二次函數(shù)及圓綜合訓(xùn)練含解析

1、-二次函數(shù)與圓綜合提高壓軸題1、如圖，在等邊ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點，且DEBC，將ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的局部記作圖形L1求ABC的面積；2設(shè)AD=*，圖形L的面積為y，求y關(guān)于*的函數(shù)解析式；3圖形L的頂點均在O上，當(dāng)圖形L的面積最大時，求O的面積解答：解：1如圖3，作AHBC于H，AHB=90ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=3AHB=90，BH=BC=在RtABC中，由勾股定理，得AH=SABC=；2如圖1，當(dāng)0*1.5時，y=SADE作AGDE于G，AGD=90，DAG=30，DG=*，AG=*，y=*2，a=0，開口向上，在對稱軸的右側(cè)y隨

2、*的增大而增大，*=1.5時，y最大=，如圖2，當(dāng)1.5*3時，作MGDE于G，AD=*，BD=DM=3*，DG=3*，MF=MN=2*3，MG=3*，y=，=；3，如圖4，y=；y=*24*，y=*22+，a=0，開口向下，*=2時，y最大=，y最大時，*=2，DE=2，BD=DM=1作FODE于O，連接MO，MEDO=OE=1，DM=DOMDO=60，MDO是等邊三角形，DMO=DOM=60，MO=DO=1MO=OE，MOE=120，OME=30，DME=90，DE是直徑，SO=12=2、2021壓軸題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為0，4，點B的坐標(biāo)為4，0，點C的坐

3、標(biāo)為4，0，點P在射線AB上運動，連結(jié)CP與y軸交于點D，連結(jié)BD過P，D，B三點作Q與y軸的另一個交點為E，延長DQ交Q于點F，連結(jié)EF，BF 1求直線AB的函數(shù)解析式；2當(dāng)點P在線段AB不包括A，B兩點上時求證：BDE=ADP；設(shè)DE=*，DF=y請求出y關(guān)于*的函數(shù)解析式；3請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1.如果存在，求出此時點P的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由解：1設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=k*+4，代入4，0得：4k+4=0，解得：k=1，則直線AB的函數(shù)解析式為y=*+4；2由得：OB=OC，BOD=COD=90，又OD

4、=OD，BODCOD，BOD=CDO，CDO=ADP，BDE=ADP，連結(jié)PE，ADP是DPE的一個外角，ADP=DEP+DPE，BDE是ABD的一個外角，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，DPE=OAB，OA=OB=4，AOB=90，OAB=45，DPE=45，DFE=DPE=45，DF是Q的直徑，DEF=90，DEF是等腰直角三角形，DF=DE，即y=*；3當(dāng)BD：BF=2：1時，過點F作FHOB于點H，DBO+OBF=90，OBF+BFH=90，DBO=BFH，又DOB=BHF=90，BODFHB，=2，F(xiàn)H=2，OD=2BH，F(xiàn)HO=EOH=OEF=90，四邊形O

5、EFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，DE=EF，2+OD=4OD，解得：OD=，點D的坐標(biāo)為0，直線CD的解析式為y=*+，由得：，則點P的坐標(biāo)為2，2；當(dāng)=時，連結(jié)EB，同2可得：ADB=EDP，而ADB=DEB+DBE，EDP=DAP+DPA，DEP=DPA，DBE=DAP=45，DEF是等腰直角三角形，過點F作FGOB于點G，同理可得：BODFGB，=，F(xiàn)G=8，OD=BG，F(xiàn)GO=GOE=OEF=90，四邊形OEFG是矩形，OE=FG=8，EF=OG=4+2OD，DE=EF，8OD=4+2OD，OD=，點D的坐標(biāo)為0，直線CD的解析式為：y=*，由得：，點P的坐標(biāo)為8，4

6、，綜上所述，點P的坐標(biāo)為2，2或8，43、拋物線y=*-b*-3b+3過A、B兩點點A在點B的左邊，交y軸于點C，且經(jīng)過點b2，2b25b1.1求這條拋物線的解析式；2M過A、B、C三點，交y軸于另一點D，求點M的坐標(biāo)；3連接AM、DM，將AMD繞點M順時針旋轉(zhuǎn)，兩邊MA、MD與*軸、y軸分別交于點E、F，假設(shè)DMF為等腰三角形，求點E的坐標(biāo).解析：1把點b2，2b25b1代入解析式，得2b25b1=b22+bb23b+3， 1解得b=2.拋物線的解析式為y=*2+2*3. 22由*2+2*3=0，得*=3或*=1.A3，0、B1，0、C0，3.拋物線的對稱軸是直線*=1，圓心M在直線*=1上

7、. 3設(shè)M1，n，作MG*軸于G，MHy軸于H，連接MC、MB.MH=1，BG=2. 4MB=MC，BG2+MG2=MH2+CH2，即4+n2=1+3+n2，解得n=1，點M1，1 53如圖，由M1，1，得MG=MH.MA=MD，RtAMGRtDMH，1=2.由旋轉(zhuǎn)可知3=4. AMEDMF.假設(shè)DMF為等腰三角形，則AME為等腰三角形. 6設(shè)E*，0，AME為等腰三角形，分三種情況：AE=AM=，則*=3，E3，0；M在AB的垂直平分線上，MA=ME=MB，E1，0 7點E在AM的垂直平分線上，則AE=ME. AE=*+3，ME2=MG2+EG2=1+1*2，*+32=1+1*2，解得*=，

8、E，0.所求點E的坐標(biāo)為3，0，1，0，0 84、2021壓軸題如圖，拋物線y=a*2+b*2a0與*軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，直線BD交拋物線于點D，并且D2，3，tanDBA=1求拋物線的解析式；2點M為拋物線上一動點，且在第三象限，順次連接點B、M、C、A，求四邊形BMCA面積的最大值；3在2中四邊形BMCA面積最大的條件下，過點M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓.假設(shè)存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由：解：1如答圖1所示，過點D作DE*軸于點E，則DE=3，OE=2tanDBA=，BE=6，OB=BEOE=4，B

9、4，0點B4，0、D2，3在拋物線y=a*2+b*2a0上，解得，拋物線的解析式為：y=*2+*22拋物線的解析式為：y=*2+*2，令*=0，得y=2，C0，2，令y=0，得*=4或1，A1，0設(shè)點M坐標(biāo)為m，nm0，n0，如答圖1所示，過點M作MF*軸于點F，則MF=n，OF=m，BF=4+mS四邊形BMCA=SBMF+S梯形MFOC+SAOC=BFMF+MF+OCOF+OAOC=4+mn+n+2m+12=2nm+1 點Mm，n在拋物線y=*2+*2上，n=m2+m2，代入上式得：S四邊形BMCA=m24m+5=m+22+9，當(dāng)m=2時，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為93假設(shè)存在這樣

10、的Q如答圖2所示，設(shè)直線*=2與*軸交于點G，與直線AC交于點F設(shè)直線AC的解析式為y=k*+b，將A1，0、C0，2代入得：，解得：k=2，b=2，直線AC解析式為：y=2*2，令*=2，得y=6，F(xiàn)2，6，GF=6在RtAGF中，由勾股定理得：AF=3設(shè)Q2，n，則在RtAGF中，由勾股定理得：OQ=設(shè)Q與直線AC相切于點E，則QE=OQ=在RtAGF與RtQEF中，AGF=QEF=90，AFG=QFE，RtAGFRtQEF，即，化簡得：n23n4=0，解得n=4或n=1存在一個以Q點為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，點Q的坐標(biāo)為2，4或2，15、2021壓軸題如圖，在平面直角坐標(biāo)系

11、中，坐標(biāo)原點為O，A點坐標(biāo)為4，0，B點坐標(biāo)為1，0，以AB的中點P為圓心，AB為直徑作P的正半軸交于點C1求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；2設(shè)M為1中拋物線的頂點，求直線MC對應(yīng)的函數(shù)解析式；3試說明直線MC與P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：1A4，0，B1，0，AB=5，半徑是PC=PB=PA=，OP=1=，在CPO中，由勾股定理得：OC=2，C0，2，設(shè)經(jīng)過A、B、C三點拋物線解析式是y=a*4*+1，把C0，2代入得：2=a040+1，a=，y=*4*+1=*2+*+2，答：經(jīng)過A、B、C三點拋物線解析式是y=*2+*+22y=*2+*+2=+，M，設(shè)直線MC對應(yīng)函數(shù)表

12、達(dá)式是y=k*+b，把C0，2，M，代入得：，解得：k=，b=2，y=*+2，y=*+2答：直線MC對應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=*+23MC與P的位置關(guān)系是相切證明：設(shè)直線MC交*軸于D，當(dāng)y=0時，0=*+2，*=，OD=，D，0，在COD中，由勾股定理得：CD2=22+=，PC2=，PD2=，CD2+PC2=PD2，PCD=90，PCDC，PC為半徑，MC與P的位置關(guān)系是相切6、2021壓軸題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，二次函數(shù)y=a*2+b*+c的圖象經(jīng)過點A，B，與*軸分別交于點E，F(xiàn)，且點E的坐標(biāo)為，0，以0C為直徑作半圓，圓心為D1求二次函數(shù)的解析式；2求證

13、：直線BE是D的切線；3假設(shè)直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，M是線段CB上的一個動點點M與點B，C不重合，過點M作MNBE交*軸與點N，連結(jié)PM，PN，設(shè)CM的長為t，PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值圍S是否存在著最大值.假設(shè)存在，求出最大值；假設(shè)不存在，請說明理由解答：解：1由題意，得A0，2，B2，2，E的坐標(biāo)為，0，則，解得，該二次函數(shù)的解析式為：y=*2+*+2；2如圖，過點D作DGBE于點G由題意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，BE=BEC=DEG，EGD=ECB=90，EGDECB，=，DG=1D的半徑是1，且DGBE，BE是D的切線；3由題

14、意，得E，0，B2，2設(shè)直線BE為y=k*+hk0則，解得，直線BE為：y=*+直線BE與拋物線的對稱軸交點為P，對稱軸直線為*=1，點P的縱坐標(biāo)y=，即P1，MNBE，MNC=BECC=C=90，MNCBEC，=，=，則=t，DN=t1，SPND=DNPD=SMNC=CM=t2S梯形PDCM=PD+CMCD=S=SPND+S梯形PDCMSMNC=+t0t2拋物線S=+t0t2的開口方向向下，S存在最大值當(dāng)t=1時，S最大=7、2021：一元二次方程*2+k*+k=01求證：不管k為何實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根；2設(shè)k0，當(dāng)二次函數(shù)y=*2+k*+k的圖象與*軸的兩個交點A、B間的距離為4時

15、，求此二次函數(shù)的解析式；3在2的條件下，假設(shè)拋物線的頂點為C，過y軸上一點M0，m作y軸的垂線l，當(dāng)m為何值時，直線l與ABC的外接圓有公共點.1證明：=k24k=k22k+1=k120，關(guān)于*的一元二次方程*2+k*+k=0，不管k為何實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根；2令y=0，則*2+k*+k=0*A+*B=2k，*A*B=2k1，|*A*B|=2|k1|=4，即|k1|=2，解得k=3不合題意，舍去，或k=1此二次函數(shù)的解析式是y=*2*；3由2知，拋物線的解析式是y=*2*易求A1，0，B3，0，C1，2，AB=4，AC=2，BC=2顯然AC2+BC2=AB2，得ABC是等腰直角三角形A

16、B為斜邊，外接圓的直徑為AB=4，2m28、2021壓軸題如圖，拋物線y=a*2+b*+ca0的頂點坐標(biāo)為4，且與y軸交于點C0，2，與*軸交于A，B兩點點A在點B的左邊1求拋物線的解析式及A，B兩點的坐標(biāo)；2在1中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP+CP的值最小.假設(shè)存在，求AP+CP的最小值，假設(shè)不存在，請說明理由；3在以AB為直徑的M相切于點E，CE交*軸于點D，求直線CE的解析式解：1由題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a*42a0拋物線經(jīng)過0，2a042=2解得：a=y=*42即：y=*2*+2當(dāng)y=0時，*2*+2=0解得：*=2或*=6A2，0，B6，0；2存在，如圖2，由1知：拋物線的對稱軸l為*=4，因為A、B兩點關(guān)于l對稱，連接CB交l于點P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小B6，0，C0，2OB=6，OC=2BC=2，AP+CP=BC=2AP+CP的最小值為2；3如圖3，連接MECE是M的切線MECE，CEM=90由題意，得OC=ME=2，ODC=MDE在COD與MED中CODMEDAAS，OD=DE，DC