能源利用線性規(guī)劃模型

1、5線性5.1線性問題及其數學描述（ LinearProgram） 是運籌學（ Operations線性Research）的一個重要分支，是優(yōu)化技術中最成熟和最有用的方法之一。線性化工作狀態(tài)的問題。例如：研究的是一些系統(tǒng)在靜態(tài)下如何保持最優(yōu) 生產計劃的安排問題、設備條件一定，確定結構，使能源的效益最大，或萬元產值能耗最低。 工藝流程的選擇問題生產這種質量、產量一定，選擇最佳工藝和工藝參數，使的能耗最少，或利潤最大。5.1線性問題及其數學描述 生產配料問題在保證質量的條件下，確定各種原料的配比，使單位的生產費用最低，如：高爐配料（噴煤），轉爐煉鋼（生鐵、鐵水和廢鋼）、煉焦配煤。 上下工序的協(xié)調問題

2、如何確定前道工序的質量、理化指標、深度及的數量等，使生產過程的總能耗最小。和動力、動力的分配問題一定，合理分配各種，使能源的經濟效益最大。5.1線性問題及其數學描述 （1）例1 生產利潤最大問題 某車間計劃生產A，B 兩種機時4h，耗電2kWh；生產A需占用設備。生產B需占用設備機時2h，耗電3kWh。已知在計劃期內，設備的總生產能力（機時）為120h，電A的利潤為6元，B為4元。問如何力供應能力為100kWh，安排生產才能使車間獲得的生產利潤最大，試列出該問題的數學模型。這是一個如何安排最優(yōu)生產計劃問題，可以用數學語言來描述。如何安排生產意味著A、B兩種少？試列出該問題的數學模型。在計劃期各

3、應生產多5.1線性問題及其數學描述首先，用待求的未知量表示A、B的產量的產量為x2個設A的產量為x1個；B。其次，用等式或不等式來描述對該車間生產活動的各種限制生產能力（總工時）的限制4x1+2x2120（小時）A、B占用設備的總工時不能超過設備的生產能力；電力供應能力的限制2x1+3x2100（kwh）A、B消耗的總電力不能超過電力的供應能力對產量的限制；x10，x20每種的產量都應該非負的，必須大于或等于零。5.1線性問題及其數學描述最后，用函數來描述車間追求的目標設車間總利潤為S，它是A、B產量的函數，即S=6x1+4x2追求利潤最大，故用（元）ize來標記，其縮寫為max.。max.S

4、=6x1+4x2最大因此，上述問題可以用一個函數式和一組不等式來描述，即max.S=6x1+4x2滿足（Subject to縮寫為S.t.）S.t.4x1+2x21202x1+3x2100x10x205.1線性問題及其數學描述（2）線性問題的基本特征每個問題有一組待求的未知量，x1 ，x2 .xn稱為線性模型中的決策變量（Decision Variables）,是決策者可以的量。用一組等式或不等式描述（廣義的）與決策變量之間的數量關系。這種限制變量取值范圍的條件， 稱為約束條件（Constraints）；或者說各種變量的取值應滿足于（Subject to）若干約束條件，用s.t.表示。有一個追

5、求的目標S，它是變量X的函數，稱為目標函數（Objective function）。依線性問題的不同，目標函數可ize），用max.表示，也可以是求最小值以是求最大值（minimize），用min.表示。5.1線性問題及其數學描述線性問題數學描述：已知目標函數f（ x ），求一組x（x1, x2, xn）的取值，在滿足等式約束gi(x)=0（i=1, 2, .p）hj(x)0 （j=1，2，q）和不等式約束的條件下，使f (x)取極大（或極?。┲?。在這些問題中，f (x)、gi(x)、hi(x) 均為線性函數。這類問題線性問題。7.2線性模型的建立一般地說，編制線性 選擇合適的模型變量問題的數

6、學模型有三個基本步驟：處理得好，可以減少模型中約束條件的個數，或者將貌似非線性問題變換為線性問題； 確定目標函數一旦決策變量確定之后，就可以確定極小化或極大化的目標函數。目標函數用來衡量工作的成效（效果），它與決策變量的取值是分 不開的。此外，可能會出現多目標問題，甚至是相互能耗。 列出全部約束條件的目標，如利潤和約束條件的性質和多少，在很大程度上決定著模型計算的難度。某河流的對岸有兩家工廠。主河流的水流量為498×104m3/d，支河流的水流量為198.6×104m3/d。已知A廠排放工業(yè)污水2×104m3，污水處理費用為1000元/×104m3，污水

7、從A廠流入主河道后到B廠前的自然凈化率排放工業(yè)污水1.4×104m3，污水處理費用為20%；B廠為800元/104m3。環(huán)保部門規(guī)定河水中B的污水量不得超過2/1000.A21.44985.2線性模型的建立解：選擇合適的模型變量處理的污水量為x1 萬m3處理的污水量為x2，萬m3設A廠B廠確定目標函數min.S=1000 x1 + 800 x2列出所有的約束條件截面處河水中的污水含量小于2，即在A廠的污水 處，河水中的污水含量要達到環(huán)保要求（小于2）（2-x1）/（498+2）2/1000化簡得，x11截面處河水中的污水含量小于2，即0.8（2-x1）+（1.4-x2）/（498+2

8、+198.6+1.4）2/1000化簡得，0.8x1+x21.65.2線性模型的建立污水量小于等于排放量，即x12,x21.4變量為非負的，x10，x20簡化后，得，Min.S =1000x1+800x2x110.8x1+x21.6x12 x21.4 x10，x20s.t.5.2線性模型的建立 例3：能源消耗最小問題 某軋鋼車間有兩道連續(xù)的生產工序。工序的可以作為工序的原料進一步深序生產為企業(yè)的最終，也可以直接作為企業(yè)的最終。這兩道工所消耗的重油和電力的數量，每道工序的成材率，以及兩種最終的利潤。已知在計劃期內供給該車間原料坯的能力為17.5×104t，供電能力為300×1

9、04kwh，利潤指標24×106元，試問應如何組織生產才能使整個車間的能源消耗最小。試寫出問題的數學模型。電力（40kwh/t）重油（30kg/t）電力（20kwh/t）重油（10kg/t）X2原料中間總量最終（600元/t）50%80%最終X1（200元/t）5.2線性模型的建立解：這是一道簡化的結構優(yōu)化問題，即在生產利潤指標一定且設備、工藝和原條件的情況下，求整個車間能耗最小的生產方案。該方案的優(yōu)劣決定于的種類和數量。量為x1104t，工序的最終量為x2104t 設工序的最終 工序和的工序能耗（取重油和電力的折標煤系數分別為1.4kgce/kg， 0.4 kgce/kwh，）30

10、×1.4+20×0.4=50（kgce/t） （）10×1.4+40×0.4=30 （kgce/t） （）車間的總能耗S=50（x1+1/0.5x2）+30x2=50x1+130x2（104kgce）工序的總量，它等于工序的最終產量+工序的原料用量（x2/成材率）5.2線性模型的建立 約束條件電力供應約束（供電能力300×104kwh）20（x1 +1/0.5x2）+40x2 30020x1 + 80x2 300（104kwh）利潤指標約束 （獲得利潤不得少于24×106元）2x1+ 6x2 24（106元）原料供應約束（供應能力為1

11、7.5×104t）（x1+1/0.5x2）/0.817.51.25x1+ 2.5x2 17.5（104t）非負約束x10x205.2線性模型的建立化簡后，得總能耗最小的數學模型為：min.S = 50x1+ 130x2s.t.20x1 + 80x2 3002x1+ 6x2 241.25x1+2.5 x217.5x10x205.2線性模型的建立電力（20kwh/t）電力（40kwh/t）重油（30kg/t）重油（10kg/t）中間最終（600元/t）X1原料X2工序的50%80%總量最終（200元/t）5.2線性模型的建立總量為x1 萬t，工序的量）總量為x2萬t，設工序的（總量=最終

12、則總能耗為： 約束條件：S = 50x1+ 30x2（萬kgce）電力供應約束20x1 + 40x2 300利潤指標約束2（x1-1/0.5x2）+ 6x2 24工序間的相互關系約束x1-1/0.5x20(萬 kwh)（106元）5.2線性模型的建立解釋上述不等式的工程意義它代表兩種可能的生產方案： x1-1/0.5x2=0它表示工序生產的將全部作為工序的原料，工序不生產最終（不外銷） x1-1/0.5x2>0它表示工序生產的將部分地作為工序的原料，多余的作為工序的最終。這種生產方案的情況是x2=0（工序不生產）原料供應約束該車間消耗的原料量只與工序的關。x1/0.817.5產量和工序的

13、成坯率有5.2線性模型的建立非負約束x10x20綜上所述，該問題的另一組數學模型為：min . S = 50x1+ 30x2s.t.20x1 + 40x2 3002x1+ 6x2 24 x1- 2x20 1.25x117.5x10， x20選擇合適的模型變量。列出全部約束條件，是指要把一切可能的活動方案都要表述出來。如果所列的約束僅僅是其中的一部分，那么遺漏 的方案就可能是最優(yōu)方案。在這種情況下不可能得到最優(yōu)解。5.3線性模型的表述形式（1）一般形式如果用x1，x2 xk表示變量，則線性模型的一般形式為：kmin.（或max.）S= cjxjj=1，p=1,2,uk apjxjbps.t.j=

14、1k aqjxjbqj=1k arjxj=br，q=u+1,u+2,u+v，r=u+v+1,.mj=1xj0，j=1，2，.k式中，cjxj稱為目標函數；c1, c2，ck 稱為目標函數系數；約束條件中分為，和=等約束。在等式或不等式右邊的數為約束式右端項。此約束有u個，v個，m-u-v個等式，k個非負約束。5.3線性模型的表述形式(2)標準形式線性表述為下面形式：nmin. S= cjxjj=1s.t.n aijxjbi ，i=1,2,mj=1xj0，j=1，2，n則稱為標準形式。判別標準： 目標函數求最小 min.S 均為等式約束 右端項均為非負，bi0xj05.3線性模型的表述形式為了簡

15、便，常寫成矩陣形式min. S=CXs.t. AX=b X0C=（c1,c2,cn）目標函數系數行向量其中，X= (x1, x2,.xn)Tb= (b1,b2,.bn)T決策變量列向量右端項列向量æ a11öa12 a22Ma1n a2nMLLMLç÷÷÷A = ç a21ç約束系數矩陣Mça÷aaèm1mn øm 25.3線性模型的表述形式（3）一般形式化成標準形式的方法性以便在求解線性理論中，經常把線性問題時作統(tǒng)一處理。的一般形式化成標準形式， 引入松弛變量，將“”約束化

16、成“=”約束使“”約束化成等式約束的變量稱為“松弛”變量（Slack Variable）。如例題中的供電能力約束20x1 +80x2 30020x1 + 80x2+x4=300x4為松弛變量，表示：實際的消耗量與最大限制量相比，節(jié)余的部分。5.3線性模型的表述形式 引入剩余變量，將“”約束化為“=”約束。把“”約束化為等式約束的變量稱為“剩余”變量（ Surplus Variable）如，例題中利潤指標約束，2x1+ 6x2 242x1+ 6x2 -x3=24x3為剩余變量，表示：實際的產出量與最小限制量相比，超額的部分。對于bi<0的約束，不等式兩邊乘以（-1），不等式變號，將取負值的

17、右端項化為正值。5.3 線性模型的表述形式 對于目標函數求max，改目標函數求min。max（z）用上述方法，將min（-z）=min. S結構模型化為標準形式：min. S = 50x1+130x220x1 + 80x2 +x4=300注：x1 工序最終x2工序最終量,量，s.t.2x + 6xx=24123x 利潤超額量，3x4電力節(jié)余量，x5原料坯的節(jié)余量1.25x +2.5x +x =17.5125x1 x2，x3，x4，x505.4線性的圖解法(1)圖解法 約束條件的幾何描述對含有兩個決策變量的線性的幾何圖形來描述。如例3的線性模型，其約束條件可以用二維模型min. S=50x1+1

18、30x2 s.t.20x1 + 80x2 3002x1+ 6x2 241.25x1+ 2.5x2 17.5x10x20其中的電力供應約束 20x1 + 80x2 300它是二元一次不等式，用圖來表示要兩步完成：5.4線性的圖解法首先， 將“”的不等式部分化為直線方程，并在二維圖中表示出來。然后， 指出滿足不等式方程的x1, x2取值所在的區(qū)域，用箭頭表示出。在平面內畫出滿足所有約束條件的變量的取值點（可行點）。即所有可行點（可行解）的集合叫可行域（陰影區(qū)域）。(a)20x1 +80x2300 20x1 + 80x2 = 300 (x1=0, x2=3.75 ) (x1=15, x2=0)A點2

19、0x1 + 80x2 = 3002x1+ 6x2 = 24(x1=3, x2=3 )(b) 2x1+ 6x2 24 2x1+ 6x2 = 24 (x1=0, x2=4) (x1=12, x2=0)B點(x1=12, x2=0 )(c) 1.25x1+2.5x217.5 1.25x1+2.5x2 =17.5(x1=0, x2=7 )(d)x10, x20(x1=14, x2=0 )C點D點20x1 + 80x2 = 3001.25x1+2.5x2 =17.5 (x1=13, x2=0.5 )(x1=14, x2=0 )5.4GraphicalMethodofLPx28754A(3,3)321D(

20、13,0.5)x10C(1144,0)B(121,20)024681016SA=540SB=600SC=700SD=71565.4線性的圖解法 在平面內畫出目標函數的等值線使目標函數值相等的點的集合(a) 畫出S0=50x1+130x2 的直線方程x2=-50/130x1+S0/130（直線的斜率 直線的截矩）令S0=910，則（x1=0, x2=7；x1=18.2, x2=0），（b）平行移動目標函數等值線，使目標函數得到 求出目標函數等值線與可行域的交點，得出最優(yōu)點（解）20x1 + 80x2 = 300-10×）2x1+ 6x2 = 2420x2=60S 50×13+130×0.5=750 （104kgce）DS 50×14+130×0=700 （104kgce）CSB50×12+130×0=600 （104kgce）x =3，x =32目標函數的最優(yōu)值：1S=50×3+130×3=540 （104kgce）5.4線性的圖解法（2）圖解法的啟示 線性的可行域是一個凸多