A05 第二章極限與連續(xù)(二)

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題下頁0(1).(2).xxx 1、數(shù)列的極限xx 00 xxxx2、函數(shù)的極限收斂數(shù)列,發(fā)散數(shù)列; 收斂數(shù)列一定是有界數(shù)列.無界的數(shù)列一定是發(fā)散的.有界數(shù)列不一定是收斂數(shù)列.有界數(shù)列,無界數(shù)列上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題 下頁2.3 無窮大量與無窮小量 一、無窮大量oxyxxf1)(xxf1)(函數(shù)當(dāng)x無限趨于0時(shí),x1 就無限的增大.數(shù)列2 n當(dāng)n無限增大時(shí), 也無限增大.2n變量在各自的變化過程中都是無限增大的無窮大量.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題 下頁2.3 無窮大量與無窮小量 一、無窮大量變量在各自的變化過程中都是無限增大的無窮大量.定義:在變量y的變

2、化過程中,如果|y|可以無限增大,則稱變量y是無窮大量(簡稱無窮大).ylim xxf1)(函數(shù)xlimx1 0數(shù)列2 n2 nlimn上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題 下頁2.3 無窮大量與無窮小量 一、無窮大量定義:在變量y的變化過程中,如果|y|可以無限增大,則稱變量y是無窮大量(簡稱無窮大).ylim ylim 變量y是正無窮大ylim 變量y是負(fù)無窮大xxf1)(函數(shù)xlimx1 0 xlimx1 0上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題 下頁2.3 無窮大量與無窮小量 一、無窮大量定義:在變量y的變化過程中,如果|y|可以無限增大,則稱變量y是無窮大量(簡稱無窮大).ylim ylim 變量

3、y是正無窮大ylim 變量y是負(fù)無窮大xlimxtan 2 )(1 log 0axlimax11 1xlimx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題 下頁2.3 無窮大量與無窮小量 二、無窮小量定義:極限為零的變量稱為無窮小量(簡稱無窮小).03 3)(x-limx0 0sinxlimx01 nlimn0 0tanxlimx0 2cosxlimx 無窮小量是一個(gè)極限為零的,不是很小的數(shù)(0.00001).無窮大量是一個(gè)無限增大的,不是很大的數(shù)(1000000).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題 下頁2.3 無窮大量與無窮小量 二、無窮小量定義:極限為零的變量稱為無窮小量(簡稱無窮小).性質(zhì)1:有限個(gè)無窮

4、小量的代數(shù)和還是無窮小量.性質(zhì)2:有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量.01sinxxlimxsinxlimxxxsinxlimx求推論1:常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量.推論2:有限個(gè)無窮小量的乘積還是無窮小量.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題 下頁2.3 無窮大量與無窮小量 二、無窮小量定義:極限為零的變量稱為無窮小量(簡稱無窮小).數(shù)列 的極限是1.1nnnnnnna 11111011nlimlimnnn an可表示為它的極限與一個(gè)無窮小量之和的形式.定理:變量y以A為極限的充分必要條件是變量y可以表示為常數(shù)A與一個(gè)無窮小量之和.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題 下頁2.3 無窮大量與無窮小量

5、 三、無窮大量與無窮小量的關(guān)系定理:在變量y的變化過程中(1) 如果y是無窮大量,則 是無窮小量.y1(2) 如果y(0)是無窮小量,則 是無窮大量.y1xxy221xxy0 20 xxlimx20 xxlimx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題 下頁2.3 無窮大量與無窮小量 四、無窮小量的比較 h0.50.10.010.001-2h10.20.020.002-h20.250.010.0001 0.000001-設(shè)、都是無窮小量.如果 ,我們就說是比的無窮小;0 lim如果 ,我們就說與是無窮小,記作.1 lim如果 ,我們就說與是無窮小;0 clim 如果 ,我們就說是比的無窮小; lim上頁

6、下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題 下頁2.3 無窮大量與無窮小量 四、無窮小量的比較設(shè)、都是無窮小量.如果 ,我們就說是比的無窮小;0 lim如果 ,我們就說與是無窮小,記作.1 lim如果 ,我們就說與是無窮小;0 clim 如果 ,我們就說是比的無窮小; lim0 020 xlimxxlimxx33 0 xxlimx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題下頁總 結(jié)一、無窮大量23lim2xx 當(dāng)x無限趨于2時(shí),32x 變量 為無窮大量.二、無窮小量0lim3 sin0 xx當(dāng)x無限趨于0時(shí),3 sin x 變量 為無窮小量.性質(zhì)1:有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和還是無窮小量.性質(zhì)2:有界變量與無窮小量的乘積是無

7、窮小量.定理:變量y以A為極限的充分必要條件是變量y可以表示為常數(shù)A與一個(gè)無窮小量之和.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題設(shè)對(duì)同一變化過程 , , 為無窮小 ,說明說明:無窮小的性質(zhì), (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價(jià)可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則. 若 = o() , (2) 和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: ,不等價(jià)與且若,則例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則,limlim且.時(shí)此結(jié)論未必成立但例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁補(bǔ)充例題(3) 因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則:極限存在或有且若)(,x界, 則)(limx)(limx例如,.sintanl