考研數(shù)學(xué)概率論總結(jié)(強烈推薦)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上考研數(shù)學(xué)概率論部分重難點總結(jié)概率論是考研數(shù)學(xué)必須全得的分?jǐn)?shù)，其實概率論也是考驗數(shù)學(xué)三駕馬車中最簡單的一門，代數(shù)是最難的一門，因此，學(xué)好概率論是考驗數(shù)學(xué)的必須部分。下面進行總結(jié)1.1 概率這門課的特點與線性代數(shù)一樣，概率也比高數(shù)容易，花同樣的時間復(fù)習(xí)概率也更為劃算。但與線代一樣，概率也常常被忽視，有時甚至被忽略。一般的數(shù)學(xué)考研參考書是按高數(shù)、線代、概率的順序安排的，概率被放在最后，復(fù)習(xí)完高數(shù)和線代以后有可能時間所剩無多；而且因為前兩部分分別占60%和20的分值，復(fù)習(xí)完以后多少會有點滿足心理；這些因素都可能影響到概率的復(fù)習(xí)。概率這門課如果有難點就應(yīng)該是“記憶量大”。在高數(shù)

2、部分，公式、定理和性質(zhì)雖然有很多，但其中相當(dāng)大一部分都比較簡單，還有很多可以借助理解來記憶；在線代部分，需要記憶的公式定理少，而需要通過推導(dǎo)相互聯(lián)系來理解記憶的多，所以記憶量也不構(gòu)成難點；但是在概率中，由大量的概念、公式、性質(zhì)和定理需要記清楚，而且若靠推導(dǎo)來記這些點的話，不但難度大耗時多而且沒有更多的用處（因為概率部分考試時對公式定理的內(nèi)在推導(dǎo)過程及聯(lián)系并沒有什么要求，一般不會在更深的層次上出題）。記得當(dāng)初看到陳文燈復(fù)習(xí)指南概率部分第二章隨機變量及其分布、第三章隨機變量的數(shù)字特征中在每章開始列出的那些大表格時，感覺其中必然會有很多內(nèi)容是超綱的、不用細(xì)看；但后來復(fù)習(xí)時才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少

3、之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。所以對于概率部分相當(dāng)多的內(nèi)容都只能先死記硬背，然后通過足量做題再來牢固掌握，走一條“在記憶的基礎(chǔ)上理解”的路。記牢公式性質(zhì)，同時保證足夠的習(xí)題量，考試時概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。1.2 概率第一章隨機事件和概率本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。雖然對于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時難題很少。填空、選擇常考關(guān)于事件概率運算的題目，大多圍繞形如、這樣的式子利用各種概率運算公式求解；其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。在“概率事件的關(guān)系及運算”部分有很多公式可以借助畫集合運算圖來輔助做題，比

4、如事件若與事件有包含關(guān)系，則可作圖長方形內(nèi)的點都屬于的范圍，圓形則代表的范圍。這樣一來即易看出事件包含關(guān)系的定義“發(fā)生時必發(fā)生，發(fā)生時不一定發(fā)生”；事件與的并可作圖，則是、兩個圓形（包含相交部分），對于這個大圖形中的任意一點來說，不是屬于就是屬于，體現(xiàn)了 “事件與至少有一個發(fā)生”的定義；同理，事件與的差表示事件與同時發(fā)生，在上圖中所有滿足條件的點組成了兩圓相交的那一部分。對于其它的概率運算公式也可用圖輔助理解，有的題甚至可以直接通過作圖來得到答案。如公式可以借助右圖表示公式左端的等于、三個圓形各自互不相交的三部分再加上四小部分，而公式右端中的代表的區(qū)域包括、各自互不相交的三部分，比左端多加了一

5、次和兩次，這時等式是不平衡的；再減去即是，與公式左端所代表的圖形相比只少了一塊，加上即可，故再加后等式成立。區(qū)別互斥、互逆、對立與不相容：事件與事件互斥也叫與不相容，即，事件與事件對立就是與互逆，即為與的關(guān)系。公式組在歷年考研真題中頻繁用到，很多題利用這三個公式間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系很容易求得答案。這三個公式的含義從直觀上就能理解：公式（1）表示事件、同時發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率減去發(fā)生而不發(fā)生的概率；（2）式表示事件、同時發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率乘以在發(fā)生的條件下也發(fā)生的概率；當(dāng)、相互獨立時，也就是指事件與事件的發(fā)生互不影響，此時應(yīng)該有、所以由（2）式即可得出（3）式。出題人從這三個公式意義上的相

6、通性出發(fā)可以很靈活地構(gòu)造題目，在后面的評題中會對這個知識點作更具體的討論。1.3 第二章隨機變量及其分布、第三章隨機變量的數(shù)字特征、第四章大數(shù)定律和中心極限定理對于這一部分的復(fù)習(xí)可說的東西不多，因為在考試中出現(xiàn)的概率題目其實有相當(dāng)大一部分難度是被解題所用的繁雜公式“分走”了，既然理解、掌握和牢記公式本身就不容易，那么題目的結(jié)構(gòu)相對而言就要簡單一些，我們甚至?xí)l(fā)現(xiàn)歷年真題中的有的題就像是課本上的例題一樣。這種情況有點像我們在英語考試中作閱讀理解題，問題本身的含義并不復(fù)雜，難就難在文章中的單詞“似曾相識”和句子看不懂上。而英國學(xué)生考“語文”時做的閱讀理解問題肯定要比我們遇到的題目要復(fù)雜深入的多因為

7、考察的重點不一樣。所以對于概率部分的復(fù)習(xí)，有兩個步驟即可：首先是牢記公式，然后是把題做熟,在練習(xí)過程中透徹理解概念公式和性質(zhì)定理。陳文燈復(fù)習(xí)指南概率第二、三章把知識點列成了大表格，所有東西一目了然，復(fù)習(xí)時用來記憶和對比很方便。對于第二章的大表格也可以利用各部分之間的聯(lián)系來對照復(fù)習(xí)，比如說二維分布的性質(zhì)基本上與一維分布的性質(zhì)一一對應(yīng)（類似于二重積分和定積分性質(zhì)之間的關(guān)系），二維邊沿分布的內(nèi)容與一維分布本質(zhì)上也是相通的，離散型和連續(xù)型分布的各知識點也可互相對比、區(qū)別記憶。也就是“一維和二維相聯(lián)系、離散和連續(xù)相對比、隨機變量分布和隨機變量函數(shù)的分布相區(qū)別”。同時對于重要分布如二項、泊松、正態(tài)、均勻、

8、指數(shù)分布必需記得非常牢，因為考試時會直接拿這些分布做題干來考察各章知識點，萬一出現(xiàn)“由于題干中的分布函數(shù)不會寫或?qū)戝e而導(dǎo)致整道大題知道怎么做也沒法做”的情況將是非?？上У?。本章的一維連續(xù)分布和二維離散分布在歷年真題中出現(xiàn)頻率最高，最常考分布是均勻、指數(shù)和正態(tài)分布。對于一維連續(xù)型分布的性質(zhì)可借助圖像理解因為分布函數(shù)，所以分別可用圖中的陰影部分表示，容易看出多條性質(zhì)，包括、等；而且在具體做題時用圖像輔助理解也很有效，比如頻繁在真題中出現(xiàn)的正態(tài)分布，作圖輔助解題的效果更為明顯。陳文燈復(fù)習(xí)指南第三章隨機變量的數(shù)字特征也是用表格說話的，同樣需要認(rèn)真記好。本章在歷年真題中最常出現(xiàn)的題目考察點是幾個重點公式

9、，尤其是式子，大小題都可能利用這一式子的左端或右端出題而以另一端設(shè)置答案。還有數(shù)學(xué)期望與方差的定義及性質(zhì)也是考察重點，可由下表對比記憶：數(shù)學(xué)期望方差（連續(xù)型） 若、相互獨立，則有、（歷年真題不止一次利用這個點作為填空和選擇題中的小陷阱，因為一不留神就會寫成，正如一樣，但實際上）若、相互獨立，則有無對應(yīng)性質(zhì)若、相互獨立則同時具有以下4條性質(zhì)：1. 2.3. 4. ，利用各式定義可以推導(dǎo)出來?？荚嚧缶V對第四章大數(shù)定理和中心極限定理的要求是：“了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律，了解格林定理和林莫佛定理”。這三個“了解”在歷年真題中的體現(xiàn)就是本章內(nèi)容幾乎是不考的，

10、只出現(xiàn)過直接考察公式定義的小題。同時本章的幾個公式、定理也不好記，推導(dǎo)就更不是什么簡單任務(wù)了。即便如此，以上的信息也還是不能成為放棄這一章的理由，因為對于這樣“又難、大綱要求又低”的知識點考試時出題的深度也會是最淺的。如在真題中出現(xiàn)過的一個本章的填空題幾乎就是直接考察切比雪夫不等式的公式本身，這樣的情況對于難度低的知識點和重要知識點來說是絕不可能出現(xiàn)的，比如若你在06年考研數(shù)學(xué)試卷上見到一道填空題是讓填出這個公式的話，那你肯定是把題義理解錯了。所以花時間記住這幾個公式其實是比較劃算的，因為如果考試出一道有關(guān)的填空題，4分的得失將完全取決于記沒記住公式。這樣的4分當(dāng)然要比在大題中絞盡腦汁得到的4

11、分好拿的多。從另一方面說，這些定理也是可以理解的：本章所有的大數(shù)定理都是指在獨立同分布且存在數(shù)學(xué)期望的條件下若干隨機變量的平均值依概率收斂到均值的期望，即。因為獨立同分布，所以有，故有公式右側(cè)，應(yīng)有，即為辛欽大數(shù)定律；若用表示在n重伯努利試驗中事件的發(fā)生次數(shù)則可得到伯努利大數(shù)定律。通過以上的分析可以減少一些死記硬背的難度。1.4 概率第五章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、第六章參數(shù)估計、第七章假設(shè)檢驗數(shù)理統(tǒng)計部分在考研數(shù)學(xué)試卷中占有概率部分1/3的分值，這一部分考點較少，參數(shù)估計最為重要，其次是樣本與抽樣分布，假設(shè)檢驗部分則很少考到。對于參數(shù)估計部分，需要記清楚據(jù)估計和極大似然估計各自的步驟，然后通過足量

12、做題來熟練掌握；對于樣本與抽樣分布，重要的是分布、t分布和F分布各自的條件和結(jié)論公式 ，在歷年真題中考察過； 對于假設(shè)檢驗，大綱要求為：“1.理解顯著性檢驗的基本思想，掌握假設(shè)檢驗的基本步驟，了解假設(shè)檢驗可能產(chǎn)生的兩類錯誤”。可見大綱對于假設(shè)檢驗的要求還是較高的，但往年出題不多，不知道會不會在以后的考試中加大考察力度。概率這門課的全稱是概率論和數(shù)理統(tǒng)計，數(shù)理統(tǒng)計是對概率論的實際應(yīng)用，而概率論則充當(dāng)了理論基礎(chǔ)的角色。數(shù)理統(tǒng)計中的統(tǒng)計量如樣本均值、樣本方差等的概念性質(zhì)都能在概率論中找到出發(fā)點。其實，數(shù)理統(tǒng)計就是一個先對隨機變量做實際觀測得到一系列具體數(shù)據(jù)，再利用“樣本與抽樣分布”部分的公式歸納出樣

13、本均值、方差等統(tǒng)計量，在此基礎(chǔ)上利用參數(shù)估計等方法推斷出隨機變量整體分布和數(shù)學(xué)特征的過程。 參數(shù)估計中的矩估計法就是令總體矩與樣本矩相等，建立等式以求出總體矩；極大似然估計中的似然函數(shù)就是指樣本取觀察值的概率，自然應(yīng)等于，其值越大就說明越有利于使者組樣本值出現(xiàn)，故極大似然估計法要求求出使取最大值的作為參數(shù)的估計量。分析理解一下概率論和數(shù)理統(tǒng)計的前后聯(lián)系可以起到“在大腦中進行數(shù)據(jù)壓縮”的作用，而且這兩部分的題目應(yīng)該可以相互結(jié)合，從近年來的真題中可以隱隱約約感受到這種趨勢。1.5 知識點總結(jié)第1章 隨機事件及其概率（1）排列組合公式 從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。 從m個人中挑出n個人進行

14、組合的可能數(shù)。（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n 種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n 種方法來完成，則這件事可由m×n 種方法來完成。（3）一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對立事件（至少有一個）順序問題（4）隨機試驗和隨機事件如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗

15、為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，表示事件，它們是的子集。為必然事件，Ø為不可能事件。不可能事件（Ø）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率為1，而概率為1的事件也不一

16、定是必然事件。（6）事件的關(guān)系與運算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時有，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=Ø，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＿\算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(B

17、C)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：1° 0P(A)1， 2° P() =13° 對于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（8）古典概型1° ，2° 。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)= =（9）幾何概型若隨機試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型

18、。對任一事件A，。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=時，P()=1- P(B)（12）條件概率定義 設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)>0

19、，則有。（14）獨立性兩個事件的獨立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。必然事件和不可能事件Ø與任何事件都相互獨立。Ø與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1°兩兩互不相容，2°，則有。（16）貝葉斯公式設(shè)事件，及滿足1°

20、，兩兩互不相容，>0，1，2，2° ，則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗概率。，（，），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17）伯努利概型我們作了次試驗，且滿足u 每次試驗只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u 次試驗是重復(fù)進行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u 每次試驗是獨立的，即每次試驗發(fā)生與否與其他次試驗發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。用表示每次試驗發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率，。第二章 隨機變量及其分布（1）離散型隨機變量的分布律設(shè)離散

21、型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,，則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）， （2）。（2）連續(xù)型隨機變量的分布密度設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對任意實數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1° 。2° 。（3）離散與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機變量，是任意

22、實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機變量落入?yún)^(qū)間（ ，x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1° ；2° 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有 ；3° ， ；4° ，即是右連續(xù)的；5° 。對于離散型隨機變量，；對于連續(xù)型隨機變量， 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。當(dāng)時，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的

23、特例。泊松分布設(shè)隨機變量的分布律為，則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布（np=，n）。超幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p0，q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機變量的值只落在a，b內(nèi)，其密度函數(shù)在a，b上為常數(shù)，即 axb 其他，則稱隨機變量在a，b上服從均勻分布，記為XU(a，b)。分布函數(shù)為  axb 0， x<a，   1， x>b。 當(dāng)ax1<x2b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指

24、數(shù)分布 , 0, ,   其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x<0。    記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1° 的圖形是關(guān)于對稱的；2° 當(dāng)時，為最大值；若，則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，則。 （6）分位數(shù)下分位表：；上分位表

25、：。（7）函數(shù)分布離散型已知的分布列為 ，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)P(g(X)y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章 二維隨機變量及其分布（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件=的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： YXy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1

26、這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1） f(x,y)0;（2） （2）二維隨機變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（X，Y）為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的

27、概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時，有F（x2,y）F(x1,y);當(dāng)y2>y1時，有F(x,y2) F(x,y1);（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對于.（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為

28、（7）獨立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機變量的函數(shù)若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互獨立， h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,Xm）和g（Xm+1,Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。（8）二維均勻分布設(shè)隨機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中SD為區(qū)域D的面積，則稱（X，Y）服從D上的均勻分布，記為（X，Y）U（D）。例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。y1 D1O 1 x圖3.

29、1yD211 O 2 x圖3.2yD3dcO a b x圖3.3（9）二維正態(tài)分布設(shè)隨機向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為其中是5個參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，記為（X，Y）N（由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即XN（但是若XN（，(X，Y)未必是二維正態(tài)分布。（10）函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：對于連續(xù)型，fZ(z)兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。， Z=max,min(X1,X2,Xn)若相互獨立，其分布函數(shù)分別為，則Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)為：分布設(shè)n個隨機變

30、量相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機變量W服從自由度為n的分布，記為W，其中所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布設(shè)，且X與Y獨立，可以證明的概率密度函數(shù)為我們稱隨機變量F服從第一個自由度為n1，第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).第四章 隨機變量的數(shù)字特征（1）一維隨機變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機變量，其分布律為P()pk，k

31、=1,2,n，（要求絕對收斂）設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x)，（要求絕對收斂）函數(shù)的期望Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2，標(biāo)準(zhǔn)差， 矩對于正整數(shù)k，稱隨機變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點矩，記為vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=， k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點矩，記為vk,即k=E(Xk)= k=1,2, .對于正整數(shù)k，稱隨機變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即=k=1,2, .切比雪

32、夫不等式設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=，方差D（X）=2，則對于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率的一種估計，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。（3）方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（

33、5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨立； 充要條件：X和Y不相關(guān)。 D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E(X-E(X)(Y-E(Y)，無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無條件成立。（4）常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)（5）二維隨機變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望方差協(xié)方差對于隨機變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號相對應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對于隨機變量X與

34、Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時可簡記為）。|1，當(dāng)|=1時，稱X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)而當(dāng)時，稱X與Y不相關(guān)。以下五個命題是等價的：；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點矩，記為；k+l階混合中心矩記為：（6）協(xié)方差的性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1

35、,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）獨立和不相關(guān)（i） 若隨機變量X與Y相互獨立，則；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（），則X與Y相互獨立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理（1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機變量X1，X2，相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D（Xi）<C(i=1,2,),則對于任意的正數(shù)，有特殊情形：若X1，X2，具有相同的數(shù)學(xué)期望E（XI）=，則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)，有伯努利大數(shù)定律說明，

36、當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1，X2，Xn，是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E（Xn）=，則對于任意的正數(shù)有（2）中心極限定理列維林德伯格定理設(shè)隨機變量X1，X2，相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機變量的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)x，有此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普拉斯定理設(shè)隨機變量為具有參數(shù)n, p(0<p<1)的二項分布，則對于任意實數(shù)x,有（3）二項定理若當(dāng)，則超幾何分布的極限分布為二項分布。（4）泊松定理若當(dāng)，則其中k=0，1，2

37、，n，。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章 樣本及抽樣分布（1）數(shù)理統(tǒng)計的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量（或隨機向量）。個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，表示n個隨機變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計量設(shè)為

38、總體的一個樣本，稱（）為樣本函數(shù)，其中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（）為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計量及其性質(zhì)樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點矩樣本k階中心矩，,其中，為二階中心矩。（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)t分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。F分布設(shè)為來自正態(tài)總體的一個樣本，而為來自正態(tài)總體的一個樣本，則樣本函數(shù)其中表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。（3）正態(tài)總體下分布的性質(zhì)與獨立。第七章 參數(shù)估計（1）點

39、估計矩估計設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)，則其分布函數(shù)可以表成它的k階原點矩中也包含了未知參數(shù)，即。又設(shè)為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)即為參數(shù)（）的矩估計量。若為的矩估計，為連續(xù)函數(shù)，則為的矩估計。極大似然估計當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機變量時，設(shè)其分布密度為，其中為未知參數(shù)。又設(shè)為總體的一個樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機變量時，設(shè)其分布律為，則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)在處取到最大值，則稱分別為的最大似然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量稱為最大似然估計量。若為的極大似然估計，為單調(diào)函數(shù)，則為的極大似然估計。（2）估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)無偏性設(shè)為未知參數(shù)的估計量。