布1. 1.0 01 1分布分布2.2. 二項分布二項分布3.3. 超幾何分布超幾何分布4.4. 普哇松普哇松PoissonPoisson分布分布5.5. 指數(shù)分布指數(shù)分布201分布分布1. 01. 01 1分布的定義分布的定義: : 設(shè)隨機事件設(shè)隨機事件A A在一次試驗中出現(xiàn)的概率為在一次試驗中出現(xiàn)的概率為P P, x x為事件為事件A A在一次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)在一次試驗中出現(xiàn)的次數(shù), ,則則x x的概率的概率分布為分布為: :x x01P1-pP則稱隨機變量則稱隨機變量x x服從服從0-10-1分布分布. .301分布分布2. 01分布的期望與方差分布的期望

2、與方差: pqDx方差pEx數(shù)學(xué)期望4二項分布二項分布1. 1. 二項分布的背景二項分布的背景: : 如果事件如果事件A A在一次試驗中發(fā)生的概率為在一次試驗中發(fā)生的概率為p, p, 重復(fù)重復(fù)進行進行n n次試驗次試驗, , 則由貝努里定理知則由貝努里定理知, , 事件事件A A在這在這n n次次試驗中發(fā)生試驗中發(fā)生k k次的概率為次的概率為: :knkknqpC-pq-1,其中5二項分布二項分布2. 2. 二項分布的定義二項分布的定義: :如果隨機變量如果隨機變量x x有概率函數(shù)有概率函數(shù):其中其中0p1, q=1- -p, 則稱則稱x x服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,p的二項分布的二項分布. 簡

3、記作簡記作x xB(n,p). ), 1 , 0(nkqpCkPpknkknk-x6二項分布二項分布如果如果x xB(n,p), 則則x x可看作是由可看作是由n個取個取1概率為概率為p的的相互獨立的相互獨立的0-1分布的隨機變量分布的隨機變量x xi(i=1,2,.,n)的的和和, 即即 x x=x x1+x x2+.+x xn其中其中x xi是隨機事件是隨機事件A在第在第i次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)次試驗中出現(xiàn)的次數(shù),且且 P(A)=p7二項分布二項分布可以證明可以證明: :1011122211100-qpCqpCqpCqpCqpCnnnnnnnnnnnn 即即: :10-nkknkknqpC8二

4、項分布二項分布3. 3. 二項分布的分布函數(shù)二項分布的分布函數(shù): :-xkknkknqpCxpxF)()(x9二項分布二項分布4. 4. 二項分布的相關(guān)概率計算二項分布的相關(guān)概率計算: :-mkknkknqpCmPmA00 x次的概率是至多出現(xiàn)事件-mlkknkknqpCmlPmlAx的概率是不大于出現(xiàn)次數(shù)不小于事件10二項分布二項分布5.5.服從二項分布隨機變量的最可能取值服從二項分布隨機變量的最可能取值: :-其它為整數(shù)或則有) 1() 1(1) 1() 1(0pnpnpnpnk), 2 , 1 , 0()()(),(0nkkPkPpnBxxx且如果11二項分布二項分布6.6.服從二項分布

5、隨機變量的期望與方差服從二項分布隨機變量的期望與方差: :npqDx方差npEx數(shù)學(xué)期望12某工廠每天用水量保持正常的概率為某工廠每天用水量保持正常的概率為3/4, 求最近求最近6天天內(nèi)用水量正常的天數(shù)的分布內(nèi)用水量正常的天數(shù)的分布.178. 04360044. 0414310002. 041045166xxxPCPP解解: 設(shè)最近設(shè)最近6天內(nèi)用天內(nèi)用水量保持正常的天水量保持正常的天數(shù)為數(shù)為x, 則則x B B(6,0.75(6,0.75), 因此因此例例113其分布表如下表所示其分布表如下表所示x0123456P0.0002 0.0044 0.0330.13180.29660.3560.17

6、8概率分布圖為概率分布圖為:例例11410部機器各自獨立工作部機器各自獨立工作, 因修理調(diào)整的原因因修理調(diào)整的原因, 每部機每部機器停車的概率為器停車的概率為0.2. 求同時停車數(shù)目求同時停車數(shù)目x x的分布的分布.x x0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 91010P0.110.110.270.270.30.30.20.20.090.090.030.030.010.010 00 00 00 0解解: x xB(10,0.2), 用貝努里公式計算用貝努里公式計算P(P(x xk)k)如下表如下表所示所示例例215概率分布圖如下圖所示概率分布圖如下圖所示:0.000.000

7、.050.050.100.100.150.150.200.200.250.250.300.300 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9 1010例例216一批產(chǎn)品的廢品率一批產(chǎn)品的廢品率p=0.03, 進行進行20次重復(fù)抽樣次重復(fù)抽樣(每每次抽一個次抽一個, 觀察后放回去再抽下一個觀察后放回去再抽下一個), 求出現(xiàn)廢品求出現(xiàn)廢品的頻率為的頻率為0.1的概率的概率.0988.097.003.0)2(1.020182220CPPxx解解: 令令x表示表示20次重復(fù)抽取中廢品出現(xiàn)的次數(shù)次重復(fù)抽取中廢品出現(xiàn)的次數(shù), 則則xB(20, 0.03)例例317一些例子一些例子(1)(1)

8、如果是反復(fù)地擲硬幣試驗擲了如果是反復(fù)地擲硬幣試驗擲了100100次次, , 則則x xB B(100(100, 0.5), 0.5), 最可能值是最可能值是 k k0 0=100=100 0.5+0.5=50+0.5=500.5+0.5=50+0.5=50(2)(2)如果如果x xB(1000,0.3), B(1000,0.3), 則最可能值是則最可能值是 k k0 0=10001000 0.3+0.3=3000.3+0.3=300(3)(3)在實際應(yīng)用中在實際應(yīng)用中, np+p, np+p正好是整數(shù)的情況幾乎不存在正好是整數(shù)的情況幾乎不存在, ,但也不排出特殊情況的可能但也不排出特殊情況的可

9、能. . 18某批產(chǎn)品有某批產(chǎn)品有80%的一等品的一等品, 對它們進行重復(fù)抽樣檢驗對它們進行重復(fù)抽樣檢驗, 共取出共取出4個樣品個樣品, 求其中一等品數(shù)求其中一等品數(shù)x x的最可能值的最可能值k0, 并并用貝努里公式驗證用貝努里公式驗證.解解: x xB(4, 0.8), 因因np+p=4 0.8+0.8=4是整數(shù)是整數(shù), 所以所以k0=4和和k0=3時時Px x=k為最大為最大, 即即3和和4為最可能值為最可能值.x x01234P0.00160.02560.15360.40960.4096例例419超幾何分布超幾何分布1. 1. 超幾何分布的背景超幾何分布的背景: : 設(shè)設(shè)NN個元素分為兩

10、類個元素分為兩類, , 有有NN1 1個元素屬于第一類個元素屬于第一類, N, N2 2個元素屬于第二類個元素屬于第二類(N(N1 1+N+N2 2=N). =N). 從中按不重復(fù)抽樣取從中按不重復(fù)抽樣取n n個個(n(n不大于不大于NN1 1, , 也不大于也不大于NN2 2), ), 則這則這n n個元素中恰好抽到個元素中恰好抽到mm個第一類元素的概率為個第一類元素的概率為: :), 1 , 0(21nmCCCnNmnNmN-202. 2. 超幾何分布的定義超幾何分布的定義: :如果隨機變量如果隨機變量x x有概率函數(shù)有概率函數(shù): :), 1 , 0()(21nmCCCmPnNmnNmN-

11、x則稱隨機變量則稱隨機變量x x服從超幾何分布服從超幾何分布超幾何分布超幾何分布21nNnmmnNmNCCC-021可以證明可以證明: :超幾何分布超幾何分布或或1021-nmnNmnNmNCCC223. 3. 超幾何分布的數(shù)學(xué)期望超幾何分布的數(shù)學(xué)期望超幾何分布超幾何分布NNnE1x數(shù)學(xué)期望23超幾何分布超幾何分布NNnCCNCCCNEmkCmNmNCNCmNmNmCCCCmmmPEnNnNknNnkkNnNnmmnNnNnmmnNnNnmnNmnNmNnm1111110111111111002122211)!()!1()!1()!( !1)(-xxx則令證明證明: :243. 3. 超幾何分

12、布的方差超幾何分布的方差: :超幾何分布超幾何分布1-NnNnpq：Dx方差25超幾何分布超幾何分布證明證明: :) 1() 1() 1() 1() 1()!()!2()!2() 1()!()!2(!1) 1()() 1()1(11221120)2(21122111121120212221-NNnnNNCCNNCCCNNCmNmNCNNCmNmNCCCCmmmPmmEnNnNnkknNkNnNmknmmnNnNnmmnNnNnmnNmnNmNnmxxx26超幾何分布超幾何分布證明證明( (續(xù)續(xù)) )NnNNNnnNNEEE1112) 1() 1() 1()1(-xxxx11) 1() 1()

13、1()(21221211122-NnNnpqNnNNNNNnNNnNnNNNnnNNEEDxxx27超幾何分布超幾何分布4. 4. 超幾何分布的極限分布為二項分布超幾何分布的極限分布為二項分布: :nNknNkNCCC-21mnmmnqpC-28超幾何分布超幾何分布證明證明: :!)11 ()21)(11 (!) 1()2)(1(!mnnmnnmnmmnnnnCmnCmnmnmmnmmn -這是因為保持不變的時候很大而當(dāng)29超幾何分布超幾何分布證明證明( (續(xù)續(xù)): ):mnmmnmnmnmnmnNmnNmNqpCNNNNmnmnnNmnNmNCCCmP-2121)!( !)!(!)(21x因

14、此因此, 如果如果x x服從超幾何分布服從超幾何分布, 則當(dāng)抽樣數(shù)則當(dāng)抽樣數(shù)n保持保持不變且遠小于樣本數(shù)不變且遠小于樣本數(shù)N即也小于即也小于N1和和N2時時30在實際應(yīng)用中在實際應(yīng)用中(1)(1)元素的個數(shù)元素的個數(shù)NN是相當(dāng)大的是相當(dāng)大的, , 例如例如, , 從中國人民從中國人民中任抽幾千個人觀察中任抽幾千個人觀察, , 從一個工廠的幾十萬件從一個工廠的幾十萬件產(chǎn)品中任抽幾千件觀察產(chǎn)品中任抽幾千件觀察, , 等等等等. .(2)(2)而在而在NN非常大的情況下非常大的情況下, , 放回抽樣和不放回放回抽樣和不放回抽樣的結(jié)果幾乎是相同的抽樣的結(jié)果幾乎是相同的. .(3)(3)因此有因此有,

15、, 當(dāng)當(dāng)NN很大的時候很大的時候, , 超幾何分布可用二超幾何分布可用二項分布來近似項分布來近似. .(4)(4)或者換句話說或者換句話說, , 當(dāng)當(dāng)NN趨于無窮時趨于無窮時, , 超幾何分布超幾何分布的極限是二項分布的極限是二項分布. .31一大批種子的發(fā)芽率為一大批種子的發(fā)芽率為90%, 今從中任取今從中任取10粒粒, 求求播種后播種后, (1) 恰有恰有8粒發(fā)芽的概率粒發(fā)芽的概率; (2) 不少于不少于8粒粒發(fā)芽的概率發(fā)芽的概率.9298.09.01.09.091937.08)2(1937.01.09.08)1(10928810 xxPCP例例3解解: 設(shè)設(shè)10粒種子中發(fā)芽的數(shù)目為粒種子

16、中發(fā)芽的數(shù)目為x x. 因因10粒種子是粒種子是由一大批種子中抽取的由一大批種子中抽取的, 這是一個這是一個N很大很大, n相對于相對于N很小的情況下的超幾何分布問題很小的情況下的超幾何分布問題, 可用二項分布可用二項分布近似計算近似計算.其中其中n=10, p=90%, q=10%, k=832Poisson分布分布1. Poisson1. Poisson分布的背景分布的背景: : 普哇松分布常見于所謂稠密性的問題中普哇松分布常見于所謂稠密性的問題中, , 如一段時間如一段時間內(nèi)內(nèi), , 電話用戶對電話臺的呼喚次數(shù)電話用戶對電話臺的呼喚次數(shù), , 候車的旅客數(shù)候車的旅客數(shù), , 原子原子放射

17、粒子數(shù)放射粒子數(shù), , 織機上斷頭的次數(shù)織機上斷頭的次數(shù), , 以及零件鑄造表面上一以及零件鑄造表面上一定大小的面積內(nèi)砂眼的個數(shù)等等定大小的面積內(nèi)砂眼的個數(shù)等等. .33Poisson分布分布2. Poisson2. Poisson分布的定義分布的定義: : 如果隨機變量如果隨機變量x x有概率函數(shù)有概率函數(shù): :( )() (0,1,2,)(0)!mP mPmemmx-則稱隨機變量則稱隨機變量x x服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的PoissonPoisson分布分布, ,記為記為: : )(xP34Poisson分布分布可以證明可以證明: :1!0-emmm注注: :xkekxxxx! 3! 21

18、3235Poisson分布分布3. Poisson3. Poisson分布的數(shù)學(xué)期望分布的數(shù)學(xué)期望: :xE36Poisson分布分布4. Poisson4. Poisson分布的方差分布的方差: :xD)(22xE37Poisson分布分布5. Poisson5. Poisson分布的相關(guān)概率計算分布的相關(guān)概率計算: : 一般一般, , 概率論與數(shù)理統(tǒng)計的參考書后都會符有概率論與數(shù)理統(tǒng)計的參考書后都會符有PiossonPiosson概率分布表概率分布表. . 只要給出參數(shù)只要給出參數(shù) 的值的值, , 即可隨機即可隨機變量變量 取相應(yīng)值的概率取相應(yīng)值的概率. .x38Poisson分布分布例如

19、例如, ,參數(shù)參數(shù) 的的PoissonPoisson概率分布表為概率分布表為: :8 . 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8P0.449329 0.359463 0.143785 0.038343 0.007669 0.001227 0.000164 0.000019 0.00000239例例1設(shè)設(shè)x x服從普哇松分布服從普哇松分布, Ex x=5, 查表查表求求:P(x x=2), P(x x=5), P(x x=20).P P5 5(2)=0.084224 (2)=0.084224 P P5 5(5)=0.175467(5)=0.175467P P5 5(20)=0(20)=040

20、Poisson分布分布6. 6. 二項分布的極限分布為二項分布的極限分布為PoissonPoisson分布分布: :-ekqpCnnpkknkkn!,有時且為常數(shù)即當(dāng)41例例2 2一大批產(chǎn)品的廢品率為一大批產(chǎn)品的廢品率為p p=0.015, =0.015, 求任取一箱求任取一箱( (有有100100個個產(chǎn)品產(chǎn)品), ), 求箱中恰有一個廢品的概率求箱中恰有一個廢品的概率. .解解: :(1)(1)所取一箱中的廢品個數(shù)所取一箱中的廢品個數(shù)服從超幾何分布服從超幾何分布, , 由于產(chǎn)品數(shù)量由于產(chǎn)品數(shù)量NN很大很大, , 可按二項分布公式計算可按二項分布公式計算, , 其中其中n n=100, =10

21、0, p p=0.015.=0.015.即即335953. 0985. 0015. 0) 1(991100CPx42例例2 2一大批產(chǎn)品的廢品率為一大批產(chǎn)品的廢品率為p p=0.015, =0.015, 求任取一箱求任取一箱( (有有100100個個產(chǎn)品產(chǎn)品), ), 求箱中恰有一個廢品的概率求箱中恰有一個廢品的概率. .解解: :(2)(2)但由于但由于n n較大而較大而p p很小很小, , 可用普哇松分布公式近似可用普哇松分布公式近似代替二項分布公式計算代替二項分布公式計算. . 其中其中 =npnp=1.5=1.5, 查表得查表得: :P P1.51.5(1)=0.334695(1)=0

22、.334695誤差不超過誤差不超過1%.1%.43例例3 3檢查了檢查了100100個零件上的疵點數(shù)個零件上的疵點數(shù), , 結(jié)果如下表結(jié)果如下表: :疵點數(shù)疵點數(shù)0 01 12 23 34 45 56 6頻數(shù)頻數(shù)14142727262620207 73 33 3試用普哇松分布公式計算疵點數(shù)的分布試用普哇松分布公式計算疵點數(shù)的分布, , 并與實際并與實際檢查結(jié)果比較檢查結(jié)果比較. .2)63127014(100144計算出來的圖表如下所示:疵點數(shù)疵點數(shù)0 01 12 23 34 45 56 6頻數(shù)頻數(shù)14142727262620207 73 33 3頻率頻率0.140.140.270.270.260.260.200.200.070.070.030.030.030.03概率概率0.1350.1350.2710.2710.2710.2710.180.180.090.090.0360.0360.010.0145頻率和概率分布圖:46Poisson分布分布7. Poisson7. Poisson分布的最可能值分布的最可能值: :-不是整數(shù)時為整數(shù)時和