簡單的超越不等式

1、.薃肆肂膀蚅衿羈腿螇螞芇膈蕆袇膃芇蕿蝕聿芆螞袆羅芅莁蚈羈芅薄羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁節(jié)蒈螅羇芁薀羈袃莀螞螃膂莀莂罿肈荿蒄螂肄莈蚇肇羀莇蝿袀艿莆葿蚃膅蒞薁袈肁莄蚃蟻羇蒄莃袇袃蒃蒅蠆膁蒂薈裊膇蒁螀蚈肅蒀蒀羃罿葿薂螆羋蒈蚄羈膄蒈螆螄肀薇蒆羀羆膃薈螂袂膂螁羈芀膁蒀袁膆膁薃肆肂膀蚅衿羈腿螇螞芇膈蕆袇膃芇蕿蝕聿芆螞袆羅芅莁蚈羈芅薄羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁節(jié)蒈螅羇芁薀羈袃莀螞螃膂莀莂罿肈荿蒄螂肄莈蚇肇羀莇蝿袀艿莆葿蚃膅蒞薁袈肁莄蚃蟻羇蒄莃袇袃蒃蒅蠆膁蒂薈裊膇蒁螀蚈肅蒀蒀羃罿葿薂螆羋蒈蚄羈膄蒈螆螄肀薇蒆羀羆膃薈螂袂膂螁羈芀膁蒀袁膆膁薃肆肂膀蚅衿羈腿螇螞芇膈蕆袇膃芇蕿蝕聿芆螞袆羅芅莁蚈羈芅薄羄艿芄蚆螇膅芃螈羂肁節(jié)蒈螅羇

2、芁薀羈袃莀螞螃膂莀莂罿肈荿蒄螂肄莈蚇肇羀莇蝿袀艿莆葿蚃膅蒞薁袈肁莄蚃蟻羇蒄莃袇袃蒃蒅蠆膁蒂薈裊膇蒁螀蚈肅蒀蒀羃罿葿薂螆羋蒈蚄羈膄蒈螆螄肀薇蒆羀羆膃薈螂袂膂螁羈芀膁蒀袁膆膁薃肆肂膀蚅衿羈腿螇螞芇膈蕆袇膃芇蕿蝕聿芆螞袆羅芅莁蚈羈芅薄羄艿芄蚆螇膅 第49課 簡單的超越不等式考試目標(biāo) 主詞填空1.指數(shù)不等式通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.a>1時(shí),af(x)>ag(x) f(x)>g(x);0<a<1時(shí),af(x)>ag(x) f(x)<g(x).2.對(duì)數(shù)不等式通過同底法或換元法轉(zhuǎn)化為同解的代數(shù)不等式求解.a>1時(shí),logaf(x)>

3、logag(xf(x)>g(x)>0;0<a<1時(shí),logaf(x)>logag(x) 0<f(x)<g(x).3.三角不等式形如:sinxa,sinxb及asinxb的不等式,除了使用單位圓求解之外，還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于操作，操作程序如下：在同一坐標(biāo)系中同時(shí)作出兩個(gè)函數(shù)y1=sinx(0x2)及y2=a(或b)(0x2)圖，得出滿足x0,2的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性，得出原不等式的解.形如:cosxa,cosxb及acosxb的不等式，除了使用單位圓求解之外，還可以用“圖像法”求解，兩者比較，“圖像法”易于掌握，求

4、解程序如下：在同一坐標(biāo)系中同時(shí)作出兩個(gè)函y1=cosx及y2=a(或y3=b), 的圖像，先得出滿足條件x 的不等式的解，然后利用函數(shù)的周期性得出原不等式的解.形如:tanxa,tanxb及atanxb的不等式,有直接的結(jié)論可用:tanxa的解集是: .tanxb的解集是:.atanxb的解集是:k+arctana,k+arctanb,kZ.題型示例 點(diǎn)津歸納【例1】 解下列對(duì)數(shù)、指數(shù)不等式:(1)9x-3x-2<0;(2)(log23x)2+(log23x)-20;(3)2x·log2x+2x-log2x-1<0.【解前點(diǎn)津】 (1)視3x為新變量，可因式分解,(2)視

5、log23x為新變量對(duì)象，同樣可因式分解，(3)分組分解因式，討論求解.【規(guī)范解答】 (1)化原不等式為:(3x+1)·(3x-2)<0,3x+1>0恒成立,故原不等式可化為:3x-2<0即3x<2x<log32;(2)化原不等式為:(log23x-1)·(log23x+2)0log23x1或log23x-2log23xlog22或log23xlog23x2或0<3x.故原不等式的解集為:.(3)分組得:(2x·log2x+2x)-(log2x+1)<0(2x-1)·(log2x+1)<0故原不等式解集為.

6、【解后歸納】視3x及l(fā)og23x為新變量，是整體代換的換元思想，通過“換元”，將超越不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，通過因式分解，化簡了超越不等式，回歸到指數(shù)不等式，對(duì)數(shù)不等式的“原始模型”，最后得出原不等式的解.【例2】 解下列三角不等式(1)sin2x> (2)cosx-;(3)tan2004x-1; (4)- sin(3x-).【解前點(diǎn)津】 利用基本函數(shù)y=sint.y=cosx的圖像求解.【規(guī)范解答】 (1)令2x=t,則sint>,在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y1=sint(0t2)及y2=(0t2)的圖像,容易算出兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是.故當(dāng)t0,2時(shí),有:.從而當(dāng)tR時(shí)有2

7、k+,即:2k+,解之:k+ ,kZ.(2)在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y1=cosx在的圖像,及函數(shù)y2=-的圖像.當(dāng)cosx=-時(shí),x=.故當(dāng)-x時(shí),cosx-的解為: x原不等式的解為2k+x2k+,kZ.(3)當(dāng)tan2004x=-1且-<2004x<時(shí),2004x=-.故由k-2004x<k+得原不等式解為: ,kZ. (4)令t=3x-,在同一坐標(biāo)系中,作如下三個(gè)函數(shù)的圖像:y1=sint,y2=-,y3=,當(dāng)t0,2時(shí),可算出交點(diǎn)A、B、C、D的橫坐標(biāo)依次為: , ,.因夾在兩平行直線間的曲線有如下幾段:故由0t得在R上x滿足:2k3x-2k+,或2k+3x-2k+,或

8、2k+3x-2k+2.故原不等式解集為:(kZ).【解后歸納】 利用圖像法解三角不等式，關(guān)鍵是利用了函數(shù)的周期性，先在一個(gè)周期內(nèi)確定不等式的解,然后得出原不等式的整個(gè)解集，這叫做“化難為易”.【例3】 求下列函數(shù)的定義域:(1)y=; (2)y=.【解前點(diǎn)津】 先列出不等式，再化簡不等式，最后求解不等式.【規(guī)范解答】 (1)由1-sin2x-cos2x0得sin2x+cos2x1sin(2x+),令t=2x+,得sint.當(dāng)t0,2時(shí),由sint=得,t=及.故當(dāng)t0,2時(shí),由sint得:0t或t22k2x+2k+或:2k+2x+2k+2，解之:k-xk或k+xk+(kZ).(2)由k-<

9、;x-kk-<xk+,kZ.【解后歸納】 對(duì)結(jié)構(gòu)稍復(fù)雜一點(diǎn)的三角不等式，常利用有關(guān)公式先進(jìn)行化簡，使之與三角不等式的基本模型對(duì)號(hào)，最后利用圖像法解三角不等式.對(duì)那些更復(fù)雜，甚至不能轉(zhuǎn)化為基本不等式者，讀者不必去深究!【例4】 解關(guān)于x的不等式:log2(4-ax)-log4(ax-1)1 (a>0,a1).【解前點(diǎn)津】 令t=ax,先轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式，再將底數(shù)化為相同，從而去掉對(duì)數(shù)符號(hào).【規(guī)范解答】 令t=ax,則t>0,原不等式為:log2(4-t)-log4(t-1)1,由對(duì)數(shù)性質(zhì)得4-t>0且t-1>0從而:1<t<4.又由log4(4-x)

10、2-log4(t-1)1得:log4(t-4)2log44(t-1) t2-12t+2002t10,故2,10(1,4)=2,4即2t<42ax<4,故當(dāng)a>1時(shí),原不等式解集為:loga2,2loga2);當(dāng)0<a<1時(shí),原不等式解集為:(2loga2,loga2).【解后歸納】 本題綜合使用了換元法，同底法，其目的，就是將原不等式轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式(或?qū)?shù)不等式)的基本模型，然后求解.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 分階提升一、基礎(chǔ)夯實(shí)1.不等式的解集是 ( )A.(,1)(1,10) B.(,1)(2,10) C.(, 10) D.(1,+)2.已知不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)

11、a的取值范圍是 ( )A.a> B.a< C.0<a< D. <a<13.不等式解集是 ( )A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)4.不等式lg(x2+2x+2)<1的解集是 ( )A.(2,4) B.(-2,4) C.(-4,2) D.(-4,-2)5.若(0,),則不等式:log(1-x)>2的解集是 ( )A.(-1,sin2) B.(cos2,) C.(-1,cos2) D.(cos2,1)6.設(shè)A=x|>lg(x-1),B=x|lg(x-1),則AB等于 ( )A. R B.(1,+) C.(1,

12、) D.(1, )7.不等式logx<1的解集為 ( )A.(0, ) B.(,+) C.( ,1) D.(0, )(1,+)8.不等式的解集為 ( )A.(3,+) B.(1,5) C.(1,4)(4,5) D.(3,4)(4,5)9.若不等式x2-logmx<0在(0, )范圍內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( )A. B. C. D.二、思維激活10.不等式>5x-3的解集是 .11.當(dāng)0<a<1時(shí),不等式:ax2+x-88>102lga的解集為 .12.不等式sinx-的解集為 .13.不等式tan(x-)的解集為 .三、能力提高14.解下列指數(shù)不等

13、式:(1) ;(2)|2x-3|+4x-3>0.15.解對(duì)數(shù)不等式:logx5-2logx>3.16.解關(guān)于x的不等式:17.解不等式:.第7課 簡單的超越不等式習(xí)題解答1.A換元法,令y=lgx,先解出關(guān)于y的分式不等式.2. A由原不等式得:3x+a2>-(x2-2ax)恒成立,從而知關(guān)于x的不等式x2+(3-2a)x+a2>0恒成立,由=(3-2a)2-4a2<0解得a>.3. B由8-x2>-2xx2-2x-8<0,即(x-4)·(x+2)<0故x(-2,4).4.C解不等式組0<x2+2x+2<10即得.5.

14、Dsin(0,1),0<1-x<sin2,1-sin2<x<1.6.D由5-2x0且x-1>0得1<x,設(shè)I=(1, ),A=,B=,AB=I.7.D由8. D.9. Af(x)=x2在(0,)內(nèi)單調(diào)增，欲使x2<logmx,則0<m<1.g(x)=logmx在(0, )內(nèi)單調(diào)減，<logm2-1,logm2-1,m,m,m<1.10.由原不等式解:(5x-10且5x-3<0)或(5x-30且5x-1>(5x-3)2) x0,1.11.102lga=a2,化原不等式為:x2+x-88<2,-10<x<

15、;9.12.由sinx=-及x0,2得:x=, .故由x0,2及sinx-得, x,從而知原不等式解集為2k+,2k+,kZ.13.由x-(-, )及tan(x-)=得:x-=,即x=.故原不等式的解集為k+,k+,kZ.14. (1)原不等式x2-5<3x-1-1<x<4,故原不等式解集為(-1,4).(2)化原不等式為: 0<x<log23或xlog23,故原不等式解集為(0,+).15.由換底公式，得: (1)當(dāng)x>1時(shí),log5x>0,可化為4logx+3log5x-1<0,解之:-1<log5x<<x<5,此時(shí)不

16、等式的解集為A=(1,+)(,)=(1, ).(2)當(dāng)0<x<1時(shí),log5x<0,可化為:4logx+3log5x-1>0,解之:log5x<-1或log5x>0<x<或x>,此時(shí)不等式的解集為B=(0, ).綜上所述知原不等式的解集為AB=(0, )(1,).16.令t=ax,則化原不等式為:>t-1.其等價(jià)不等式為:或t<1,0<t<,即0<ax<.當(dāng)a>1時(shí),x<loga;當(dāng)0<a<1時(shí),x>loga.17.化原不等式為-cos(2x-),令t=2x-,解得:cost在同一坐標(biāo)系中作下列三個(gè)函數(shù)的圖像:y1=cost,y2=,y3=-,它們的交點(diǎn)A、B、C、D的橫坐標(biāo)依次是-,故由2k-t2k-或2k+t2k+或2k+t2k+2k-2x-2k-或2k+2x-2k+或2k+2x-2k+.原不等式的解集為:,kZ. 薇肅芇莆薇螂肀節(jié)薆裊芅膈薅羇肈蕆薄蚇芃莃蚃蝿肆艿螞袁節(jié)膅蟻肄肄薃蟻螃袇葿蝕袆膃蒞蠆羈羆芁蚈蚈膁膇蚇螀羄蒆螆袂腿莂螆羄羂羋螅蚄膈芄螄袆羀薂螃罿芆蒈螂肁聿莄螁螁芄芀莈袃肇膆蕆羅芃蒅蒆蚅肅莁蒅螇芁莇蒄羀膄芃蒃肂羆薁蒃螂膂蕆蒂襖羅莃蒁羆膀艿薀蚆羃膅蕿螈腿蒄薈袀羈蒀薇肅芇莆薇螂肀節(jié)薆裊芅膈薅羇肈蕆薄蚇芃莃蚃蝿肆艿螞