第三章 最佳線性濾波器

1、第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener濾波的性能u互補Wiener濾波器設(shè)計u卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應用最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述最優(yōu)估計：在許多實際問題中，需要研究隨時間變化的隨機變量或隨機矢量的估計問題，即：按照某種最優(yōu)準則對隨時間變化的隨機變量或隨機矢量作出估計。 在信息與通信工程領(lǐng)域常稱為“波形估計”； 在控制科學與工程領(lǐng)域常稱為“狀態(tài)估計”。 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )s nv nx ns nv ny ns ns n信號在傳輸時引入加性噪聲，接收信號，

2、希望經(jīng)最佳濾波器濾波后的輸出濾恢復最佳 波：。最優(yōu)準則：包括最大后驗準則、最大似然準則、均方準則、線性均方準則等。最佳線性濾波器采用線性均方準則，通常稱為“最小均方誤差（LMS）”和“最小二乘（LS）”準則。統(tǒng)計均方意義下的準則，要求輸入為隨機過程（序列），通常假定“平穩(wěn)”和“各態(tài)歷經(jīng)”。000. . . nnIIRnnIIRnpFIR1過濾：用 時刻及以前的輸入數(shù)據(jù)估計 時刻的信號值，對應為因果；2平滑：用過去、 時刻及未來的全部輸入數(shù)據(jù)估計時刻的信號值，對應為非因果；3預最測：用 時刻及以前的佳線性濾波器的主要應用共 個輸入數(shù)據(jù)預測未來某時刻的信號值，對應為場景：；最佳線性濾波器結(jié)構(gòu)2(

3、)( )( )( )( ) (0,)vs nx ns nv nv nN為源信號，是獲取的對象；為加輸性噪聲。入序列：LTI(h(n)( )x n( )( )y ns n+( )( )d ns n( )( )( )( )( )e nd ny ns ns n( )( )( )( ) ( )( )( ) ()iy ns nh nx nx nh nh i x ni輸出序列：( )( )h nH z獲得系統(tǒng)的單位脈沖響應，或傳輸函數(shù)設(shè)計目的：。( ),0,-1;( ),0 , ;( ),(- ,)FIRh n nNIIRh n nIIRnLThnI ：因果：）非因果：濾波。器的類型： ( )= ( )+

4、 ( ) ( )( )( )=( ) () is ns ne ne ns ns nh i x ni（） 由信號正交性理解最優(yōu)設(shè)計準則 而，故解：正交分定理( )() ( ) ()0E e ne nx niix nii， 或 （正交方程）22 ( )( )( ( )( ) nE e nE s ns nMin設(shè)最計準則小均方誤差準則，即：第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener濾波的性能u互補Wiener濾波器設(shè)計u卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應用 ( ) ()0 ( ( )( ) () () ( )

5、()( ) () ( )iiE e n x nmmE s nh i x ni x nmE s n x nWienerE x ni x nmHoh ipfm由正交方程方程： ()( )(0)xsxiRiiRmhm ( )( )( ) ( )( )()0 xxxxissRmh i R miRmx ns nR mxmWienerHopnf輸入與信號的互相關(guān)函數(shù)；輸入的自相方程關(guān)函數(shù)。1( )( ) ( )( )optoptZoptoptZWhnHizhnenerHHozpf求解的目的是得到最優(yōu)的單位脈沖響應或系統(tǒng)傳輸函數(shù)方程的求解：01 .FIRWiener型濾波器(1 )xn N 1z1z1z1N

6、h2Nh1h0h+-( )s n+( )( )y ns n( )e n( )x n(1)x n(2)x nN( )( )( ), (1), (1)Th nx nx n x nx nN輸入時間序列（與等長）：(0), (1), (1)Thhhh N 有限單位脈沖響應序列：( )( ) ( ) ( )(0),(1),(1)Txsxsxsx ns nPPEx n s nRRRN 與的互相關(guān)函數(shù)（ 為列矢量）：( ) ( )( )(0)(1)(2)(1)(1)(0)(1)(2) (2)(1)(0)(3)(1)(2)(3)(0)TxxxxxxxxxxxxxxxxN Nx nEx n xnRRRR NRR

7、RR NRRRR NR NR NR NRR輸入數(shù)據(jù)時間序列的自相關(guān)矩陣：Toeplitz對稱陣 TTTWienerHopfPhPhh RRR 方程的矩陣形式：或-1 opthPR 濾波器單位脈沖響應的最優(yōu)解：1-1-1 ( )( )( )()( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) TTTTToptTy ns nhx nPx nE s n xnE x n xnExsxnnnnxRR 濾波器輸出：( )( )( ) ( ), ( -1)(1)s ns nX nx n x nx N是在信號空間，上的正交投影。觀測信號為： ，試中 是方差為0.45的零均值白噪聲，它與s(n）統(tǒng)計

8、獨立。設(shè)計一個長為N=3的FIR濾波器來處理x(n)，使得其輸出與s(n)的差的均方值最小。例：設(shè)信號s(n)的自相關(guān)序列為：| |( )0.8 ,0, 1,msR mm ( )( )( )x ns nv n( )v n解：( ) ( ) (1) (2)Tx nx n x nx n ( )( )TE x n x nR (0) (1) (2)Thhhh( )( )(1)(1)( )( )(1)(1)(2)(2(2)(2)s nv nEs nv ns nv ns nv ns nv ns nv n222(0)(1)(2)00(1)(0)(1)00(2)(1)(0)00sssvsssvssssvRRR

9、RRRRRR ( ) ( )PE x n s n |2|(0)1,(1 )( 1)0.8 ( )0.8,(2)( 2)0.640.4 5 sssssvmsRRRRRR m而， 所以-1-11.450.80.6410.53580.81.450.80.8= 0.20570.640.81.450.640.0914opthPR ( )( )( ) ( )(0)(1)(1)( )(1) ( )( 1)(2)(2)(2) ( )( 2)ssss nv ns n s nREs nv ns nEs ns nRs nv ns ns nR解： (0) (1) (2) (3)Thhhhh( ) ( ), (1),

10、(2), (3)Tx nx n x nx nx n7220( )11 (0) ( ) ( )sin ()sin ()4842sis nniRE s n s nE計算確定信號的自相關(guān)函數(shù)：41(1)( 1)(1) ( )sinsin441(2 1)2 1()4 coscos(1)2444ssinnRE snsnEnER 試設(shè)計一個長為N=4的FIR濾波器對x(n)進行濾波得到 ，使得例：在測試某正弦信號 的過程中疊加有零均值、方差 的白噪聲 ，即測試結(jié)果為： ( )sin(/4)s nn20.01v( )sin(/4)( )x nnv n( )s n它與 的誤差的均方值最小。求該濾波器的沖激響應

11、并估計誤差平均功率（ 與 不相關(guān)）。( )s n( )v n( )s n( )v n52(2)( 2)(2) ( )sinsin4412(22) 1 coscos0(2)244()4issnnRE s ns nEnER 63(3)( 3)(3) ( )sinsin4413(23)2 coscos(3)()441424sisnnRE s ns nEnER 2(0)(1)(2)(3)(1)(0)(1)(2)(2)(1)(0)(1)(3)(2)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1) )(0ssTTTsssssssssssssssvvx nE x n xnE s n snE vRRRR

12、RRRnRRRRRRRRRvnRRR計算輸入時間序列的自相關(guān)矩陣：I( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ 2(0)( ) ( )( 1)(1) ( )2 / 4 =( 2)(2) ( )0( 3)(3) ( )2 / 4ssssx ns nPE x n s nE s n s nRs n s nRs ns nERs ns nRs ns n 計算與之間的互相關(guān)矢量： 10.49500.350100.3501opthPR 21min2( )( )0.005 0.0113TvnE snPPdBR 平均功率誤差：較降低 倍（）( )sin4ns n期望信號2( ),0.01vv n白噪聲(

13、)( )( )x ns nv n觀測信號opt ( )( )*( )s nx nhn維納濾波器輸出信號02 .IIRWiener非因果型濾波器( )( )() xsoptxiRmhi R mimm Wiener-Hopf 方程：雙邊Z變換在z域有最佳系統(tǒng)傳輸函數(shù)：( )( )( )xsoptxSzHzSz( )( )x ns n與的互功率譜( )x n的自功率譜( )( ) ( )( )mmxxxsxsmmSzR m zSzRm z03 .IIRWiener因果型濾波器Wiener-Hopf 方程：0( )( )(), 0 xsoptxiRmhi R mim因i取值范圍的原因，直接求解求hop

14、t(i)非常困難。為此，令：輸入2( )( ) (0,)x nnN2( )( )( )xR mR mm 220( )( )( )()( ), 0 xssoptoptiRmRmhimihmm 21( )( ), 0optshmRmm21( )( )sH zSz00( ) .( ) .( )sssSzSzRk表示:1 只取單位圓內(nèi)的極點；2 只取的因果部分。一般情況，x(n)不為白噪聲，需經(jīng)兩步獲得因果IIR 傳輸函數(shù)：（1）利用 譜分解得到( )xSz( )B z ；（2）由211( )( )( )( )sF zGzSzB z與級聯(lián)得到系統(tǒng)傳輸函數(shù)。將因果IIR濾波器看成兩部分級聯(lián)1( )( )

15、F zB z( )Gz白化濾波器( )( )( )x ns nv n( )n( )( )y ns n( )cHz( )( )/( )B zN zD z( )x n( )n白噪聲最小相位LTI系統(tǒng)1211( )()( )()( )( )( )xxSzSzB zB zB zF zB z第一步：2211( )( )( )( ) 1( )( )( ) xxcHF zG zSzBzSzB zz第與級聯(lián)二步：11( )( )()( )()xssxsSzSzF zSzB z( )( ) ()inf i x ni( ) ( ) ()( )()()*( )sxsxsiRmEn s nmf i RmifmRm兩端

16、進行Z變換得：21( )1( )( )()xscSzHzB zB z11( )( )( )ZZf nF zB z實際上，設(shè)( )( )xsxSzSz用表示關(guān)鍵：(1)( )xSz對進行譜分解：3IIR（ ）計算因果維納濾波器：1( )=( ) ()xSzB z B z21(2)( )/(xsSzB z對)進行因果和逆因果分解：111( )( )( )=(xsxsxsSzSzSzB zB zB z)因果部分（極點在單位圓內(nèi)）逆因果部分（極點在單位圓外）4（ ）計算相應沖激響應：歸納起來，因果歸納起來，因果IIR維納濾波器設(shè)計步驟：維納濾波器設(shè)計步驟：1. .1( )( )2nccu ch nHz

17、 zdzj21( )1( )( )()xscSzHzB zB z1( )x n（） 觀測序列的功率譜及其譜分解( )s n例：觀測信號 ，式中 是零均值、方差為1的白噪聲。期望信號s(n)是一個AR(1)過程：( )( )( )x ns nv n( )0.8 (1)( )s ns nw n( )v n式中 是零均值、方差 的白噪聲。期望信號s(n)與噪聲 不相關(guān)，噪聲 與 不相關(guān)。試設(shè)計一因果IIR維納濾波器對觀測信號進行濾波，并求 的估計 。( )w n20.36w( )v n( )v n( )w n( )s n解：期望信號s(n)的功率譜為AR功率譜，即：2110.36( )=(1 0.8

18、)(1 0.8 )(1 0.8)(1 0.8 )wsSzzzzz10.36( )=( )( )1(1 0.8)(1 0.8 )xsvSzSzSzzz1211(1 0.5)(1 0.5 )1.6( ) ()(1 0.8)(1 0.8 )zzB z B zzz11110.36( )( )0.36(1 0.8)(1 0.8 )=(1 0.5 )(1 0.8)(1 0.5 )(1 0.8 )xssSzSzzzzB zB zzzz)(因果部分) (逆因果部分)2（ ）1211(1 0.5)(1 0.5 )=1.6( )=()=(1 0.8 )(1 0.8 )zzB zB zzz，( ) ( ) () (

19、 ) ()( )xssRmE x n s nmE s n s nmR m( )( )xssSzSz11_1( )( )0.3=(1 00.6(1 0.8.5 )xsxsSzSzzB zB zzz)3IIR（ ）因果維納濾波器傳遞函數(shù)21( )1( )( )()xscSzHzB zB z111110.6=(1 0.5)(10.375(100.8)1.6()51.8)0zzzz（4）濾波器輸出：( )0.5 (1)0.375 ( )s ns nx n10.375( )( )( )( )(1 0.5)cS zHz X zX zz輸出序列z變換：輸出時域序列：濾波器沖激響應：0.375(0.5) ,

20、0( )0, 0ncnh nn( )(1)( )(1) ( )( )( ) ( ) ( )( ) (0,) ( ) ( ) ( ) (0, ) ( ) ( )0 ninivvs nas nnARx ncs nv nEniQnNQSQE v n v iRv nNRSRE v n s i，設(shè)信號模型：（模更一般型）測量模型：（線性疊加）且有：地, ( ) ( )0,n iE v nin i2212-( 0);(3)(1);)( )1(4cGHIIRWienera RPRicatiQPPRc PcPGRc PfacGzf z則因果濾波器的設(shè)計步驟為：(1)求解方程得正解；(2)求維納濾波器增益求維納

21、濾波器系數(shù)直接給出維納濾波器的傳輸函數(shù)。222 0.8,1,0.36,10.64 0.360.610.6 0.3751 0.6 acQRRicattia RPPQPPPRc PPWienercPGRc PWiener在上例中，。方程：濾波器增益：濾波器系數(shù)：11 (1-)0.8(1-0.375)0.50.375 ( )11 0.5 ( )0.375 (0.5)( )cnfacGIIRWienerGHzfzzIIRWienerh nu n因果濾波器傳輸函數(shù)：因果濾波器單位脈沖序列響應：第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解

22、uWiener濾波的性能濾波的性能u互補Wiener濾波器設(shè)計u卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應用Wiener濾波器為最佳線性濾波，對應最小均方誤差：2min( )( ) ( )( ( )( ) ( ) ( )(0)esnE enE e n s ns nE e n s nR1. .1( )( )2nesesu cRnSz zdzj1min. .1. .1. .1( )(0)( )21 ( )( )21 ( )( )( )2esesu csssu csoptxsu cnRSz z dzjSzSz z dzjSzHz Sz z dzj(1). 對IIR維納濾波器均方誤差的z域計算1. 誤差

23、性能誤差性能111.101(1)11(1) ( )( )1 ( )( )( ),2 1( )1 ( ),()( )(1)!iZZnnniucinirnrniirz zAdd One Slidex nX zx nX z zdzRes X z zzjzX z zrdRes X z zzzzX z zrdz：設(shè)離散序列，則若 為在單位圓內(nèi)的 階留數(shù)定理，：極點則0111 2( ) ( ),()( )ininniiz zzX z zRes X z zzzz X z z若 為在單位圓內(nèi)的單階極點，則110.36 ( )( )( )(0.371 0.8)(1 05(1 0.5).8 )xssoptIIRW

24、ienerzSzSzHzzz舉例：在上例的濾波器設(shè)計中，1min. .1. .11. .11( )(0)( )( )( )21 0.3(1( )( )210.36 (1)2(1 0.8)(1 0.8 ) 75(1 0.5 )essoptxsu coptsu cu cnRSzHz Sz z dzjHz Sz z dzjz dzjzzz0.0.5. .80.45(0.50.625 )(0.5)0.45(0.1 12(0.8)()0.8 11(0.8)(50.625 )0.45)(0.5)()0.80.8 (0. 0.50.62(57)3 5zu czdzjzzzzzzzzzz較214.3vdB 降

25、低）(2). FIR維納濾波器均方誤差的時域計算( )2min2222(1)( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Topte ns nToTptnE e nE e n s nE sns n s nE snhE x n s nE snhPEPPsnR 舉例：在 上例中，F(xiàn)IR維納濾波器的時域計算211min-21( )( )(0)1.450.80.641 110.80.640.81.450.80.80.640.81.450.64 0.2410(.TTsvnE snPPRPP RR 誤差功率：較452.)7dB降低的()( )( )( )( )(

26、)xss v ssvssSzSzSzSzSz以非因果IIR線性濾波器為例，可分析和說明Wiener濾波器實現(xiàn)了最佳的線性濾波：( )( )( )xsvSzSzSz( )( )|( )|( )|( )|( )( )( )|( )( )|xsssoptoptxsvsvSzSzSHzHSzSzSzSS1, |( )|=0 |( )|0 |( )|=0,|( )|0voptsvSHSS，( )cH( )ssS( )vvS維納濾波器與一般濾波器比較Wiener線性濾波一般線性濾波2. 實現(xiàn)問題實現(xiàn)問題問題一：實現(xiàn)精確度。問題一：實現(xiàn)精確度。Wiener濾波器最優(yōu)權(quán)系數(shù)需要由輸入信號的自相關(guān)函數(shù)矩陣以及輸

27、入信號與期望輸出的互相關(guān)函數(shù)矩陣進行計算。實際中，這兩個參數(shù)是未知的，需要通過估計得到，而一致性估計需要觀測無限長信號；問題二：計算復雜度。問題二：計算復雜度。求最優(yōu)濾波器單位脈沖響應時需要矩陣求逆，其計算復雜度量級是濾波器長度的三次方。(1)(2)FIRIIRIIRFIRIIRIIR總之，實現(xiàn)最簡單，因果可實現(xiàn)，非因果不可實現(xiàn)；的輸出誤差最大，因果次之，非因果最小。解決辦法：改進算法。解決辦法：改進算法。由于存在這些問題，實際實現(xiàn)Wiener濾波時，并不是直接計算得到最優(yōu)Wiener濾波器的抽頭系數(shù)，而是代之以LMS, RLS, Kalman等自適應濾波器。Kalman濾波器的主要特點：Ka

28、lman濾波是Wiener濾波的發(fā)展, 它最早用于隨機過程的參數(shù)估計, 并在各種最佳濾波器和最佳控制中獲得極其廣泛的應用。其主要特點是： (1)采用遞推算法結(jié)構(gòu)。 (2)具有RLS類自適應濾波器的框架。 (3)具有標量型和矢量型兩種結(jié)構(gòu)，由標量型地推算法 可直接寫出矢量型算法的矩陣形式。第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener濾波的性能u互補互補Wiener濾波器設(shè)計濾波器設(shè)計u卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應用(1) ( ) ( ) ()0,( )( )( )(2)( ) exWienerRjE e

29、 n x njjx ns nv ns nWienerWienerWiener由濾波器設(shè)計的正交方程：要求是平穩(wěn)時間序列；若時間序列不是平穩(wěn)隨機的或類平穩(wěn)隨機的， 則嚴格意義上不滿足濾波器設(shè)計條件，需要對濾波器結(jié)構(gòu)進行調(diào)整， 設(shè)問題的提計互出補：濾波器。112212( ) ( )( )( );( )( )( )( )( )s nx ns nv nx ns nv nv nv n設(shè)信號的兩次測量結(jié)果：其中，為低頻色噪，為高頻色噪。采用如圖的濾波結(jié)構(gòu)進行并行處理：+11( )( )( )x ns nv n22( )( )( )x ns nv n1( )G z( )G z( )s n高通(HP)低通(L

30、P)12 ( )( )( )(1( )( ) ( )( )( ),S zS zV zG zV z G zs nG z上圖中的輸出：若為平穩(wěn)時間序列（隨機性），則可按最小均方誤差準則設(shè)計使輸出誤差功率最小。11122( ) ( ) ( )( )- ( ) ( ) ( )( ) ( )-)(s nWienerS zS zV zS zS zG zG zv n v nV zV z若為確定序列，則不符合濾波理論的要求，不能進行最佳濾波器設(shè)計。為此，將上述濾波器的輸出變形為：濾波器的輸入實際為：是隨機序列，最佳線性濾波器的條件滿足。因此，Wiener互補濾波器的結(jié)構(gòu)為：+11( )( )( )x ns n

31、v n22( )( )( )x ns nv n( )G z( )( )s ns n+12 ( )-( )v n v n1 ( )v n211122(1)( )( )( )( ); ( )( )( )(2) ( )( )WienerG zLPv nv nv nHPv nv nv ns ns n互補濾波器的特點：為濾波器，濾除，通過，再抵消也可設(shè)計為，濾除，通過，再抵消。相對的時延小，實時性能好。(1)+ +(2) Wiener互補濾波器的應用案例：飛機盲著陸（無線電導航 高頻噪聲與自主定位 低頻噪聲）血液凈化系統(tǒng)中漏血可靠監(jiān)測（濾除電磁干擾，抵消檢測噪聲）第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波

32、器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener濾波的性能u互補Wiener濾波器設(shè)計u卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應用 ( )1. ( ),- ( )(1) ( ),-1()(1)( -1-1)nKalmanIIRWieners nnx iins nnxs n ns nniins n 一、標量型濾波器因果濾波器輸出的遞推算法結(jié)構(gòu)。符號約定：用 時刻及以前的所有測量數(shù)據(jù)對的最佳線性估計；用時刻及以前的所有測量數(shù)據(jù)對的最佳線性估計；：一0( )( )nInnovationGP nn步預測的新息（）；遞推過程中對一步預測新息加權(quán)

33、的系數(shù)；遞推過程中一步預測的均方誤差（功率）；遞推過程中各步預測的測量信：均方誤差（功率）；遞號測量信號實際信號實際信號實際推過程預測均方誤差（功率）的信號：穩(wěn)定值。12.( )( -1)( ) ( )( )( ) ( )(1)1 ()(11)( ) ncnns nas nnx ncs nv nIIRWienerGHzfacGf zs n nf s nnGx n遞推算法結(jié)構(gòu)： 設(shè)信號模型：測量模型： 由因果濾波器的傳輸函數(shù)：其中，有： (11)(11) ( )nas nnacnxGsnn3.(1)( -1)(11) ( ) (1)(11)(11)(2)(1)( ) 1 ) 1ns nns ns

34、 nas nnacsnas nns nnnnx n遞推算法的物理意義：用 時刻的最佳估計值，由信號模型對的一步預測：用一步預測值由測量模型預測： (1)(1)(11)x n ncs n nacs nn(3).( ): ( )(11)(4).(5).( ) ()(1) ( )(11) ( )(11) nnnnnx nacs nnG x nacs nx nx nacs nns nns n ns n nGn：與其一步預測的誤差，稱為新息：選擇加權(quán)系數(shù)對新息的加權(quán)；新息加權(quán)后對的一步預測值進行修正，得到 時刻的最佳估計值： (11) ( )(11)nas nnG x nacs nn024.(1) (2

35、)( )(3) ( )( )(); ( )( )( ) ( )min0nnnGnne ns ns n nnE e nnnGG加權(quán)系數(shù)的計算式遞推算法的構(gòu)造：問題： 確定各步遞推的加權(quán)系數(shù)；確定各步遞推的最小均方誤差及其穩(wěn)定值 ； 選擇合適的遞推初值。時刻的估計誤差：均方誤差：最佳估計：準則：( )()()( ) ( )()(1)0nnnne ns n ns n nex ncs n nnee nEnE實際上，估計誤差,而新息加權(quán)修正后,故：1121( ) ( )( )(1)( ) ( )( )e ne ns ns n nP nP nE e n設(shè)信號的一步預測誤差為：對應的一步預測誤差功率為：(

36、)( )(11)111( )()( )(1)( )(1) ( )( )( )(1) ( )( )( )( )(1) ( ) ()(1ncs nv nas nnnnnns ns n ns ns n nGx ncs n ne nG ce nG v ncG e nG v ncs nv ncs nxn nencnns于是，1 ( )( )ce nv n21121( )( )( )( (1) ( )0 ) ( )( )( )()( )1( )nnnnnnnnx ncs n nce nvcPe ne nG cnGRe nG v nGc PEEccG P nGcGRPR P ncnGnnn或顯然，即：一步預

37、測誤差功率越大，為需要的加權(quán)時刻的最修正量也佳加越大。權(quán)系數(shù)。 ( )( )() ( ) ()0( )e ns ns n nE e n snn n最佳由此，可線性估計的均方誤差以推出以下三個重要的計算式：的關(guān)系：0(1) ( ) (1)( ( )(1) ( ) (1) ( ) ( )(1) ( ) (1) 0 nnE eE e nE e ns n nG xs nncs n nE e n s nnnncs nGx nn0 (2) ( ) ( )(1) ( ) ( ) ()01)E e n x ncs n nE e n x nEce n s n nE e n x n(3) ( ) ( ) ( )(

38、 )( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0E e n x nE e n cs nv ncE e n s nE e n vE e n s nEne n v nc于是，21( )( ) ( ) ( )()1 ( ) ( ) ( ) ( )1 (1) ( )( ) ( ) (1)()nnnnnnE e nE e n s ns n nE e n s nE e n v nccG e nG v n v ncGRcccGRP nGn )(1) ( )ncG P n( )( )nnGnP ncG由于最佳權(quán)系數(shù)加權(quán)，使最佳線性估計的誤差功率較一步預測誤差功率減少“”。221

39、( )( )( )( ( )(1( )P nE e nE sP nns n nn與的遞推關(guān)系：2222 (1)( )(11) (1)( ) (1)(1)(11)(1)( ( 1) 1) eE as nnans ns nas nnE aenQnEnnenn式中，000 lim ( )lim ( -1(1)()nnnnnnnG RGnnRc隨著遞推次數(shù) 的增加，遞推動態(tài)過程趨于穩(wěn)定，且有由，代最小均方誤入和 以及差的穩(wěn)定值 ：的穩(wěn)定值：2220022220(1) +0( )aRc QRQa ca cn求解該一元二次方程，取正值即得到的穩(wěn)定值 。請推導請推導Kalman歸納起來，標量濾波器遞推算法公

40、式為：22(1) ()(11) ( )(11)(2) ( )(1)(3)( ) ( )(4) nns n nas nnG x nacs nnP nanQcP nGRc P n遞推主公式：一步預測預測誤差功率：最佳加權(quán)修正系數(shù)：各步估計均方誤差： ( )(1) ( )nnRnGcG P nc遞推計算初值的選擇：(0 0)s(0)1G(1)P12(0 0) (0)( (0)(0 0) min(0) 2 (0)(0 0)0(0 0 (0 0) (1)0)0(0 0)sGE ssE sEsssss 例如，若選擇和為遞推初應如何選擇值，呢？的選擇：12111 ( ) ( )0 (1)(1)= (1)(1

41、1)(1) (1)(0 0)( (1)(0 0)(1) (1) (1)(1)( (0(10) (1)0)2E e n x nE exEssxEsasG xacsxE sxacGGE sGxE x由前面分析有，所以的選擇：111( )(11)( )(1)(0 0)(1)(0 0)(0 0)0 (1 (0 0) (1)0(0 0nx nacs nnxEnxacsxxsxsss而，（的新息），所以 于是2112222222 (1) (1)(1)0 (1) (1) (1) (1) (1)(1) (1) (1)(0) (1)(1)(1)(0)( )(1ssE sxG E xE sxGE xE sxE c

42、sE svcRE xE c sE vc RRs nas n接上頁：2122)( )(0)1 1) (scQGc QaRQnRa1(1)( )0.8 (1)( )( )( )( )( ) (0,0.36), ( ) (0,1)( )( )( ) (1)( ) (2)( )( ) (3)(0 0)()nARs ns nnx ns nv nnNv nNv nx nnKalmans nP nGnGss n n例：已知信號的模型：，測量模型：。其中，與和不相關(guān)。試設(shè)計濾波器：給出最佳估計均方誤差的穩(wěn)定值；給出參量、的表達式；選擇合適的和，對進行00 (4) 1 . () 2 .( )s n nns n遞

43、推求解；遞推穩(wěn)定后，給出的遞推算法表達式；時刻及以前測量數(shù)據(jù)估計的表達式。02220022222000000.8,1,0.36,1,(1)(1)+ +0 0.640.720.360 (0.80.3)0(0.82037)51.acQRac QRQa ca c解：由題設(shè)，于是求解 的方程為02020(2) 1( )(1)0.64 (1)0.36( )( ) 2( )1( ) 3( )(1) ( )(1) ( )( ) 1( )nnnnP nanQncP nP nGRc P nP nncG P nG P nP nGP n各中間參量表達式：1122(3)(0 0) (0 0) (0)00.36 0.5

44、(1)0.360.36()sGsE scQGc QaRs n n先進行初值和的選擇：再進行遞推計算，求：n0010.50.50.5x(1)20.680.4050.4050.405x(2)+0.238x(1)70.60.3750.3750.375x(7)+0.1875x(6)+.( )P nnG( )n()s n n0111()0.375 ( )(1)(2)0.375()242iis n nx nx nx nx ni() 0.8(11 ) ( ) 0.8(11 )nsnnsnnG xnsnn 000(4) 0.375,1 . ()0.8 (11) ( )0.8 (11) 2 .( )11()00

45、.3.375 ( )(1)(20.375 ( )0.5 (11)750.3 547opts n ns nnx ns nnns ns n nx nGx nxx nnnns遞推穩(wěn)定后，有時刻及以前測量數(shù)據(jù)估計的表達式:02)1 0.375()2iix ni與本與本PPT P31結(jié)果一致。即：結(jié)果一致。即：Wiener濾波輸出是濾波輸出是Kalman濾波的穩(wěn)態(tài)解。濾波的穩(wěn)態(tài)解。(0 0)(0)s若選擇和為初值，則遞推計算流程為：( )(1) ( )nncG P n2( )( )ncP nGRc P n2( )(1)P nanQ( )n1z1z(1)x n n(11)s nn(1)s n n( )x

46、nnnGcccRaa()s n nQ( )P n KalmanKalmanAR二、矢量型濾波器是標量型濾波器的推廣；適用于通過觀測數(shù)據(jù)對多個獨立的一階或一個高階的時間序列的估計。2 ( )(1)( )(1,2,)( ) (0,1.)iii iiiqARs na s nniqnN對于 個獨立的一階模型的時間序列，有狀態(tài)方程：式一階狀態(tài)，方程中。121212 ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )(1)( )0000 00TqTqqq qs ns n s ns nnnnns nAs nnaaAa令則有矢量形式：其中， 1121 ( )()( )( )( )( ),( ) (

47、) (1)()qiiqTqqqARs na s nins nAsnnAa aasns n s ns nq對于 個 階模型時間序列：也有類似的一階狀態(tài)方程的矢量形式：式中，2( )(1,2, ,) ( )( )( )(1,2, ,)( )(20,).iiii iiivnkx n ik kqx nc s nv nik kqv n設(shè) 時刻有 個測量數(shù)據(jù)，測量模型為式中，觀測方程。1212 ( )( )( )( ) , ( ) ( )( )( ) ( )( )( )TTkkx nx n x nx nv nv n v nv nx nCs nv n令則觀測方程的矢量形式：12000000 00000kk

48、qccCc（注：僅考慮了一個測量數(shù)據(jù)受一個信號約束的上式中， 情況。）標量運算與矩陣運算對照：標量矩陣a bA BabAB2aTA A2a bTA B A1ab1()ABKalman標量與矢量濾波器參量對照：標量型矢量型a系數(shù)c系數(shù)nG最佳加權(quán)系數(shù)QR白噪聲功率 、( )P n一步預測誤差功率( )n最佳估計均方誤差( ) ()nqqA系數(shù)矩陣：階方陣(一般為對角陣)( ) ()nkqC系數(shù)矩陣：階矩陣( ) ()nqkG最佳加權(quán)系數(shù)矩陣：階矩陣( ) ()( ) ()nqqnkkQR白噪聲功率：-階、-階對角陣( ) ()nqqP一步預測誤差功率矩陣：階矩陣( ) ()nqq最佳估計均方誤差

49、矩陣：階矩陣1()( ) (11)( ) ( )( ) ( ) (11)( )( ) (1)( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )TTTKalmans n nn s nnn x nnn s nnnnnnnnnnnnnnnnnAGCAPAAGPCCPCRIGCP于是，參照標量濾波器的遞推公式有：矢量型參量第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener濾波的性能u互補Wiener濾波器設(shè)計u卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應用卡爾曼濾波器的應用000( )( )( )(

50、 )( )(1)(1)(1)(1)( )KalmannnnnnnTTnnnnn應用一：雷達跟蹤系統(tǒng)中的濾波器設(shè)時刻 目標與雷達的徑向距離為，表示平均距離，表示平均距離偏移量。目標的徑向速度為；方位角為，方位角速度為。雷達旋轉(zhuǎn)周期為 秒， 秒后的徑向距離、徑向速度、方位角、方位角速度分別為、。假設(shè)雷達每旋轉(zhuǎn)一周，則完成一次對目標徑向距離偏移量( )nKalman和方位角的測量。試建立矢量濾波器的狀態(tài)方程、測量方程，并進行遞推初值選擇。(1)n( )n(1)n( )n( )n(1)n0( )n0(1)n雷達目標目標雷達跟蹤目標示意圖121(1)( )( ) (1)( )( )( )( )( )(

51、)( )(1)( )( ) TnnTnnnTnnnnnnnnTn解： 據(jù)題設(shè)，若 不太大，則近似有：外界（如氣流）和內(nèi)部因素可能引起和的隨機變化，分別用隨機序列和表示：2( )(1)( )( )nnnTn112212( )(1)0 ( )(1)0,( )( )0EnnEnnn mEnm一般有，2211222122( )( ) ( )( )nnEnEn和滿足平穩(wěn)性，并假設(shè)：12341122213344421( )( ),( )( ),( )( ),( )( )(1)( )( )(1)( )( ) (1)( )( )(1)1)( )( )( ) ( )s nns nns nns nns ns nTs ns ns nns ns nTs ns ns nns ns n s設(shè)狀態(tài)變量狀態(tài)方程：狀態(tài)方程為：令，23412( )( )( ) ,( )0( ) 0