第四章位移計(jì)算

1、第四章 結(jié)構(gòu)位移計(jì)算4.1 4.1 概述概述一一 結(jié)構(gòu)的位移結(jié)構(gòu)的位移在荷載、溫度改變、支座移動(dòng)等外因作用下，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)在荷載、溫度改變、支座移動(dòng)等外因作用下，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)各截面發(fā)生移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)，這些移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)位移各截面發(fā)生移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)，這些移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)位移以上位移統(tǒng)稱位移以上位移統(tǒng)稱位移ABABABABABAAAAAAAxAy二二 位移計(jì)算的目的位移計(jì)算的目的1 驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度 結(jié)構(gòu)變形不得超過容許值結(jié)構(gòu)變形不得超過容許值 2 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、制作、養(yǎng)護(hù)過程中，常需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、制作、養(yǎng)護(hù)過程中，常需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后 的位置，以便采取相應(yīng)的施工措施的位置，

2、以便采取相應(yīng)的施工措施3 位移計(jì)算是位移計(jì)算是超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的基礎(chǔ)超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的基礎(chǔ) 超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算要同時(shí)滿足平衡條件和變形連續(xù)條件超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算要同時(shí)滿足平衡條件和變形連續(xù)條件三三 位移計(jì)算中的基本假定位移計(jì)算中的基本假定材料處于彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變之間成正比（物理線性）材料處于彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變之間成正比（物理線性）結(jié)構(gòu)變形微小，不影響力的作用（幾何線性）結(jié)構(gòu)變形微小，不影響力的作用（幾何線性） 可用結(jié)構(gòu)原尺寸計(jì)算力的作用與位移可用結(jié)構(gòu)原尺寸計(jì)算力的作用與位移體系所有約束為理想約束，即位移過程中體系約束力不體系所有約束為理想約束，即位移過程中體系約束力不 作功作功即本章討論的是即本章討

3、論的是線性變形體系線性變形體系的位移計(jì)算問題，體系位移與的位移計(jì)算問題，體系位移與荷載呈線性關(guān)系，位移計(jì)算可以應(yīng)用疊加原理荷載呈線性關(guān)系，位移計(jì)算可以應(yīng)用疊加原理FP4.2 剛體體系虛功原理及應(yīng)用一一 實(shí)功與虛功實(shí)功與虛功1 1 實(shí)功實(shí)功在常力在常力F FP P作用下，物體沿力的方向發(fā)生位移作用下，物體沿力的方向發(fā)生位移，則常力，則常力F FP P 在位移過程中作的功為在位移過程中作的功為: : W=FP力偶力偶MM在物體轉(zhuǎn)動(dòng)在物體轉(zhuǎn)動(dòng) 過程中作的功為過程中作的功為: : W=M廣義力廣義力P P：作功的可以是一個(gè)集中力、一個(gè)力偶、一組集：作功的可以是一個(gè)集中力、一個(gè)力偶、一組集中力、一組集中

4、力偶，統(tǒng)稱為廣義力中力、一組集中力偶，統(tǒng)稱為廣義力P P廣義力廣義力P P由于相應(yīng)廣義位移由于相應(yīng)廣義位移作功：作功： W=P力在其本身引起位移中作的功力在其本身引起位移中作的功(real work)FP力在其它因素引起位移上作的功叫虛功力在其它因素引起位移上作的功叫虛功稱虛功是為了強(qiáng)調(diào)作功的力與產(chǎn)生位移的原因無關(guān)這一稱虛功是為了強(qiáng)調(diào)作功的力與產(chǎn)生位移的原因無關(guān)這一 特點(diǎn)特點(diǎn)實(shí)功恒為正值實(shí)功恒為正值，虛功可為正也可為負(fù)值虛功可為正也可為負(fù)值虛功中的力、位移兩個(gè)要素互不相關(guān)，它們分別屬于同虛功中的力、位移兩個(gè)要素互不相關(guān)，它們分別屬于同 一體系的兩種獨(dú)立無關(guān)的狀態(tài)一體系的兩種獨(dú)立無關(guān)的狀態(tài)W12

5、=P力狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)+t1+t2+t1+t2二二 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理任意平衡力系作用下的剛體體系，設(shè)體系發(fā)生任一符合約束任意平衡力系作用下的剛體體系，設(shè)體系發(fā)生任一符合約束條件的無限小的剛體位移，則體系上所有外力在位移上作的條件的無限小的剛體位移，則體系上所有外力在位移上作的虛功總和恒等于零虛功總和恒等于零W12=1 1 虛設(shè)位移狀態(tài)，求未知力虛設(shè)位移狀態(tài)，求未知力應(yīng)用于實(shí)際力狀態(tài)與虛設(shè)位移狀態(tài)間的虛功原理，稱虛位應(yīng)用于實(shí)際力狀態(tài)與虛設(shè)位移狀態(tài)間的虛功原理，稱虛位移原理移原理力狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)X=1 P=b/a FX1-FP b/a =FX= b/aFP

6、FXFPab虛設(shè)力狀態(tài)，求未知位移虛設(shè)力狀態(tài)，求未知位移1位移狀態(tài)位移狀態(tài)力狀態(tài)力狀態(tài)應(yīng)用于實(shí)際位移狀態(tài)與虛設(shè)力狀態(tài)間的虛功原理，稱虛力應(yīng)用于實(shí)際位移狀態(tài)與虛設(shè)力狀態(tài)間的虛功原理，稱虛力原理原理二二 支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算支座移動(dòng)時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算1 1 單位荷載法單位荷載法用虛設(shè)單位荷載求結(jié)構(gòu)位移的方法用虛設(shè)單位荷載求結(jié)構(gòu)位移的方法單位荷載應(yīng)與擬求位移對(duì)應(yīng)單位荷載應(yīng)與擬求位移對(duì)應(yīng)abFR1- b/a C =b/aCab 計(jì)算步驟計(jì)算步驟KKiiKii位移狀態(tài)位移狀態(tài)力狀態(tài)力狀態(tài)FP=1C1C2C3虛力狀態(tài)外力由于實(shí)際位移所作虛功，按剛體體系虛功原理虛力狀態(tài)外力由于實(shí)際位移所作虛功，按

7、剛體體系虛功原理 在點(diǎn)沿?cái)M求位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載，求出單位在點(diǎn)沿?cái)M求位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載，求出單位 荷載作用下的支座反力荷載作用下的支座反力RKF01KRKCFKRKCF式中為支座反力在相應(yīng)支座位移式中為支座反力在相應(yīng)支座位移 上所作虛功，上所作虛功，當(dāng)兩者方向一致時(shí)為正當(dāng)兩者方向一致時(shí)為正KRKCFRKFKC1RF2RF3RFDBCA6m6mDBCA1.5cm1cmDBCA解解 一一 求求1 取虛力狀態(tài)如圖，求支座反力取虛力狀態(tài)如圖，求支座反力RKF求求FP=1FP=1)(5 . 0)5 . 1111 (cmCFKRKCX二二 求求1)(5 . 1)5 . 11(cmCFcyKR

8、K2 2 求求三三 求求11) (58. 15 . 15 . 0222cx2cmcyC4.3 變形體系虛功原理一一 變形體虛功原理變形體虛功原理+t2+t1C任意平衡力系作用下的變形體系，給其以幾何可能的變形和任意平衡力系作用下的變形體系，給其以幾何可能的變形和位移，則體系上外力所作虛功恒等于體系內(nèi)力虛功位移，則體系上外力所作虛功恒等于體系內(nèi)力虛功W12=Wi12外力虛功內(nèi)力虛功d=dsFNFNFQFQdsdsdsd=dsd= 0 ds0ds微段微段 dwi12=FN ds+FQ 0ds +M ds 整根桿整根桿 wi12= (FN ds+FQ 0ds +M ds) 變形體系變形體系 wi12

9、= (FN ds+FQ 0ds +M ds) MMKii該式即為結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式該式即為結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式二二 位移計(jì)算的一般公式位移計(jì)算的一般公式+t2+t1CKKiiFP=1 在點(diǎn)沿?cái)M求位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載，求出單位在點(diǎn)沿?cái)M求位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載，求出單位荷荷 載作用下的支座反力載作用下的支座反力 及結(jié)構(gòu)內(nèi)力及結(jié)構(gòu)內(nèi)力 、RKFMQFNF 虛力狀態(tài)外力由于實(shí)際位移所作虛功，按變形體虛功原理虛力狀態(tài)外力由于實(shí)際位移所作虛功，按變形體虛功原理ds)(10MFFCFQNKRKKRKQNCFdsMFF)(01 適用范圍：適用范圍： 靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)；靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)；

10、 彈性體系和非彈性體系；彈性體系和非彈性體系； 各種因素產(chǎn)生的位移計(jì)算各種因素產(chǎn)生的位移計(jì)算2 單位荷載單位荷載AAAFP=1AM=1求某點(diǎn)線位移求某點(diǎn)線位移求某截面角位移求某截面角位移若求結(jié)構(gòu)上某截面角位移若求結(jié)構(gòu)上某截面角位移在截面處加一單位力偶在截面處加一單位力偶ABABAB求結(jié)構(gòu)上兩點(diǎn)水平求結(jié)構(gòu)上兩點(diǎn)水平(豎向豎向或連線方向或連線方向)相對(duì)線位移相對(duì)線位移FP=1FP=1A BFP=1FP=1求結(jié)構(gòu)上兩點(diǎn)水平(豎向或連線方向)相對(duì)線位移，在兩點(diǎn)沿水平(豎向或連線方向)加上兩個(gè)方向相反的單位力若求結(jié)構(gòu)兩個(gè)截面的相對(duì)角位移在兩個(gè)截面上加兩個(gè)方向相反單位力偶若求桁架中AB桿的角位移，應(yīng)加一單

11、位力偶，構(gòu)成這一力偶的兩個(gè)集中力取 1/d，垂直作用于桿端CM=1M=1BdACd1d1求結(jié)構(gòu)兩個(gè)截面的相對(duì)角位移求結(jié)構(gòu)兩個(gè)截面的相對(duì)角位移求求AB桿的角位移桿的角位移式中式中 虛設(shè)單位荷載引起的內(nèi)力虛設(shè)單位荷載引起的內(nèi)力NFQFM4. 荷載作用下的位移計(jì)算一一 計(jì)算公式計(jì)算公式荷載作用下，微段變形由內(nèi)力引起，當(dāng)材料荷載作用下，微段變形由內(nèi)力引起，當(dāng)材料處于彈性工作階段，其拉伸、剪切應(yīng)變和彎曲曲率：處于彈性工作階段，其拉伸、剪切應(yīng)變和彎曲曲率：NPFPMQPFEAFNPGAFQPk0EIMP式中式中k k考慮剪應(yīng)力沿截面分布不均勻的修正系數(shù)，考慮剪應(yīng)力沿截面分布不均勻的修正系數(shù)， 與截面形狀有

12、關(guān)與截面形狀有關(guān)dsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNP 實(shí)際荷載引起的內(nèi)力實(shí)際荷載引起的內(nèi)力NPFQPFPM一一 計(jì)算公式計(jì)算公式dsGAFFkdsEAFFdsEIMMQPQNPNP梁、剛架梁、剛架dsEIMMP桁架桁架LEAFFdsEAFFNPNNPN組合結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu)LEAFFdsEIMMNPNP拱拱拱軸線與合理軸線較接近或扁平拱計(jì)算水平位移時(shí)，拱軸線與合理軸線較接近或扁平拱計(jì)算水平位移時(shí)，考慮軸向變形對(duì)位移的影響考慮軸向變形對(duì)位移的影響dsEAFFdsEIMMNPNP荷載作用下，結(jié)構(gòu)彈性位移計(jì)算公式荷載作用下，結(jié)構(gòu)彈性位移計(jì)算公式解解 一一 取虛力狀態(tài)如圖取虛力狀態(tài)如圖二二

13、求單位荷載及實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力求單位荷載及實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力22qxMPqxFPQxM1QF三三 求求A A端的豎向位移端的豎向位移QMQPQPdsGAFFkdsEIMMEIqldxEIqxM824l03GAqldxGAqxQ2l06 . 02 . 128 . 4GAlEIMQ38)1 ( 2GE122hAI22)(067. 18 . 4lhGAlEIMQ剪切變形對(duì)深梁剪切變形對(duì)深梁位移位移的影響不容忽視，但對(duì)一般梁可以忽的影響不容忽視，但對(duì)一般梁可以忽略不計(jì)略不計(jì)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)101lh%067. 1)(067. 12lhMQ當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)21lh%675.26)(067. 12lhMQEIql

14、dxEIqxM824l03GAqldxGAqxQ2l06 . 02 . 1解解 一一 取虛力狀態(tài)如圖取虛力狀態(tài)如圖二二 求求NFNPFFPFPFPPF2FPPF2-FP00FP=11/21/2221/2222222-1三三 求求LEAFFNPN222122)22)(2(2) 1)(1dFdFdFEAPPP)(83. 6)22(2EAdFEAdFPPdFPddddFPCNFNPF一一 圖乘法應(yīng)用條件與計(jì)算公式圖乘法應(yīng)用條件與計(jì)算公式梁和剛架在荷載作用下的位移計(jì)算式梁和剛架在荷載作用下的位移計(jì)算式EIdsMMP（1）桿軸為直線；）桿軸為直線； （2）各段）各段EI常數(shù)；常數(shù)；（3）兩個(gè)彎矩圖中至少

15、有一個(gè)是直線圖形）兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形則可用下述圖乘法來代替積分運(yùn)算，從而簡化計(jì)算工作則可用下述圖乘法來代替積分運(yùn)算，從而簡化計(jì)算工作4.4.圖乘法圖乘法 Graphic Multiplication Method 當(dāng)結(jié)構(gòu)的各桿段符合下列條件時(shí)：當(dāng)結(jié)構(gòu)的各桿段符合下列條件時(shí)：x以桿軸為以桿軸為 x 軸，以直線彎矩圖的軸，以直線彎矩圖的延長線與延長線與 x 軸交點(diǎn)軸交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)ABBAMKMiytan xMiMiMkBAdxMxEIktan1dsMMEIBAik1BAxdEItand式中式中 為微面積對(duì)為微面積對(duì) y軸的面積矩軸的面積矩 xd 即為整個(gè)即為整個(gè) 圖的面積

16、對(duì)圖的面積對(duì) y 軸的面積矩軸的面積矩BAxdkMACOdsMMEIdsEIMMBAiBAkP1 EI常數(shù)常數(shù)tan為常數(shù)為常數(shù)BAdxxMEIktanddxMk根據(jù)合力矩定理，它應(yīng)等于根據(jù)合力矩定理，它應(yīng)等于 圖的面積圖的面積 乘以其形心乘以其形心c到到y(tǒng)軸軸的距離的距離 ，即，即kMAcxcBAxAxdx以桿軸為以桿軸為 x 軸，以直線彎矩圖的軸，以直線彎矩圖的延長線與延長線與 x 軸交點(diǎn)軸交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)ABBAMKMiytan xMiBAdxMxEIktan1dsMMEIBAik1BAxdEItanACOdsMMEIdsEIMMBAiBAkP1 EI常數(shù)常數(shù)tan為常數(shù)為常數(shù)

17、BAdxxMEIktancBAxAxd PdsEIMMBAcxAEItantancxEIAxCtan=y0EIyA0ABBAMKMiACO PdsEIMMBA y0EIyA0由此可見，上述積分式等于一個(gè)彎矩圖的面積由此可見，上述積分式等于一個(gè)彎矩圖的面積 乘以其形心處乘以其形心處所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)直線彎矩圖上的縱距所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)直線彎矩圖上的縱距 ，再除以，再除以EI。這就是圖。這就是圖形相乘法的計(jì)算位移的方法，簡稱為圖乘法形相乘法的計(jì)算位移的方法，簡稱為圖乘法A0y根據(jù)上面的推證過程，可知在使用圖乘法時(shí)應(yīng)注意下列各點(diǎn)：根據(jù)上面的推證過程，可知在使用圖乘法時(shí)應(yīng)注意下列各點(diǎn)： （2）縱距）縱距 只能

18、取自直線圖形只能取自直線圖形0y（3） 與與 若在桿件的同側(cè)則乘積取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)若在桿件的同側(cè)則乘積取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)A0y（1）必須符合上述三個(gè)條件）必須符合上述三個(gè)條件頂點(diǎn)頂點(diǎn)lhl/2A常用的幾種圖形的面積和形心hlA32二次拋物線二次拋物線lh2l/3l/32lhA 形心形心Alhab（l+a)/3(l+b)/32lhA 形心形心AAAlh3l/4l/43l/85l/8A1A2頂點(diǎn)頂點(diǎn)二次拋物線二次拋物線lhA321lhA312A解解 一一 取虛力狀態(tài)如圖取虛力狀態(tài)如圖二二 作單位彎矩圖及荷載彎矩圖作單位彎矩圖及荷載彎矩圖圖PM22ql圖Ml三三 求求A A端的豎向位移端的豎向位移

19、EIlqllEIAy4323120)(84EIqly2I1I21A2Ay1二二 圖乘分段和疊加圖乘分段和疊加當(dāng)各桿段的截面不相等時(shí)，應(yīng)分段圖乘再進(jìn)行疊加當(dāng)各桿段的截面不相等時(shí)，應(yīng)分段圖乘再進(jìn)行疊加2221110EIyAEIyAEIAy當(dāng)當(dāng)y所屬圖形不是一段直線而是若干段直線組成時(shí)，應(yīng)所屬圖形不是一段直線而是若干段直線組成時(shí)，應(yīng)分段圖乘，再進(jìn)行疊加分段圖乘，再進(jìn)行疊加1A2A3Ay1y2y3)(13322110yAyAyAEIEIAy1 圖乘分段圖乘分段解解 一一 取虛力狀態(tài)如圖取虛力狀態(tài)如圖二二 作單位彎矩圖及荷載彎矩圖作單位彎矩圖及荷載彎矩圖CEIl/2l/2q82ql4l三三 求求C C點(diǎn)

20、點(diǎn)豎向位移豎向位移EIlqllEIAycy)485(8232220)(38454EIql圖PM圖MEIqlEIlqllEIAycy484832420豎標(biāo)不是取自直線彎矩圖形y1復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)簡單的圖形，然后將分解得簡單圖復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)簡單的圖形，然后將分解得簡單圖形分別與另一圖形相乘再疊加形分別與另一圖形相乘再疊加cdy21A2A)(122110yAyAEIEIAydcydcy3231313221cd1A2Ay1y2dcydcy32313132212 圖乘疊加圖乘疊加均布荷載作用下的任何直桿段均布荷載作用下的任何直桿段AB，其彎矩圖均可看成，其彎矩圖均可看成一個(gè)梯形與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線

21、圖形的疊加一個(gè)梯形與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形的疊加 8q2lAy0為負(fù)值EIAy0lhA32Ay0為正值EIAy08ql28ql2yC解解 一一 取虛力狀態(tài)如圖取虛力狀態(tài)如圖qll/2ABCC二二 作單位彎矩圖及荷載彎矩圖作單位彎矩圖及荷載彎矩圖l/2圖PM圖M三三 求求C C點(diǎn)點(diǎn)豎向位移豎向位移 0CEIAyy 4)832( 232)821(83)8231( 1222lqlllqlllqllEI)( 128 4EIqlyCEI/2qll/2EIEIAl/2BC解解 一一 取虛力狀態(tài)如圖取虛力狀態(tài)如圖ABC二二 作單位彎矩圖及荷載彎矩圖作單位彎矩圖及荷載彎矩圖2 ql 22 ql 22 ql 2ll

22、l圖PM圖M8 ql 22 l ABCDABCD三三 求求C C點(diǎn)點(diǎn)豎向位移豎向位移 0CEIAyy )243)(8231212lqllEI2 ql 22 ql 22 ql 2圖PM8 ql 2ABCDlll圖M2 l ABCD 0CEIAyy )243)(8231(212lqllEI 438212lqllEI322ql)23132)(83221(2llqll)43)(32232(2lqll )2)(12qlllEI 0CEIAyy2 ql 22 ql 22 ql 2圖PM8 ql 2ABCDlll圖M2 l ABCD322ql)(12881212815644444EIqlEIqlEIqlEI

23、qlhh1h2+t1+t2+t0ds假定溫度沿截面高度按直線規(guī)律變化假定溫度沿截面高度按直線規(guī)律變化hththt12210ddstdsd0由于溫度變化，微段由于溫度變化，微段ds變形為：變形為：00dsdddshtdshttd)(12按變形體虛功原理按變形體虛功原理dMdFdFQNtdshtMdstFN)()(04.6 4.6 溫度變化時(shí)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算溫度變化時(shí)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一一 計(jì)算公式計(jì)算公式hththt12210hh1h2+t1+t2+t0dsdddshtMdstFNt)()(04.6 4.6 溫度變化時(shí)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算溫度變化時(shí)靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一一 計(jì)算公式計(jì)算公式一般情況下一般情

24、況下,各桿均為等截面，各桿均為等截面，t、t0、h沿每一桿為常量沿每一桿為常量dsMhtdsFtNt)()(0MNAhtAt)()(0式中 t0桿軸線溫度變化值t桿上下邊緣溫度變化差值單位力與溫度變化引起的桿件變形方向相同時(shí) 取正號(hào)解解 一一 取虛力狀態(tài)如圖取虛力狀態(tài)如圖+100C+100CFP=1FP=1二二 作作 、 圖圖NFM-116m6m三三 求求cycyChtto52220Cto10MNtAhtAt)()(0)66266(ht)66266(6 . 01000001. 06500001. 0)(0093. 0m6m6mC610tFNM4.7 線性變形體系的互等定理一一 功的互等定理功的互等定理dsEIMMdsGAFFkdsEAFFWWQ