第一章利息理論年金問(wèn)題ppt課件

1、保 險(xiǎn) 精 算 學(xué)保 險(xiǎn) 精 算 學(xué)A c t u a r i a l S c i e n c e單 位：廣東醫(yī)人文管理院主講教師：曾理斌聯(lián)絡(luò)方式：andrewzeng2019hotmail第三節(jié)第三節(jié)年金年金第三節(jié)漢英名詞對(duì)照第三節(jié)漢英名詞對(duì)照n年金n支付期n延付年金n初付年金n永久年金n變額年金n遞增年金n遞減年金nAnnuitynPayment periodnAnnuity-immediatenAnnuity-duenperpetuitynVarying annuitynIncreasing annuitynDecreasing annuity一、年金的定義與分類一、年金的定義與分類n定

2、義定義n按一定的時(shí)間間隔支付的一系列付款稱為年金。按一定的時(shí)間間隔支付的一系列付款稱為年金。原始含義是限于一年支付一次的付款，現(xiàn)已推行原始含義是限于一年支付一次的付款，現(xiàn)已推行到恣意間隔長(zhǎng)度的系列付款。到恣意間隔長(zhǎng)度的系列付款。n分類分類n根本年金根本年金n等時(shí)間間隔付款等時(shí)間間隔付款n付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致n每次付款金額恒定每次付款金額恒定n普通年金普通年金n不滿足根本年金三個(gè)約束條件的年金即為普通年不滿足根本年金三個(gè)約束條件的年金即為普通年金金二、根本年金二、根本年金n根本年金根本年金n等時(shí)間間隔付款等時(shí)間間隔付款n付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致付款頻率與利息轉(zhuǎn)換

3、頻率一致n每次付款金額恒定每次付款金額恒定n分類分類n付款時(shí)辰不同：初付年金付款時(shí)辰不同：初付年金/延付年金延付年金n付款期限不同：有限年金付款期限不同：有限年金/永久年金永久年金根本年金圖示根本年金圖示1.延付年金期末付年金延付年金期末付年金2nnavvvna記：延付年金現(xiàn)值2.初付年金期初付年金初付年金期初付年金na 記：延付年金現(xiàn)值根本年金公式推導(dǎo)根本年金公式推導(dǎo)211(1)1111(1)1(1)(1)11(1)(1)1(1)1(1)(1)(1)(1)11limlim11limlimnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnvvvavvvvivavvi adiisiiiiisiii

4、 sdvaaiivaadd 年金現(xiàn)值與累積值的關(guān)系年金現(xiàn)值與累積值的關(guān)系111111(1)11nnnnnnnnniasdasaaiass例例1.11n一項(xiàng)年金在一項(xiàng)年金在20年內(nèi)每半年末付年內(nèi)每半年末付500元，設(shè)元，設(shè)利率為每半年轉(zhuǎn)換利率為每半年轉(zhuǎn)換9%，求此項(xiàng)年金的現(xiàn)，求此項(xiàng)年金的現(xiàn)時(shí)值。時(shí)值。400.0451.11500500 18.40169200.8a例答案：例例1.12 n某人以月度轉(zhuǎn)換名義利率某人以月度轉(zhuǎn)換名義利率5.58%從銀行貸從銀行貸款款30萬(wàn)元，方案在萬(wàn)元，方案在15年里每月末等額歸還。年里每月末等額歸還。問(wèn)：?jiǎn)枺?他每月等額還款額等于多少？他每月等額還款額等于多少？2假

5、設(shè)他想在第五年末提早還完貸款，假設(shè)他想在第五年末提早還完貸款，問(wèn)除了該月等額還款額之外他還需一次性問(wèn)除了該月等額還款額之外他還需一次性付給銀行多少錢？付給銀行多少錢？例例1.12答案答案122464300000%465.01215RRa04.22621500465.130000004.226215%465.0606060%465.012060RsPVRaPV或者例例1.13n假定如今起立刻開(kāi)場(chǎng)每假定如今起立刻開(kāi)場(chǎng)每6個(gè)月付款個(gè)月付款200直到直到滿滿4年，隨后再每年，隨后再每6個(gè)月付款個(gè)月付款100直到從如直到從如今起滿今起滿10年，假設(shè)年，假設(shè)n n 求這些付款的現(xiàn)時(shí)值。求這些付款的現(xiàn)時(shí)值。

6、06. 0)2(i例例1.13答案答案n方法一：方法一：n方法二：方法二：88 0.0312 0.032001001446.06809.352255.41ava8 0.0320 0.03100100723.03 1532.382255.41aa例例1.14n某人在某人在30歲時(shí)方案每年初存入銀行歲時(shí)方案每年初存入銀行300元元建立個(gè)人帳戶，假設(shè)他在建立個(gè)人帳戶，假設(shè)他在60歲退休，存款歲退休，存款年利率假設(shè)恒定為年利率假設(shè)恒定為3。n1求退休時(shí)個(gè)人帳戶的積累值。求退休時(shí)個(gè)人帳戶的積累值。n2假設(shè)個(gè)人帳戶積累值在退休后以固定假設(shè)個(gè)人帳戶積累值在退休后以固定年金的方式在年金的方式在20年內(nèi)每年領(lǐng)取

7、一次，求每年內(nèi)每年領(lǐng)取一次，求每年可以領(lǐng)取的數(shù)額。年可以領(lǐng)取的數(shù)額。例例1.14答案答案1退休時(shí)個(gè)人帳戶積累值計(jì)算退休時(shí)個(gè)人帳戶積累值計(jì)算2退休后每年可領(lǐng)取退休金退休后每年可領(lǐng)取退休金30303%1.031300300147000.03/1.03s30303%20303%203%203%300300(1.031)300959.341 1.03ssXaXa例例1.15n有一企業(yè)想在一學(xué)校設(shè)立一永久獎(jiǎng)學(xué)金，有一企業(yè)想在一學(xué)校設(shè)立一永久獎(jiǎng)學(xué)金，假設(shè)每年發(fā)出假設(shè)每年發(fā)出5萬(wàn)元獎(jiǎng)金，問(wèn)在年本質(zhì)利率萬(wàn)元獎(jiǎng)金，問(wèn)在年本質(zhì)利率為為20%的情況下，該獎(jiǎng)學(xué)金基金的本金至的情況下，該獎(jiǎng)學(xué)金基金的本金至少為多少？少為

8、多少？0 .2552 50 .2Pa例例1.16永久年金永久年金nA留下一筆留下一筆100000元的遺產(chǎn)。這筆財(cái)富頭元的遺產(chǎn)。這筆財(cái)富頭10年的利息付給受害人年的利息付給受害人B，第，第2個(gè)個(gè)10年的年的利息付給受害人利息付給受害人C，以后的利息都付給慈悲，以后的利息都付給慈悲機(jī)構(gòu)機(jī)構(gòu)D。假設(shè)此項(xiàng)財(cái)富的年本質(zhì)利率為。假設(shè)此項(xiàng)財(cái)富的年本質(zhì)利率為7%，試確定試確定B，C，D在此筆財(cái)富中各占多少份在此筆財(cái)富中各占多少份額？額？例例1.16答案答案25842)(7000:24993)(7000:4946570007000%710000007. 02007. 007. 01007. 02007. 010

9、aaDaaCaBI：根本年金公式總結(jié)根本年金公式總結(jié)年金年金有限年金有限年金永久年金永久年金現(xiàn)時(shí)值現(xiàn)時(shí)值積累值積累值現(xiàn)時(shí)值現(xiàn)時(shí)值延付延付初付初付ivann1iisnn1)1 (dvann1 disnn1)1 ( ia1da1 未知時(shí)間問(wèn)題未知時(shí)間問(wèn)題n年金問(wèn)題四要素年金問(wèn)題四要素n年金、利率、支付時(shí)期次數(shù)、積累值年金、利率、支付時(shí)期次數(shù)、積累值現(xiàn)時(shí)值現(xiàn)時(shí)值n關(guān)注最后一次付款問(wèn)題關(guān)注最后一次付款問(wèn)題n在最后一次正規(guī)付款之后，下一個(gè)付款期在最后一次正規(guī)付款之后，下一個(gè)付款期做一次較小付款做一次較小付款drop paymentn在最后一次正規(guī)付款的同時(shí)做一次附加付在最后一次正規(guī)付款的同時(shí)做一次附加付

10、款款balloon paymentnRR nRR 例例1.17n有一筆有一筆1000元的投資用于每年年底付元的投資用于每年年底付100元，元，時(shí)間盡能夠長(zhǎng)。假設(shè)這筆基金的年本質(zhì)利率為時(shí)間盡能夠長(zhǎng)。假設(shè)這筆基金的年本質(zhì)利率為5%，試確定可以作多少次正規(guī)付款以及確定較，試確定可以作多少次正規(guī)付款以及確定較小付款的金額，其中假定較小付款是：小付款的金額，其中假定較小付款是：n1在最后一次正規(guī)付款的日期支付。在最后一次正規(guī)付款的日期支付。n2在最后一次正規(guī)付款以后一年支付在最后一次正規(guī)付款以后一年支付n3按精算公式，在最后一次付款后的一年中按精算公式，在最后一次付款后的一年中間支付。精算時(shí)辰間支付。精

11、算時(shí)辰例例1.17答案答案0.05141414 0.0514141415141414 0.050.2114.2114100100014.21(1)1000(1.05)10020.07120.07()(2)20.071.0521.07()(3)1000(1.05)10020.071.0520.27nanFDsRRFDballoon paymentFDRFDdrop paymentFDsRFD變利率年金問(wèn)題變利率年金問(wèn)題n類型一：時(shí)期利率類型一：時(shí)期利率(第第K個(gè)時(shí)期利率為個(gè)時(shí)期利率為 )ki11111111212111111111(1)(1) (1)(1) (1)(1)(1)(1)(1)(1)(

12、1)(1)(1)(1)nntnstsnnnnnntnn stsaiiiiiiisiiiiiii 變利率年金問(wèn)題變利率年金問(wèn)題n類型二：付款利率第類型二：付款利率第K次付款的年金一次付款的年金一直以利率直以利率 計(jì)息計(jì)息ki1212121111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)nntntntnntnnn tntaiiiisiiii 例例1.18:n某人每年年初存進(jìn)銀行某人每年年初存進(jìn)銀行1000元元,前前4年的年年的年利率為利率為6%,后后6年由于通貨膨脹率年由于通貨膨脹率,年利率年利率升到升到10%,計(jì)算第計(jì)算第10年年末時(shí)存款的積累年年末時(shí)存款的積累值值.例例1.18答案答案0

13、6.1670217.848789.8217:17.8487100089.8214%)101 (09.4637,10%1009.463710001 .06606.04兩筆年金積累值之和為年的積累值為后六年年金積累到第十積累值為年年末的年利率積累到第這筆存款再按年年末積累值為前四年的積累值在第四ss 例例1.19:n某人每年年初存進(jìn)銀行某人每年年初存進(jìn)銀行1000元元,前前4次存款次存款的年利率為的年利率為6%,后后6次付款的年利率升到次付款的年利率升到10%,計(jì)算第計(jì)算第10年年末時(shí)存款的積累值年年末時(shí)存款的積累值.例例1.19答案答案97.1506417.848780.6577:17.8487

14、100080.6577%)61 (09.4637,10%609.463710001 . 06606. 04兩筆年金積累值之和為年的積累值為后六年年金積累到第十積累值為年年末的年利率積累到第這筆存款再按積累值為前四次付款第四年年末ss 三、普通年金三、普通年金n普通年金普通年金n利率在支付期發(fā)生變化利率在支付期發(fā)生變化n付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率不一致付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率不一致n每次付款金額不恒定每次付款金額不恒定n分類分類n支付頻率不同于計(jì)息頻率的年金支付頻率不同于計(jì)息頻率的年金n支付頻率小于計(jì)息頻率的年金支付頻率小于計(jì)息頻率的年金n支付頻率大于計(jì)息頻率的年金支付頻率大于計(jì)息頻率的年金n變額年金

15、變額年金支付頻率不同于計(jì)息頻率年金支付頻率不同于計(jì)息頻率年金n分類分類n支付頻率小于利息轉(zhuǎn)換頻率支付頻率小于利息轉(zhuǎn)換頻率n支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率n方法方法n經(jīng)過(guò)名義利率轉(zhuǎn)換，求出與支付頻率一樣經(jīng)過(guò)名義利率轉(zhuǎn)換，求出與支付頻率一樣的本質(zhì)利率。的本質(zhì)利率。n年金的代數(shù)分析年金的代數(shù)分析支付頻率小于計(jì)息頻率年金支付頻率小于計(jì)息頻率年金0k2knk計(jì)計(jì)息息支付支付111)(ki方法一方法一:利率轉(zhuǎn)換利率轉(zhuǎn)換方法二方法二:年金轉(zhuǎn)換年金轉(zhuǎn)換( )( )kkiidd延付：初付:RaRRskk1:1: 初付延付例例1.20:n某人每年年初在銀行存款某人每年年初在銀行存款2000元元,

16、假設(shè)每假設(shè)每季度計(jì)息一次的年名義利率為季度計(jì)息一次的年名義利率為12%,計(jì)算計(jì)算5年后該儲(chǔ)戶的存款積累值年后該儲(chǔ)戶的存款積累值.例例1.20答案答案n方法一方法一:利率轉(zhuǎn)換法利率轉(zhuǎn)換法n方法二方法二:年金轉(zhuǎn)換法年金轉(zhuǎn)換法71.144572000%55.12%12%55.1254sii ）（71.144573826.5222000%3%1203. 02003. 04)4(sRRaRi 每季度實(shí)質(zhì)利率為例例1.21：永久年金：永久年金n有一永久年金每隔有一永久年金每隔k年末付款年末付款1元，問(wèn)在年本質(zhì)元，問(wèn)在年本質(zhì)利率為利率為i的情況下，該永久年金的現(xiàn)時(shí)值。的情況下，該永久年金的現(xiàn)時(shí)值。kkkkk

17、kisivvvv11)1 (112方法一：kkkisRasRRs111方法二：支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率支付頻率大于0第m次每次支付第2m次每次支付第nm次每次支付計(jì)息支付12nim1m1m1年金分析方法年金分析方法n方法一：利率轉(zhuǎn)換法n年金轉(zhuǎn)換法12()()11()()11111mmnmmmnmnmmmmnvavvvmivavvmd延付：初付：()()()()(mmmn in mjmmmn dn m diiijmaaddddmaa）延 付 ：初 付 ：例例1.22n某購(gòu)房貸款某購(gòu)房貸款8萬(wàn)元萬(wàn)元,每月初還款一次每月初還款一次,分分10年年還清還清,每次等額歸還每次等額歸

18、還,貸款年利率為貸款年利率為10.98%,計(jì)算每次還款額計(jì)算每次還款額.例例1.22答案答案n方法一方法一:n方法二方法二:n 521.106880000%8719. 012%98.10%8719. 012012RaRii ）（521.1068)1 (12800008000012%3729.101)1 ()121 (12)12()12(10)12(12)12(%98.10vdRaRdid 例例1.23：永久年金：永久年金n一筆年金為每一筆年金為每6個(gè)月付個(gè)月付1元，不斷不斷付下元，不斷不斷付下去，且第一筆付款為立刻支付，問(wèn)欲使該去，且第一筆付款為立刻支付，問(wèn)欲使該年金的現(xiàn)時(shí)值為年金的現(xiàn)時(shí)值為1

19、0元，問(wèn)年度本質(zhì)利率應(yīng)元，問(wèn)年度本質(zhì)利率應(yīng)為多少？為多少？例例1.23答案答案%46.239 . 0)1 (9 . 010111015 . 05 . 05 . 05 . 0iivvvv方法一：(2)(2)(2)2(2)2100.22:1123.4 %226addmethoddii 年金關(guān)系年金關(guān)系延付年金延付年金初付年金初付年金現(xiàn)時(shí)值現(xiàn)時(shí)值積累值積累值nmmnaiia)()(nmmnadda )()(nmmnsiis)()(nmmnsdds )()(普通年金代數(shù)公式普通年金代數(shù)公式年金年金支付頻率小于計(jì)息頻率支付頻率小于計(jì)息頻率支付頻率大于計(jì)息頻率支付頻率大于計(jì)息頻率現(xiàn)時(shí)值現(xiàn)時(shí)值積累值積累值現(xiàn)

20、時(shí)值現(xiàn)時(shí)值積累值積累值延付延付初付初付knsaknaa knssknas )()(1mnmniva)()(1mnmndva )()(1)1 (mnmniis( )( )(1)1nmmnisd延續(xù)年金延續(xù)年金n定義定義:付款頻率無(wú)窮大的年金叫延續(xù)年金付款頻率無(wú)窮大的年金叫延續(xù)年金.n公式公式:00( )00( )00(1)ttnns dstnnns dstnav dtedtsi dtedt恒定利息效能場(chǎng)所恒定利息效能場(chǎng)所()00()001lim1(1)limnnnttmnnmnnnttmnnmeav dtedtaesidte dts例例1.24n確定利息效能使確定利息效能使10203ss)(01

21、02ln1202313131010102010201020deleteeoreeeeess變額年金變額年金n等差年金等差年金n遞增年金遞增年金n遞減年金遞減年金n等比年金等比年金等差年金等差年金n普通方式普通方式n現(xiàn)時(shí)值現(xiàn)時(shí)值n積累值積累值012nPP+QP+(n-1)QinvaQPaVnnn)0(insQPsnVnn)(特殊等差年金特殊等差年金年金年金遞增年金遞增年金遞減年金遞減年金P=1,Q=1P=n,Q=-1現(xiàn)時(shí)值現(xiàn)時(shí)值積累值積累值10)(nttntnnnavinvaIa 10)(nttnnnsinsIs 10)(nttnnnaianDa10)1 ()1 ()(nttntnnnsiisi

22、nDs例例1.25n從初次付款從初次付款1開(kāi)場(chǎng)開(kāi)場(chǎng),以后每次付款遞增以后每次付款遞增1,只只添加到添加到M,然后堅(jiān)持付款額不變的然后堅(jiān)持付款額不變的N年期期年期期末付年金末付年金,可以表示成可以表示成 n計(jì)算計(jì)算nmaI)(05. 02010)(aI例例1.25答案答案78.86)(1078.86)()(78.8610)(92005.0201010102005.0201010101005.02010DaaaIvIaIaaIvaIaaI）（方法三：）（方法二：）（方法一：例例1.26n有一項(xiàng)延付年金，其付款額從有一項(xiàng)延付年金，其付款額從1開(kāi)場(chǎng)每年添開(kāi)場(chǎng)每年添加加1直至直至n，然后每年減少，然后每

23、年減少1直至直至1，試求其，試求其現(xiàn)時(shí)值?，F(xiàn)時(shí)值。例例1.26答案答案111111(1)()()1111(1)1(1)(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnanvnaIaDavviianvnvvv aivvaivaia a等比年金等比年金kikiikkvkvvVnnn ,)11(1)1 ()1 ()0(1kikiiVinVnnn)()1()0()1()(1)1 (nk012n11+k例例1.27:n某期末付永久年金首付款額為某期末付永久年金首付款額為5000元元,以以后每期付款額是前一期的后每期付款額是前一期的1.05倍倍,當(dāng)利率為當(dāng)利率為0.08時(shí)時(shí),計(jì)算該永久年金的現(xiàn)時(shí)值計(jì)算該永久

24、年金的現(xiàn)時(shí)值.例例1.27答案答案67.16666603. 0500005. 008. 0)08. 105. 1(15000lim)0(nnV1 、 某家庭從子女出生時(shí)開(kāi)場(chǎng)累積大學(xué)教育某家庭從子女出生時(shí)開(kāi)場(chǎng)累積大學(xué)教育費(fèi)用費(fèi)用 5 萬(wàn)元萬(wàn)元 假設(shè)它們前十年每年底存款假設(shè)它們前十年每年底存款 1000元元 后十年每年底存款后十年每年底存款 1000+ X 元元 年利率年利率 7 ，計(jì)算，計(jì)算 X。(651.7238)2 、價(jià)值、價(jià)值 10,000 元的新車元的新車 購(gòu)買者方案分購(gòu)買者方案分期付款方式期付款方式 每月底還每月底還 250 元元 期限期限 4 年年 月月結(jié)算名利率結(jié)算名利率 18， 計(jì)算初次付款金額。計(jì)算初次付款金額。(1489.36159 )3、知、知 半年結(jié)算名利率半年結(jié)算名利率 6 計(jì)算下面年金的現(xiàn)值計(jì)算下面年金的現(xiàn)值 ，從如今開(kāi)場(chǎng)每半年付款從如今開(kāi)場(chǎng)每半年付款 200 元元 合計(jì)合計(jì) 4 年年 然后然后 減為每次減為每次 100 元元 合計(jì)合計(jì) 10 年。年。 (2389.72)4、某人現(xiàn)年、某人現(xiàn)年 40 歲歲 如今開(kāi)場(chǎng)每年初在退休金帳號(hào)如今開(kāi)場(chǎng)每年初在退休金帳號(hào)上存入上存入 1000 元元 合計(jì)合計(jì) 25 年年