第四講單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)

1、2.2.1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程2.2.2 受迫振動(dòng)的振幅受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論、相位差的討論2.1.3 旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動(dòng)旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動(dòng)2.1.4 支撐運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)支撐運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)km0sinft簡諧激振力簡諧激振力tFFsin0振振力的幅值，力的幅值， 為激振力的圓頻率。為激振力的圓頻率。以平衡位置以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛直軸鉛直向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為向下為正，物塊運(yùn)動(dòng)微分方程為 ：tFkxxcxmsin0 tfxxnxsin2020 具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程具有粘性阻尼的單自由度受迫振動(dòng)微分方程，是二階，是二階常系

2、數(shù)線性非齊次常微分方程。常系數(shù)線性非齊次常微分方程。 2.2.1 2.2.1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程mFfmcnmk0020,2 ,例：例：，F(xiàn)0 0為激為激mcktFFsin0簡諧激勵(lì)的響應(yīng)全解簡諧激勵(lì)的響應(yīng)全解有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程 微分方程全解：微分方程全解：有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解)()(21txtxxtfxxnxsin2020 00(0)(0)0 xxxxt和時(shí)，tfxxnxsin2020 0220 xxnx 非齊次通解非齊次通解齊次通解齊次通解非齊次特解非齊次

3、特解=齊次齊次非齊次非齊次有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下，運(yùn)動(dòng)微分方程的全解)()(21txtxxtnAxnt2201sine tBtxsin2x1(t)有阻尼自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程的解有阻尼自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程的解:受迫振動(dòng)的構(gòu)成：受迫振動(dòng)的構(gòu)成： 0246810-2-1012B0瞬態(tài)振動(dòng)完整受迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)ttBtxsin)(P可以看出：可以看出：穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅與滯后相位差均與初始條件無關(guān)與初始條件無關(guān)，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵(lì)的特性。，僅僅取決于系統(tǒng)和激勵(lì)的特性。2.1.1 振動(dòng)微分方程振動(dòng)微分方程 222200)2()(n

4、fB222012arctan2arctanrrn00(0)(0)0 xxxxt和時(shí)tfxxnxsin2020 代入代入其中初始條件：其中初始條件：特解（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）的求解：特解（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）的求解： 將將得到：得到：相位差；其中相位差；其中r是是激勵(lì)的頻率與系統(tǒng)激勵(lì)的頻率與系統(tǒng)的固有頻率之比的固有頻率之比0r穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)的振幅系統(tǒng)的唯一穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)的唯一穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：22202arctansinmkctcmkFx忽略阻尼時(shí)（忽略阻尼時(shí)（c c=0)=0)： tmkFtftxsinsin2022002同理，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程為同理，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)微分方程為：tMkcJsin0 扭轉(zhuǎn)受迫振動(dòng)

5、的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為扭轉(zhuǎn)受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為： 22202arctansinJkctcJkMt0BB222211rr22202002202022220212)1 (rrBnkFcmkFBkFfB020000002,mcnr對(duì)振幅和相位進(jìn)行無綱量化處理：對(duì)振幅和相位進(jìn)行無綱量化處理：等效于等效于F0靜止作用在靜止作用在彈簧上產(chǎn)生的靜變形彈簧上產(chǎn)生的靜變形令：振幅放大因子令：振幅放大因子r222012arctan2arctanrrn幅頻響應(yīng)曲線幅頻響應(yīng)曲線r相頻響應(yīng)曲線相頻響應(yīng)曲線2.2.2 受迫振動(dòng)的振幅受迫振動(dòng)的振幅B、相位差的討論、相位差的討論 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng) 11的區(qū)域的

6、區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū)高頻區(qū)或慣性控制區(qū))， ， ，響應(yīng)與，響應(yīng)與激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。激勵(lì)反相；阻尼影響也不大。03、r 1的附近區(qū)域的附近區(qū)域(共振區(qū)共振區(qū))， 急劇增大并在急劇增大并在 r1略為略為偏左偏左處有峰值。通常將處有峰值。通常將r1，即，即 0稱為共振頻率。稱為共振頻率。阻尼影響顯阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭。在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小，無論阻尼大小， r1時(shí)，總有，時(shí)，總有， /2 ,這也是共振的重要這也是共振的重要現(xiàn)象?，F(xiàn)象。例例 題題 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為M的電機(jī)安裝在彈性基礎(chǔ)上。的電機(jī)安裝在彈

7、性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為 e，偏心質(zhì)量為偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速。轉(zhuǎn)子以勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)如圖轉(zhuǎn)動(dòng)如圖示，試求電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。彈性基礎(chǔ)的作用相示，試求電機(jī)的運(yùn)動(dòng)。彈性基礎(chǔ)的作用相當(dāng)于彈簧常量為當(dāng)于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)的彈簧。設(shè)電機(jī)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c。 解：解：取電機(jī)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸鉛直向下為正。作用在電機(jī)上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。 2.2.3 2.2.3 旋轉(zhuǎn)失衡旋轉(zhuǎn)失衡引起的強(qiáng)迫振動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，

8、有根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，有0sin)(2sttmexMxkMgxc tmekxxcxMsin2 )sin(2220teMmxxnx ,220McnMk，= f02eMm例例 題題 (1)電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為電機(jī)作受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為)sin(tBx222222222222222024)1 (4)1 (4rrrbrrrMmenMmeB222012arctan2arctanrrnbB222224)1 (rrrMmeb 例例 題題 0f將將（1）代入代入P41（2.54）、（）、（2.55）得到：）得到：Mme例例 題題 當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率當(dāng)激振力的頻率即電機(jī)轉(zhuǎn)子的

9、角速度等于系統(tǒng)的固有頻率0時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。時(shí)，該振動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時(shí)電機(jī)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。 )()(yxcyxkxm 例例 題題 2.2.4 2.2.4 支撐運(yùn)動(dòng)支撐運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng) 例：例：在圖示的系統(tǒng)中，物塊受粘性在圖示的系統(tǒng)中，物塊受粘性欠阻尼作用，其阻尼系數(shù)為欠阻尼作用，其阻尼系數(shù)為c，物，物塊的質(zhì)量為塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈性常量為，彈簧的彈性常量為k。設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊和支撐只沿鉛直方向運(yùn)動(dòng)，且支撐的運(yùn)動(dòng)為且支撐的運(yùn)動(dòng)為 ,試求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。試求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 tatysin)(解：解：建立物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程：建立物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程： mxcxkxcyky利用復(fù)指數(shù)法求解，用利用復(fù)指數(shù)法求解，用 代換代換taje taysin tBtxje)(并設(shè)方程的解為并設(shè)方程的解為 cmkjckeaBjj2222222222