第十六章振動理論基礎(chǔ)

1、12 振動是日常生活和工程實際中常見的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復(fù)擺動,汽車行駛時的顛簸，電動機(jī)、機(jī)床等工作時的振動，以及地震時引起的建筑物的振動等。 利利：振動給料機(jī) 弊弊：磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度 振動篩 引起噪聲，影響勞動條件 振動沉拔樁機(jī)等 消耗能量，降低精度等。3. 研究振動的目的研究振動的目的：消除或減小有害的振動，充分利用振動 為人類服務(wù)。 2. 振動的利弊振動的利弊：1. 所謂振動就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動。所謂振動就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動。動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)3 4. 振動的分類振動的分類： 單自由度系統(tǒng)的振動 按振動系統(tǒng)的自由度分

2、類按振動系統(tǒng)的自由度分類 多自由度系統(tǒng)的振動 彈性體的振動 按振動產(chǎn)生的原因分類按振動產(chǎn)生的原因分類： 自由振動： 無阻尼的自由振動 有阻尼的自由振動，衰減振動 強(qiáng)迫振動： 無阻尼的強(qiáng)迫振動 有阻尼的強(qiáng)迫振動 自激振動本章重點討論單自由度系統(tǒng)的自由振動和強(qiáng)迫振動。動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)4 161 單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動 162 求系統(tǒng)固有頻率的方法求系統(tǒng)固有頻率的方法 163 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動 164 單自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動單自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動 165 單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振

3、動單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動 166 臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速 減振與隔振的概念減振與隔振的概念第十六章第十六章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)動力學(xué)動力學(xué)第十六章第十六章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)5 19-1單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動 一、自由振動的概念一、自由振動的概念：動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)6 動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)7 運(yùn)動過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力恢復(fù)力。 物體受到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的振動稱為無阻尼自由振動無阻尼自由振動。 )/( 0 , )/( 0 , )/( 0

4、 , 2222222JmgamgaJlgmglmlmkxxkxxmnnnnnn 質(zhì)量質(zhì)量彈簧系統(tǒng)：彈簧系統(tǒng)： 單擺：單擺： 復(fù)擺：復(fù)擺：動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)8二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解二、單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程及其解 對于任何一個單自由度系統(tǒng)，以q 為廣義坐標(biāo)（從平衡位置開始量取 ），則自由振動的運(yùn)動微分方程必將是：0eeqkqm ke, me是與系統(tǒng)的物理參數(shù)有關(guān)的常數(shù)。令ee2n/mk則自由振動的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：則自由振動的微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：02nqq 解解為：)sin(ntAq動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)

5、機(jī)械振動基礎(chǔ)9 00n2n2020arctg , qqqqA設(shè) t = 0 時， 則可求得：00 , qqqq 或：tCtCqn2n1sincosC1，C2由初始條件決定為n02 01/ ,q CqCtqtqqnn0n0sincos 動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)10 三、自由振動的特點三、自由振動的特點： A物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。 n t + 相位，決定振體在某瞬時 t 的位置 初相位，決定振體運(yùn)動的起始位置。 T 周期，每振動一次所經(jīng)歷的時間。 f 頻率，每秒鐘振動的次數(shù)， f = 1 / T 。 固有頻率，振體在2秒內(nèi)振動的次數(shù)。 反映振動系統(tǒng)的動

6、力學(xué)特性，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。 n2Tn動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)11 無阻尼自由振動的特點是無阻尼自由振動的特點是： (2) 振幅A和初相位 取決于運(yùn)動的初始條件(初位移和初速度)；(1) 振動規(guī)律為簡諧振動；四、其它四、其它 1. 如果系統(tǒng)在振動方向上受到某個常力的作用，該常力只影響靜平衡點O的位置，而不影響系統(tǒng)的振動規(guī)律，如振動頻率、振幅和相位等。 動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)12 2. 彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效剛度21eq21stst21212211st , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkF并聯(lián)212

7、1eq21eqst21212stst1st )11()11( kkkkkkkmgkmgkkmgkmgkmg串聯(lián)并聯(lián)串聯(lián)動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)131. 由系統(tǒng)的振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式由系統(tǒng)的振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2. 靜變形法：靜變形法：3. 能量法能量法： 19-2 求系統(tǒng)固有頻率的方法求系統(tǒng)固有頻率的方法02nqq stngst：集中質(zhì)量在全部重力 作用下的靜變形n由Tmax=Vmax , 求出動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)14 如圖表示一簡支梁和懸臂梁各有一集中載荷，重量為F，位置如圖所示。已知梁的跨度為l，材料的彈性模量為E，截面慣

8、性矩為J，不計梁的質(zhì)量，求梁的固有頻率。動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)例例115簡支梁中點和懸臂梁端點的靜撓度分別為FEJl482stFEJl32st和相當(dāng)?shù)膹椈上禂?shù)分別為248lEJC 23lEJC 和則固有頻率分別為204821FlEJg20321FlEJg和解：解：動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)16 無阻尼自由振動系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。 當(dāng)振體運(yùn)動到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時，速度為零，即系統(tǒng)動能等于零，勢能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點）。 當(dāng)振體運(yùn)動到靜平衡位置時，系統(tǒng)的勢能為零，動能達(dá)到最大值。mgAAkV)(212st2st

9、max2maxst21 kAVmgk222max2121nmAxmT如：動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)17 mkkAmAVTn22n2maxmax 2121 由 能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復(fù)雜的振能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對于計算較復(fù)雜的振動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。動系統(tǒng)的固有頻率來得更為簡便的一種方法。 例例2 圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無側(cè)向擺動，且輪子與繩子間無滑動，不計繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，半徑為R，質(zhì)量為m1，重物質(zhì)量 m2 ，試列出系統(tǒng)微幅振動微分方程，求出其固有頻率。動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)18

10、解解1：以 x 為廣義坐標(biāo)（靜平衡位置為 坐標(biāo)原點）RkgRmm2)(st21gkmm221st則任意位置x 時：kxgmmxkFst22)2(21靜平衡時：動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)19 應(yīng)用動量矩定理：kxRRFgRmmMxRmmRxRmRxmRxmLAA42)()()23( 2121212112F由 ， 有)(ddFAAMtLkxRxRmm4)23(21 振動微分方程：固有頻率：21212380238mmkxmmkxn 動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)A20 解解2 ： 用機(jī)械能守恒定律 以x為廣義坐標(biāo)（取靜平衡位置為原點）2212222

11、121)23(21 21)(22121xmmxmRxRmxmT 以平衡位置為計算勢能的零位置，并注意輪心位移x時，彈簧伸長2xgxmmxkkxgxmmxkV)(22 )()2(221st2212st2st因平衡時gxmmxkt)(221s22kxV 動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)21 由 T+V= 有：constconst2)23(212221kxxmm04)23(21kxxmm 21n212380238mmkxmmkx 對時間 t 求導(dǎo)，再消去公因子 ，得x 動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)22 如圖所示兩個相同的塔輪，相嚙合的齒輪半徑皆為R，半

12、徑為r的鼓輪上繞有細(xì)繩，輪連一鉛直彈簧，輪掛一重物。塔輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量皆為J，彈簧剛度為k。重物質(zhì)量為m，求此系統(tǒng)的固有頻率。動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)例例3 xRxxr23動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)24解：解：22)(21221rxJxmT 系統(tǒng)平衡處彈簧雖有拉長，但如前所述，從平衡位置起計算彈性變形，可以不再計入重力。由幾何關(guān)系，當(dāng)重物位于x處，彈簧由平衡位置計算的變形量也是x，則系統(tǒng)的勢能為221kxV 以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取x軸如圖。重物于任意坐標(biāo)x處，速度為x的導(dǎo)數(shù)，兩塔輪的角速度皆為 。系統(tǒng)動能為rx 動力學(xué)動力學(xué)第

13、十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)xRxxr25不計摩擦，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有常數(shù)22222121kxxrJxmVT兩端對時間取一階導(dǎo)數(shù)，得0)2(2kxxrJm 上式為自由振動微分方程，系統(tǒng)固有頻率為Jmrkr2220 xRxxr動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)26 如圖所示表示以質(zhì)量為m，半徑是r的圓柱體，在一半徑是R的圓弧槽上作無滑動的滾動。求圓柱體在平衡位置附近做微小振動的固有頻率。動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)例例4 27解：解：用能量法求解這個問題。)(1rRvO 設(shè)在振動過程中，圓柱體中心與圓槽中心的連線OO1與鉛直線OA的夾角

14、為。圓柱體中心O1的線速度為由運(yùn)動學(xué)知，當(dāng)圓柱體做純滾動時，其角速度為rrR)(22222121)()2(21)(212121rrRmrrRmJmvTOO因此系統(tǒng)的動能為動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)28整理后得22)(43rRmT 系統(tǒng)的勢能即重力勢能，圓柱在最低處平衡，取該處圓心位置C為零勢能點，則系統(tǒng)的勢能為2 sin)(2) cos1)(2rRmgrRmgV22 sin當(dāng)圓柱體作微振動時，可認(rèn)為動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)因此勢能可改寫成2)(21rRmgV29設(shè)系統(tǒng)做自由振動時的變化規(guī)律為)( sin0tA則系統(tǒng)的最大動能2202ma

15、x)(43ArRmT2max)(21ArRmgV由機(jī)械能守恒定律，有Tmax=Vmax，解得系統(tǒng)的固有頻率為)( 320rRg系統(tǒng)的最大勢能動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)30 例例5 鼓輪：質(zhì)量m1，對輪心回轉(zhuǎn)半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑 r ，彈簧剛度 ，重物質(zhì)量為m2, 不計輪D和彈簧質(zhì)量，且繩索不可伸長。求系統(tǒng)微振動的固有頻率。21 , kk 解解：取靜平衡位置O為坐標(biāo)原點，取C偏離平衡位置x為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)的最大動能為：動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)31 ) )()( ( )(21 )(21212st2max21max2

16、2st2stmax21maxRkkrRgmxkkxRrRgmxkkV2max2222122max22max212max1max 21 )(21 )(21)(21xr)(Rm)R(mRxRrRmRxmxmT系統(tǒng)的最大勢能為：動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)系統(tǒng)的最大動能為：32 設(shè) 則有)sin(n Axnmaxmax , AxAx )(21 2)()(221max22n222221maxAkkVARrRmRmT根據(jù)Tmax=Vmax , 解得22221221n)()()(rRmRmRkk動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)33 19-3 單自由度系統(tǒng)的有

17、阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振動過程中，系統(tǒng)所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，由于介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。vFc投影式：xcFc c 粘性阻尼系數(shù)，簡稱阻尼系數(shù)。動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)34 二、有阻尼自由振動微分方程及其解二、有阻尼自由振動微分方程及其解： 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 2n2nxxnx mcnmk 則令有阻尼自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)35

18、其通解分三種情況討論： 1、小阻尼情形、小阻尼情形mkcn2 )(n)sin(dtAexnt22ndn有阻尼自由振動的圓頻率則時設(shè) , , , 0 00 xxxxt0022n0122n20020tan ; )(nxxnxnnxxxA動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)36 衰減振動的特點：(1) 振動周期變大，振動周期變大， 頻率減小頻率減小。mkcnnT212 22n2n22ndd阻尼比有阻尼自由振動：當(dāng) 時，可以認(rèn)為nn1TT dnd 2nd2d2d111ffTT動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)37 (2) 振幅按幾何級數(shù)衰減振幅按幾何級數(shù)衰減 對數(shù)

19、減縮率212lnln2d1dnTeAAnTii2、臨界阻尼情形、臨界阻尼情形 臨界阻尼系數(shù)) 1 , (nnmkc2c)(000tnxxxexnt) , , 0(00 xxxxt 時dd)(1nTTtnntiieAeeAAAii相鄰兩次振幅之比動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)38 可見，物體的運(yùn)動隨時間的增長而無限地趨向平衡位置，不再具備振動的特性。 )(2n22n221 tn tnnteCeCex代入初始條件) , , 0(00 xxxxt 時2n2002n222n202n2012)( ; 2)(nxxnnCnxnnxC) 1 , (nn)(ccc 3、過阻尼（大阻尼）

20、情形、過阻尼（大阻尼）情形 所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時間的增長，x 0，不具備振動特性。動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)39 例例6 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，P=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系數(shù)c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe2nndn1220205lnT由于 很小，405ln)s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stPgPmkc動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)40 如圖所示為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭

21、轉(zhuǎn)剛度為kt ，圓盤對桿軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。如圓盤外緣受到與轉(zhuǎn)動速度成正比的切向阻力，而圓盤衰減扭振的周期為Td 。求圓盤所受阻力偶矩系數(shù)。kt動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)例例7 41動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)42解： tkJ 盤外緣切向阻力與轉(zhuǎn)動速度成正比，則此阻力偶矩M與角速度成正比，且方向相反。設(shè)M=， 為阻力偶系數(shù)，圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動微分方程為或0tJkJ 2td)2(2JJkT由上式解出阻力偶系數(shù)22t2dd42JJkTT可得衰減振動周期動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)43 19-4 單自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動單

22、自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動一、強(qiáng)迫振動的概念一、強(qiáng)迫振動的概念 強(qiáng)迫振動：在外加激振力作用下的振動。 簡諧激振力： 激振力的初相位 H力幅； 激振力的圓頻率 。)sin(tHF)sin(tHkxxm 則令 , 2mHhmkn)sin(2thxxn 無阻尼強(qiáng)迫振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二、無阻尼強(qiáng)迫振動微分方程及其解二、無阻尼強(qiáng)迫振動微分方程及其解動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)44 21xxx)sin()sin(2n1tbxtAx為對應(yīng)齊次方程的通解為特解)sin( , 22n222nthxhb)sin()sin(22nnthtAx全解為：穩(wěn)態(tài)

23、強(qiáng)迫振動 3、強(qiáng)迫振動的振幅大小與運(yùn)動初始條件無關(guān)，而與振動系統(tǒng) 的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動的主要特性三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動的主要特性：1、在簡諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動亦為簡諧振動。2、強(qiáng)迫振動的頻率等于簡諧激振力的頻率，與振動系統(tǒng)的 質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)45(1) =0時kHhb2n0 (2) 時，振幅 b隨 增大而增大；當(dāng) 時，n bn(3) 時，振動相位與激振力相位反相，相差 。rad n22nhb b 隨 增大而減小； 0 ; , 20nbbb時時 振幅比或稱動力系數(shù) 頻率比 曲線 幅頻響應(yīng)曲線

24、（幅頻特性曲線）1動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)46 4、共振現(xiàn)象 , n時b，這種現(xiàn)象稱為共振。此時，)cos(n2tBtx)cos(2 2 , 2 nn2nnttbxthbhB動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)47 如圖表示帶有偏心塊的電動機(jī)，固定在一根彈性梁上。設(shè)電機(jī)的質(zhì)量為 m1，偏心塊的質(zhì)量為m2，偏心距為e，彈性梁的剛度系數(shù)為k，求當(dāng)電機(jī)以角速度勻速旋轉(zhuǎn)時系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。t動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)例例8 48t解：解： 將電機(jī)與偏心塊看成一質(zhì)點系。設(shè)電機(jī)軸心在瞬時t 相對其平衡位置O的坐標(biāo)為x，則偏心塊的

25、x坐標(biāo)應(yīng)為x+esint。此時作用在系統(tǒng)上的恢復(fù)力為-kx。列出質(zhì)點系動量定理的微分形式kxvmtixiddkxtextmtxmt)sin(dddddd21得動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)49t整理后得微分方程temkxxmm sin)(2221 則2122mmemh受迫振動振幅22122220)(mmkemhb動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)50 如圖所示為一無重剛桿AO，桿長為l，其一端O鉸支，另一端A水平懸掛在剛度為k的彈簧上，桿的中點裝有一質(zhì)量m為的小球。若在點A加一激振力F=F0sin t，其中激振力的頻率= 0/2， 0為系統(tǒng)的固有頻率

26、。忽略阻尼，求系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。mAO2l2lk動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)例例9 51動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)52mAO2l2lk解：解： 設(shè)任一瞬時杠桿的擺角為 ，根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動微分方程可以建立系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程，為tlFkllmsin)2(022 令mlFlmlFhmklmkl02022204)2(,4)2(thsin20 則上述微分方程可以整理為動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)53mAO2l2lkthsin20 上述方程的特解，即受迫振動為thsin220將 =0/2 代入上式，可解得thsin4320tmk

27、mlFsin44340tklFsin340動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)54 19-5 單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動一、有阻尼強(qiáng)迫振動微分方程及其解一、有阻尼強(qiáng)迫振動微分方程及其解tHFxcFkxFksin , , ctHxckxxmsin 將上式兩端除以m ，并令mHhmcnmk ; 2 ; 2nthxxnxnsin22 有阻尼強(qiáng)迫振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微分方程。21xxx動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)55 x1是齊次方程的通解)02(2nxxnx 小阻尼：)sin(22n1tAexnt（A、 積分

28、常數(shù)，取決于初始條件）x2 是特解：)sin(2tbx代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理22n22222n2tan4)(nnhb 強(qiáng)迫振動的振幅 強(qiáng)迫振動相位滯后激振力相位角振動微分方程的全解為)sin()sin(22ntbtAexnt 衰減振動 強(qiáng)迫振動動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)56 振動開始時，二者同時存在的過程瞬態(tài)過程。僅剩下強(qiáng)迫振動部分的過程穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。 n0n ; , nbb令 頻率比 振幅比 阻尼比因此：2222212 tan; 4)1 (1二、阻尼對強(qiáng)迫振動的影響二、阻尼對強(qiáng)迫振動的影響1、振動規(guī)律 簡諧振動。2、頻率： 有阻尼強(qiáng)迫振動的頻率，等于激

29、振力的頻率。3、振幅)sin(2tbx動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)57 (1) , 1 , )( 1n時可不計阻尼。 , 0bb(2) , 0 , )( 1n時阻尼也可忽略。時時0.70 , )( 1n(3) 阻尼對振幅影響顯著。一定時，阻尼增大，振幅顯著下降。2n22n212 , 0dd nb得由共振頻率此時：20max22nmax12 2bbnnhb或動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)58 2 , , 10maxnbb 時當(dāng)4、相位差有阻尼強(qiáng)迫振動相位總比激振力滯后一相位角， 稱為相位差。212tan(1) 總在0至 區(qū)間內(nèi)變化。(2) 相頻曲

30、線（ - 曲線）是一條單調(diào)上升的曲線。 隨 增 大而增大。(3) 共振時 =1， ，曲線上升最快，阻尼值不同的曲線， 均交于這一點。(4) 1時， 隨 增大而增大。當(dāng) 1時 ，反相。2動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)59 例例10 已知P=3500N，k=20000N/m , H=100N, f=2.5Hz , c=1600Ns/m , 求b, ,強(qiáng)迫振動方程。解解：rad/s 58.1035008 . 92000022eqnPkgmkm 105 . 220000210023eq0kHkHb動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ) ; 212. 058.10

31、24. 2rad/s 24. 28 . 9/3500216002nnmcn60 mm 84. 15 . 2736. 0736. 0485. 1212. 04)485. 11 (14)1 (102222222bb)847. 05sin(84. 1847. 0522. 0)1/(2tan22tx動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)485. 158.105 . 222 ; 212. 058.1024. 2rad/s 24. 28 . 9/3500216002nnnfnmcn61 如圖所示為一無重剛桿。其一端鉸支，距鉸支端l處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，距2l處有一阻尼器，其阻尼系數(shù)為c，距3l處有一剛度為k的彈簧，并作用一簡諧振力F=F0sin t。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率0，以及當(dāng)激振力頻率 等于0 時質(zhì)點的振幅。mlllkc動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)例例11 62解解: 設(shè)剛桿在振動時的擺角為 ，由剛體轉(zhuǎn)動微分方程可建立系統(tǒng)的振動微分方程為tlFklclml sin3940222 整理后得tmlFmkmc sin3940 mlFhmcnmk00329令 動力學(xué)動力學(xué)第十九章第十九章 機(jī)械振動基礎(chǔ)機(jī)械振動基礎(chǔ)mlllkc63mlFhmcnmk0n3290 即系統(tǒng)的固有頻率，當(dāng) =0 時，其擺角 的振