第三章 最佳線性濾波器

1、第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener濾波的性能u互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)u卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應(yīng)用最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述最優(yōu)估計(jì)：在許多實(shí)際問題中，需要研究隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量或隨機(jī)矢量的估計(jì)問題，即：按照某種最優(yōu)準(zhǔn)則對(duì)隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量或隨機(jī)矢量作出估計(jì)。 在信息與通信工程領(lǐng)域常稱為“波形估計(jì)”； 在控制科學(xué)與工程領(lǐng)域常稱為“狀態(tài)估計(jì)”。 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )s nv nx ns nv ny ns ns n信號(hào)在傳輸時(shí)引入加性噪聲，接收信號(hào)，

2、希望經(jīng)最佳濾波器濾波后的輸出濾恢復(fù)最佳 波：。最優(yōu)準(zhǔn)則：包括最大后驗(yàn)準(zhǔn)則、最大似然準(zhǔn)則、均方準(zhǔn)則、線性均方準(zhǔn)則等。最佳線性濾波器采用線性均方準(zhǔn)則，通常稱為“最小均方誤差（LMS）”和“最小二乘（LS）”準(zhǔn)則。統(tǒng)計(jì)均方意義下的準(zhǔn)則，要求輸入為隨機(jī)過程（序列），通常假定“平穩(wěn)”和“各態(tài)歷經(jīng)”。000. . . nnIIRnnIIRnpFIR1過濾：用 時(shí)刻及以前的輸入數(shù)據(jù)估計(jì) 時(shí)刻的信號(hào)值，對(duì)應(yīng)為因果；2平滑：用過去、 時(shí)刻及未來的全部輸入數(shù)據(jù)估計(jì)時(shí)刻的信號(hào)值，對(duì)應(yīng)為非因果；3預(yù)最測：用 時(shí)刻及以前的佳線性濾波器的主要應(yīng)用共 個(gè)輸入數(shù)據(jù)預(yù)測未來某時(shí)刻的信號(hào)值，對(duì)應(yīng)為場景：；最佳線性濾波器結(jié)構(gòu)2(

3、)( )( )( )( ) (0,)vs nx ns nv nv nN為源信號(hào)，是獲取的對(duì)象；為加輸性噪聲。入序列：LTI(h(n)( )x n( )( )y ns n+( )( )d ns n( )( )( )( )( )e nd ny ns ns n( )( )( )( ) ( )( )( ) ()iy ns nh nx nx nh nh i x ni輸出序列：( )( )h nH z獲得系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，或傳輸函數(shù)設(shè)計(jì)目的：。( ),0,-1;( ),0 , ;( ),(- ,)FIRh n nNIIRh n nIIRnLThnI ：因果：）非因果：濾波。器的類型： ( )= ( )+

4、 ( ) ( )( )( )=( ) () is ns ne ne ns ns nh i x ni（） 由信號(hào)正交性理解最優(yōu)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則 而，故解：正交分定理( )() ( ) ()0E e ne nx niix nii， 或 （正交方程）22 ( )( )( ( )( ) nE e nE s ns nMin設(shè)最計(jì)準(zhǔn)則小均方誤差準(zhǔn)則，即：第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener濾波的性能u互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)u卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應(yīng)用 ( ) ()0 ( ( )( ) () () ( )

5、()( ) () ( )iiE e n x nmmE s nh i x ni x nmE s n x nWienerE x ni x nmHoh ipfm由正交方程方程： ()( )(0)xsxiRiiRmhm ( )( )( ) ( )( )()0 xxxxissRmh i R miRmx ns nR mxmWienerHopnf輸入與信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)；輸入的自相方程關(guān)函數(shù)。1( )( ) ( )( )optoptZoptoptZWhnHizhnenerHHozpf求解的目的是得到最優(yōu)的單位脈沖響應(yīng)或系統(tǒng)傳輸函數(shù)方程的求解：01 .FIRWiener型濾波器(1 )xn N 1z1z1z1N

6、h2Nh1h0h+-( )s n+( )( )y ns n( )e n( )x n(1)x n(2)x nN( )( )( ), (1), (1)Th nx nx n x nx nN輸入時(shí)間序列（與等長）：(0), (1), (1)Thhhh N 有限單位脈沖響應(yīng)序列：( )( ) ( ) ( )(0),(1),(1)Txsxsxsx ns nPPEx n s nRRRN 與的互相關(guān)函數(shù)（ 為列矢量）：( ) ( )( )(0)(1)(2)(1)(1)(0)(1)(2) (2)(1)(0)(3)(1)(2)(3)(0)TxxxxxxxxxxxxxxxxN Nx nEx n xnRRRR NRR

7、RR NRRRR NR NR NR NRR輸入數(shù)據(jù)時(shí)間序列的自相關(guān)矩陣：Toeplitz對(duì)稱陣 TTTWienerHopfPhPhh RRR 方程的矩陣形式：或-1 opthPR 濾波器單位脈沖響應(yīng)的最優(yōu)解：1-1-1 ( )( )( )()( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) TTTTToptTy ns nhx nPx nE s n xnE x n xnExsxnnnnxRR 濾波器輸出：( )( )( ) ( ), ( -1)(1)s ns nX nx n x nx N是在信號(hào)空間，上的正交投影。觀測信號(hào)為： ，試中 是方差為0.45的零均值白噪聲，它與s(n）統(tǒng)計(jì)

8、獨(dú)立。設(shè)計(jì)一個(gè)長為N=3的FIR濾波器來處理x(n)，使得其輸出與s(n)的差的均方值最小。例：設(shè)信號(hào)s(n)的自相關(guān)序列為：| |( )0.8 ,0, 1,msR mm ( )( )( )x ns nv n( )v n解：( ) ( ) (1) (2)Tx nx n x nx n ( )( )TE x n x nR (0) (1) (2)Thhhh( )( )(1)(1)( )( )(1)(1)(2)(2(2)(2)s nv nEs nv ns nv ns nv ns nv ns nv n222(0)(1)(2)00(1)(0)(1)00(2)(1)(0)00sssvsssvssssvRRR

9、RRRRRR ( ) ( )PE x n s n |2|(0)1,(1 )( 1)0.8 ( )0.8,(2)( 2)0.640.4 5 sssssvmsRRRRRR m而， 所以-1-11.450.80.6410.53580.81.450.80.8= 0.20570.640.81.450.640.0914opthPR ( )( )( ) ( )(0)(1)(1)( )(1) ( )( 1)(2)(2)(2) ( )( 2)ssss nv ns n s nREs nv ns nEs ns nRs nv ns ns nR解： (0) (1) (2) (3)Thhhhh( ) ( ), (1),

10、(2), (3)Tx nx n x nx nx n7220( )11 (0) ( ) ( )sin ()sin ()4842sis nniRE s n s nE計(jì)算確定信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)：41(1)( 1)(1) ( )sinsin441(2 1)2 1()4 coscos(1)2444ssinnRE snsnEnER 試設(shè)計(jì)一個(gè)長為N=4的FIR濾波器對(duì)x(n)進(jìn)行濾波得到 ，使得例：在測試某正弦信號(hào) 的過程中疊加有零均值、方差 的白噪聲 ，即測試結(jié)果為： ( )sin(/4)s nn20.01v( )sin(/4)( )x nnv n( )s n它與 的誤差的均方值最小。求該濾波器的沖激響應(yīng)

11、并估計(jì)誤差平均功率（ 與 不相關(guān)）。( )s n( )v n( )s n( )v n52(2)( 2)(2) ( )sinsin4412(22) 1 coscos0(2)244()4issnnRE s ns nEnER 63(3)( 3)(3) ( )sinsin4413(23)2 coscos(3)()441424sisnnRE s ns nEnER 2(0)(1)(2)(3)(1)(0)(1)(2)(2)(1)(0)(1)(3)(2)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1) )(0ssTTTsssssssssssssssvvx nE x n xnE s n snE vRRRR

12、RRRnRRRRRRRRRvnRRR計(jì)算輸入時(shí)間序列的自相關(guān)矩陣：I( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ 2(0)( ) ( )( 1)(1) ( )2 / 4 =( 2)(2) ( )0( 3)(3) ( )2 / 4ssssx ns nPE x n s nE s n s nRs n s nRs ns nERs ns nRs ns n 計(jì)算與之間的互相關(guān)矢量： 10.49500.350100.3501opthPR 21min2( )( )0.005 0.0113TvnE snPPdBR 平均功率誤差：較降低 倍（）( )sin4ns n期望信號(hào)2( ),0.01vv n白噪聲(

13、)( )( )x ns nv n觀測信號(hào)opt ( )( )*( )s nx nhn維納濾波器輸出信號(hào)02 .IIRWiener非因果型濾波器( )( )() xsoptxiRmhi R mimm Wiener-Hopf 方程：雙邊Z變換在z域有最佳系統(tǒng)傳輸函數(shù)：( )( )( )xsoptxSzHzSz( )( )x ns n與的互功率譜( )x n的自功率譜( )( ) ( )( )mmxxxsxsmmSzR m zSzRm z03 .IIRWiener因果型濾波器Wiener-Hopf 方程：0( )( )(), 0 xsoptxiRmhi R mim因i取值范圍的原因，直接求解求hop

14、t(i)非常困難。為此，令：輸入2( )( ) (0,)x nnN2( )( )( )xR mR mm 220( )( )( )()( ), 0 xssoptoptiRmRmhimihmm 21( )( ), 0optshmRmm21( )( )sH zSz00( ) .( ) .( )sssSzSzRk表示:1 只取單位圓內(nèi)的極點(diǎn)；2 只取的因果部分。一般情況，x(n)不為白噪聲，需經(jīng)兩步獲得因果IIR 傳輸函數(shù)：（1）利用 譜分解得到( )xSz( )B z ；（2）由211( )( )( )( )sF zGzSzB z與級(jí)聯(lián)得到系統(tǒng)傳輸函數(shù)。將因果IIR濾波器看成兩部分級(jí)聯(lián)1( )( )

15、F zB z( )Gz白化濾波器( )( )( )x ns nv n( )n( )( )y ns n( )cHz( )( )/( )B zN zD z( )x n( )n白噪聲最小相位LTI系統(tǒng)1211( )()( )()( )( )( )xxSzSzB zB zB zF zB z第一步：2211( )( )( )( ) 1( )( )( ) xxcHF zG zSzBzSzB zz第與級(jí)聯(lián)二步：11( )( )()( )()xssxsSzSzF zSzB z( )( ) ()inf i x ni( ) ( ) ()( )()()*( )sxsxsiRmEn s nmf i RmifmRm兩端

16、進(jìn)行Z變換得：21( )1( )( )()xscSzHzB zB z11( )( )( )ZZf nF zB z實(shí)際上，設(shè)( )( )xsxSzSz用表示關(guān)鍵：(1)( )xSz對(duì)進(jìn)行譜分解：3IIR（ ）計(jì)算因果維納濾波器：1( )=( ) ()xSzB z B z21(2)( )/(xsSzB z對(duì))進(jìn)行因果和逆因果分解：111( )( )( )=(xsxsxsSzSzSzB zB zB z)因果部分（極點(diǎn)在單位圓內(nèi)）逆因果部分（極點(diǎn)在單位圓外）4（ ）計(jì)算相應(yīng)沖激響應(yīng)：歸納起來，因果歸納起來，因果IIR維納濾波器設(shè)計(jì)步驟：維納濾波器設(shè)計(jì)步驟：1. .1( )( )2nccu ch nHz

17、 zdzj21( )1( )( )()xscSzHzB zB z1( )x n（） 觀測序列的功率譜及其譜分解( )s n例：觀測信號(hào) ，式中 是零均值、方差為1的白噪聲。期望信號(hào)s(n)是一個(gè)AR(1)過程：( )( )( )x ns nv n( )0.8 (1)( )s ns nw n( )v n式中 是零均值、方差 的白噪聲。期望信號(hào)s(n)與噪聲 不相關(guān)，噪聲 與 不相關(guān)。試設(shè)計(jì)一因果IIR維納濾波器對(duì)觀測信號(hào)進(jìn)行濾波，并求 的估計(jì) 。( )w n20.36w( )v n( )v n( )w n( )s n解：期望信號(hào)s(n)的功率譜為AR功率譜，即：2110.36( )=(1 0.8

18、)(1 0.8 )(1 0.8)(1 0.8 )wsSzzzzz10.36( )=( )( )1(1 0.8)(1 0.8 )xsvSzSzSzzz1211(1 0.5)(1 0.5 )1.6( ) ()(1 0.8)(1 0.8 )zzB z B zzz11110.36( )( )0.36(1 0.8)(1 0.8 )=(1 0.5 )(1 0.8)(1 0.5 )(1 0.8 )xssSzSzzzzB zB zzzz)(因果部分) (逆因果部分)2（ ）1211(1 0.5)(1 0.5 )=1.6( )=()=(1 0.8 )(1 0.8 )zzB zB zzz，( ) ( ) () (

19、 ) ()( )xssRmE x n s nmE s n s nmR m( )( )xssSzSz11_1( )( )0.3=(1 00.6(1 0.8.5 )xsxsSzSzzB zB zzz)3IIR（ ）因果維納濾波器傳遞函數(shù)21( )1( )( )()xscSzHzB zB z111110.6=(1 0.5)(10.375(100.8)1.6()51.8)0zzzz（4）濾波器輸出：( )0.5 (1)0.375 ( )s ns nx n10.375( )( )( )( )(1 0.5)cS zHz X zX zz輸出序列z變換：輸出時(shí)域序列：濾波器沖激響應(yīng)：0.375(0.5) ,

20、0( )0, 0ncnh nn( )(1)( )(1) ( )( )( ) ( ) ( )( ) (0,) ( ) ( ) ( ) (0, ) ( ) ( )0 ninivvs nas nnARx ncs nv nEniQnNQSQE v n v iRv nNRSRE v n s i，設(shè)信號(hào)模型：（模更一般型）測量模型：（線性疊加）且有：地, ( ) ( )0,n iE v nin i2212-( 0);(3)(1);)( )1(4cGHIIRWienera RPRicatiQPPRc PcPGRc PfacGzf z則因果濾波器的設(shè)計(jì)步驟為：(1)求解方程得正解；(2)求維納濾波器增益求維納

21、濾波器系數(shù)直接給出維納濾波器的傳輸函數(shù)。222 0.8,1,0.36,10.64 0.360.610.6 0.3751 0.6 acQRRicattia RPPQPPPRc PPWienercPGRc PWiener在上例中，。方程：濾波器增益：濾波器系數(shù)：11 (1-)0.8(1-0.375)0.50.375 ( )11 0.5 ( )0.375 (0.5)( )cnfacGIIRWienerGHzfzzIIRWienerh nu n因果濾波器傳輸函數(shù)：因果濾波器單位脈沖序列響應(yīng)：第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解

22、uWiener濾波的性能濾波的性能u互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)u卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應(yīng)用Wiener濾波器為最佳線性濾波，對(duì)應(yīng)最小均方誤差：2min( )( ) ( )( ( )( ) ( ) ( )(0)esnE enE e n s ns nE e n s nR1. .1( )( )2nesesu cRnSz zdzj1min. .1. .1. .1( )(0)( )21 ( )( )21 ( )( )( )2esesu csssu csoptxsu cnRSz z dzjSzSz z dzjSzHz Sz z dzj(1). 對(duì)IIR維納濾波器均方誤差的z域計(jì)算1. 誤差

23、性能誤差性能111.101(1)11(1) ( )( )1 ( )( )( ),2 1( )1 ( ),()( )(1)!iZZnnniucinirnrniirz zAdd One Slidex nX zx nX z zdzRes X z zzjzX z zrdRes X z zzzzX z zrdz：設(shè)離散序列，則若 為在單位圓內(nèi)的 階留數(shù)定理，：極點(diǎn)則0111 2( ) ( ),()( )ininniiz zzX z zRes X z zzzz X z z若 為在單位圓內(nèi)的單階極點(diǎn)，則110.36 ( )( )( )(0.371 0.8)(1 05(1 0.5).8 )xssoptIIRW

24、ienerzSzSzHzzz舉例：在上例的濾波器設(shè)計(jì)中，1min. .1. .11. .11( )(0)( )( )( )21 0.3(1( )( )210.36 (1)2(1 0.8)(1 0.8 ) 75(1 0.5 )essoptxsu coptsu cu cnRSzHz Sz z dzjHz Sz z dzjz dzjzzz0.0.5. .80.45(0.50.625 )(0.5)0.45(0.1 12(0.8)()0.8 11(0.8)(50.625 )0.45)(0.5)()0.80.8 (0. 0.50.62(57)3 5zu czdzjzzzzzzzzzz較214.3vdB 降

25、低）(2). FIR維納濾波器均方誤差的時(shí)域計(jì)算( )2min2222(1)( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Topte ns nToTptnE e nE e n s nE sns n s nE snhE x n s nE snhPEPPsnR 舉例：在 上例中，F(xiàn)IR維納濾波器的時(shí)域計(jì)算211min-21( )( )(0)1.450.80.641 110.80.640.81.450.80.80.640.81.450.64 0.2410(.TTsvnE snPPRPP RR 誤差功率：較452.)7dB降低的()( )( )( )( )(

26、)xss v ssvssSzSzSzSzSz以非因果IIR線性濾波器為例，可分析和說明Wiener濾波器實(shí)現(xiàn)了最佳的線性濾波：( )( )( )xsvSzSzSz( )( )|( )|( )|( )|( )( )( )|( )( )|xsssoptoptxsvsvSzSzSHzHSzSzSzSS1, |( )|=0 |( )|0 |( )|=0,|( )|0voptsvSHSS，( )cH( )ssS( )vvS維納濾波器與一般濾波器比較Wiener線性濾波一般線性濾波2. 實(shí)現(xiàn)問題實(shí)現(xiàn)問題問題一：實(shí)現(xiàn)精確度。問題一：實(shí)現(xiàn)精確度。Wiener濾波器最優(yōu)權(quán)系數(shù)需要由輸入信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)矩陣以及輸

27、入信號(hào)與期望輸出的互相關(guān)函數(shù)矩陣進(jìn)行計(jì)算。實(shí)際中，這兩個(gè)參數(shù)是未知的，需要通過估計(jì)得到，而一致性估計(jì)需要觀測無限長信號(hào)；問題二：計(jì)算復(fù)雜度。問題二：計(jì)算復(fù)雜度。求最優(yōu)濾波器單位脈沖響應(yīng)時(shí)需要矩陣求逆，其計(jì)算復(fù)雜度量級(jí)是濾波器長度的三次方。(1)(2)FIRIIRIIRFIRIIRIIR總之，實(shí)現(xiàn)最簡單，因果可實(shí)現(xiàn)，非因果不可實(shí)現(xiàn)；的輸出誤差最大，因果次之，非因果最小。解決辦法：改進(jìn)算法。解決辦法：改進(jìn)算法。由于存在這些問題，實(shí)際實(shí)現(xiàn)Wiener濾波時(shí)，并不是直接計(jì)算得到最優(yōu)Wiener濾波器的抽頭系數(shù)，而是代之以LMS, RLS, Kalman等自適應(yīng)濾波器。Kalman濾波器的主要特點(diǎn)：Ka

28、lman濾波是Wiener濾波的發(fā)展, 它最早用于隨機(jī)過程的參數(shù)估計(jì), 并在各種最佳濾波器和最佳控制中獲得極其廣泛的應(yīng)用。其主要特點(diǎn)是： (1)采用遞推算法結(jié)構(gòu)。 (2)具有RLS類自適應(yīng)濾波器的框架。 (3)具有標(biāo)量型和矢量型兩種結(jié)構(gòu)，由標(biāo)量型地推算法 可直接寫出矢量型算法的矩陣形式。第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener濾波的性能u互補(bǔ)互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)u卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應(yīng)用(1) ( ) ( ) ()0,( )( )( )(2)( ) exWienerRjE e

29、 n x njjx ns nv ns nWienerWienerWiener由濾波器設(shè)計(jì)的正交方程：要求是平穩(wěn)時(shí)間序列；若時(shí)間序列不是平穩(wěn)隨機(jī)的或類平穩(wěn)隨機(jī)的， 則嚴(yán)格意義上不滿足濾波器設(shè)計(jì)條件，需要對(duì)濾波器結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整， 設(shè)問題的提計(jì)互出補(bǔ)：濾波器。112212( ) ( )( )( );( )( )( )( )( )s nx ns nv nx ns nv nv nv n設(shè)信號(hào)的兩次測量結(jié)果：其中，為低頻色噪，為高頻色噪。采用如圖的濾波結(jié)構(gòu)進(jìn)行并行處理：+11( )( )( )x ns nv n22( )( )( )x ns nv n1( )G z( )G z( )s n高通(HP)低通(L

30、P)12 ( )( )( )(1( )( ) ( )( )( ),S zS zV zG zV z G zs nG z上圖中的輸出：若為平穩(wěn)時(shí)間序列（隨機(jī)性），則可按最小均方誤差準(zhǔn)則設(shè)計(jì)使輸出誤差功率最小。11122( ) ( ) ( )( )- ( ) ( ) ( )( ) ( )-)(s nWienerS zS zV zS zS zG zG zv n v nV zV z若為確定序列，則不符合濾波理論的要求，不能進(jìn)行最佳濾波器設(shè)計(jì)。為此，將上述濾波器的輸出變形為：濾波器的輸入實(shí)際為：是隨機(jī)序列，最佳線性濾波器的條件滿足。因此，Wiener互補(bǔ)濾波器的結(jié)構(gòu)為：+11( )( )( )x ns n

31、v n22( )( )( )x ns nv n( )G z( )( )s ns n+12 ( )-( )v n v n1 ( )v n211122(1)( )( )( )( ); ( )( )( )(2) ( )( )WienerG zLPv nv nv nHPv nv nv ns ns n互補(bǔ)濾波器的特點(diǎn)：為濾波器，濾除，通過，再抵消也可設(shè)計(jì)為，濾除，通過，再抵消。相對(duì)的時(shí)延小，實(shí)時(shí)性能好。(1)+ +(2) Wiener互補(bǔ)濾波器的應(yīng)用案例：飛機(jī)盲著陸（無線電導(dǎo)航 高頻噪聲與自主定位 低頻噪聲）血液凈化系統(tǒng)中漏血可靠監(jiān)測（濾除電磁干擾，抵消檢測噪聲）第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波

32、器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener濾波的性能u互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)u卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應(yīng)用 ( )1. ( ),- ( )(1) ( ),-1()(1)( -1-1)nKalmanIIRWieners nnx iins nnxs n ns nniins n 一、標(biāo)量型濾波器因果濾波器輸出的遞推算法結(jié)構(gòu)。符號(hào)約定：用 時(shí)刻及以前的所有測量數(shù)據(jù)對(duì)的最佳線性估計(jì)；用時(shí)刻及以前的所有測量數(shù)據(jù)對(duì)的最佳線性估計(jì)；：一0( )( )nInnovationGP nn步預(yù)測的新息（）；遞推過程中對(duì)一步預(yù)測新息加權(quán)

33、的系數(shù)；遞推過程中一步預(yù)測的均方誤差（功率）；遞推過程中各步預(yù)測的測量信：均方誤差（功率）；遞號(hào)測量信號(hào)實(shí)際信號(hào)實(shí)際信號(hào)實(shí)際推過程預(yù)測均方誤差（功率）的信號(hào)：穩(wěn)定值。12.( )( -1)( ) ( )( )( ) ( )(1)1 ()(11)( ) ncnns nas nnx ncs nv nIIRWienerGHzfacGf zs n nf s nnGx n遞推算法結(jié)構(gòu)： 設(shè)信號(hào)模型：測量模型： 由因果濾波器的傳輸函數(shù)：其中，有： (11)(11) ( )nas nnacnxGsnn3.(1)( -1)(11) ( ) (1)(11)(11)(2)(1)( ) 1 ) 1ns nns ns

34、 nas nnacsnas nns nnnnx n遞推算法的物理意義：用 時(shí)刻的最佳估計(jì)值，由信號(hào)模型對(duì)的一步預(yù)測：用一步預(yù)測值由測量模型預(yù)測： (1)(1)(11)x n ncs n nacs nn(3).( ): ( )(11)(4).(5).( ) ()(1) ( )(11) ( )(11) nnnnnx nacs nnG x nacs nx nx nacs nns nns n ns n nGn：與其一步預(yù)測的誤差，稱為新息：選擇加權(quán)系數(shù)對(duì)新息的加權(quán)；新息加權(quán)后對(duì)的一步預(yù)測值進(jìn)行修正，得到 時(shí)刻的最佳估計(jì)值： (11) ( )(11)nas nnG x nacs nn024.(1) (2

35、)( )(3) ( )( )(); ( )( )( ) ( )min0nnnGnne ns ns n nnE e nnnGG加權(quán)系數(shù)的計(jì)算式遞推算法的構(gòu)造：問題： 確定各步遞推的加權(quán)系數(shù)；確定各步遞推的最小均方誤差及其穩(wěn)定值 ； 選擇合適的遞推初值。時(shí)刻的估計(jì)誤差：均方誤差：最佳估計(jì)：準(zhǔn)則：( )()()( ) ( )()(1)0nnnne ns n ns n nex ncs n nnee nEnE實(shí)際上，估計(jì)誤差,而新息加權(quán)修正后,故：1121( ) ( )( )(1)( ) ( )( )e ne ns ns n nP nP nE e n設(shè)信號(hào)的一步預(yù)測誤差為：對(duì)應(yīng)的一步預(yù)測誤差功率為：(

36、)( )(11)111( )()( )(1)( )(1) ( )( )( )(1) ( )( )( )( )(1) ( ) ()(1ncs nv nas nnnnnns ns n ns ns n nGx ncs n ne nG ce nG v ncG e nG v ncs nv ncs nxn nencnns于是，1 ( )( )ce nv n21121( )( )( )( (1) ( )0 ) ( )( )( )()( )1( )nnnnnnnnx ncs n nce nvcPe ne nG cnGRe nG v nGc PEEccG P nGcGRPR P ncnGnnn或顯然，即：一步預(yù)

37、測誤差功率越大，為需要的加權(quán)時(shí)刻的最修正量也佳加越大。權(quán)系數(shù)。 ( )( )() ( ) ()0( )e ns ns n nE e n snn n最佳由此，可線性估計(jì)的均方誤差以推出以下三個(gè)重要的計(jì)算式：的關(guān)系：0(1) ( ) (1)( ( )(1) ( ) (1) ( ) ( )(1) ( ) (1) 0 nnE eE e nE e ns n nG xs nncs n nE e n s nnnncs nGx nn0 (2) ( ) ( )(1) ( ) ( ) ()01)E e n x ncs n nE e n x nEce n s n nE e n x n(3) ( ) ( ) ( )(

38、 )( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0E e n x nE e n cs nv ncE e n s nE e n vE e n s nEne n v nc于是，21( )( ) ( ) ( )()1 ( ) ( ) ( ) ( )1 (1) ( )( ) ( ) (1)()nnnnnnE e nE e n s ns n nE e n s nE e n v nccG e nG v n v ncGRcccGRP nGn )(1) ( )ncG P n( )( )nnGnP ncG由于最佳權(quán)系數(shù)加權(quán)，使最佳線性估計(jì)的誤差功率較一步預(yù)測誤差功率減少“”。221

39、( )( )( )( ( )(1( )P nE e nE sP nns n nn與的遞推關(guān)系：2222 (1)( )(11) (1)( ) (1)(1)(11)(1)( ( 1) 1) eE as nnans ns nas nnE aenQnEnnenn式中，000 lim ( )lim ( -1(1)()nnnnnnnG RGnnRc隨著遞推次數(shù) 的增加，遞推動(dòng)態(tài)過程趨于穩(wěn)定，且有由，代最小均方誤入和 以及差的穩(wěn)定值 ：的穩(wěn)定值：2220022220(1) +0( )aRc QRQa ca cn求解該一元二次方程，取正值即得到的穩(wěn)定值 。請(qǐng)推導(dǎo)請(qǐng)推導(dǎo)Kalman歸納起來，標(biāo)量濾波器遞推算法公

40、式為：22(1) ()(11) ( )(11)(2) ( )(1)(3)( ) ( )(4) nns n nas nnG x nacs nnP nanQcP nGRc P n遞推主公式：一步預(yù)測預(yù)測誤差功率：最佳加權(quán)修正系數(shù)：各步估計(jì)均方誤差： ( )(1) ( )nnRnGcG P nc遞推計(jì)算初值的選擇：(0 0)s(0)1G(1)P12(0 0) (0)( (0)(0 0) min(0) 2 (0)(0 0)0(0 0 (0 0) (1)0)0(0 0)sGE ssE sEsssss 例如，若選擇和為遞推初應(yīng)如何選擇值，呢？的選擇：12111 ( ) ( )0 (1)(1)= (1)(1

41、1)(1) (1)(0 0)( (1)(0 0)(1) (1) (1)(1)( (0(10) (1)0)2E e n x nE exEssxEsasG xacsxE sxacGGE sGxE x由前面分析有，所以的選擇：111( )(11)( )(1)(0 0)(1)(0 0)(0 0)0 (1 (0 0) (1)0(0 0nx nacs nnxEnxacsxxsxsss而，（的新息），所以 于是2112222222 (1) (1)(1)0 (1) (1) (1) (1) (1)(1) (1) (1)(0) (1)(1)(1)(0)( )(1ssE sxG E xE sxGE xE sxE c

42、sE svcRE xE c sE vc RRs nas n接上頁：2122)( )(0)1 1) (scQGc QaRQnRa1(1)( )0.8 (1)( )( )( )( )( ) (0,0.36), ( ) (0,1)( )( )( ) (1)( ) (2)( )( ) (3)(0 0)()nARs ns nnx ns nv nnNv nNv nx nnKalmans nP nGnGss n n例：已知信號(hào)的模型：，測量模型：。其中，與和不相關(guān)。試設(shè)計(jì)濾波器：給出最佳估計(jì)均方誤差的穩(wěn)定值；給出參量、的表達(dá)式；選擇合適的和，對(duì)進(jìn)行00 (4) 1 . () 2 .( )s n nns n遞

43、推求解；遞推穩(wěn)定后，給出的遞推算法表達(dá)式；時(shí)刻及以前測量數(shù)據(jù)估計(jì)的表達(dá)式。02220022222000000.8,1,0.36,1,(1)(1)+ +0 0.640.720.360 (0.80.3)0(0.82037)51.acQRac QRQa ca c解：由題設(shè)，于是求解 的方程為02020(2) 1( )(1)0.64 (1)0.36( )( ) 2( )1( ) 3( )(1) ( )(1) ( )( ) 1( )nnnnP nanQncP nP nGRc P nP nncG P nG P nP nGP n各中間參量表達(dá)式：1122(3)(0 0) (0 0) (0)00.36 0.5

44、(1)0.360.36()sGsE scQGc QaRs n n先進(jìn)行初值和的選擇：再進(jìn)行遞推計(jì)算，求：n0010.50.50.5x(1)20.680.4050.4050.405x(2)+0.238x(1)70.60.3750.3750.375x(7)+0.1875x(6)+.( )P nnG( )n()s n n0111()0.375 ( )(1)(2)0.375()242iis n nx nx nx nx ni() 0.8(11 ) ( ) 0.8(11 )nsnnsnnG xnsnn 000(4) 0.375,1 . ()0.8 (11) ( )0.8 (11) 2 .( )11()00

45、.3.375 ( )(1)(20.375 ( )0.5 (11)750.3 547opts n ns nnx ns nnns ns n nx nGx nxx nnnns遞推穩(wěn)定后，有時(shí)刻及以前測量數(shù)據(jù)估計(jì)的表達(dá)式:02)1 0.375()2iix ni與本與本PPT P31結(jié)果一致。即：結(jié)果一致。即：Wiener濾波輸出是濾波輸出是Kalman濾波的穩(wěn)態(tài)解。濾波的穩(wěn)態(tài)解。(0 0)(0)s若選擇和為初值，則遞推計(jì)算流程為：( )(1) ( )nncG P n2( )( )ncP nGRc P n2( )(1)P nanQ( )n1z1z(1)x n n(11)s nn(1)s n n( )x

46、nnnGcccRaa()s n nQ( )P n KalmanKalmanAR二、矢量型濾波器是標(biāo)量型濾波器的推廣；適用于通過觀測數(shù)據(jù)對(duì)多個(gè)獨(dú)立的一階或一個(gè)高階的時(shí)間序列的估計(jì)。2 ( )(1)( )(1,2,)( ) (0,1.)iii iiiqARs na s nniqnN對(duì)于 個(gè)獨(dú)立的一階模型的時(shí)間序列，有狀態(tài)方程：式一階狀態(tài)，方程中。121212 ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )(1)( )0000 00TqTqqq qs ns n s ns nnnnns nAs nnaaAa令則有矢量形式：其中， 1121 ( )()( )( )( )( ),( ) (

47、) (1)()qiiqTqqqARs na s nins nAsnnAa aasns n s ns nq對(duì)于 個(gè) 階模型時(shí)間序列：也有類似的一階狀態(tài)方程的矢量形式：式中，2( )(1,2, ,) ( )( )( )(1,2, ,)( )(20,).iiii iiivnkx n ik kqx nc s nv nik kqv n設(shè) 時(shí)刻有 個(gè)測量數(shù)據(jù)，測量模型為式中，觀測方程。1212 ( )( )( )( ) , ( ) ( )( )( ) ( )( )( )TTkkx nx n x nx nv nv n v nv nx nCs nv n令則觀測方程的矢量形式：12000000 00000kk

48、qccCc（注：僅考慮了一個(gè)測量數(shù)據(jù)受一個(gè)信號(hào)約束的上式中， 情況。）標(biāo)量運(yùn)算與矩陣運(yùn)算對(duì)照：標(biāo)量矩陣a bA BabAB2aTA A2a bTA B A1ab1()ABKalman標(biāo)量與矢量濾波器參量對(duì)照：標(biāo)量型矢量型a系數(shù)c系數(shù)nG最佳加權(quán)系數(shù)QR白噪聲功率 、( )P n一步預(yù)測誤差功率( )n最佳估計(jì)均方誤差( ) ()nqqA系數(shù)矩陣：階方陣(一般為對(duì)角陣)( ) ()nkqC系數(shù)矩陣：階矩陣( ) ()nqkG最佳加權(quán)系數(shù)矩陣：階矩陣( ) ()( ) ()nqqnkkQR白噪聲功率：-階、-階對(duì)角陣( ) ()nqqP一步預(yù)測誤差功率矩陣：階矩陣( ) ()nqq最佳估計(jì)均方誤差

49、矩陣：階矩陣1()( ) (11)( ) ( )( ) ( ) (11)( )( ) (1)( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )TTTKalmans n nn s nnn x nnn s nnnnnnnnnnnnnnnnnAGCAPAAGPCCPCRIGCP于是，參照標(biāo)量濾波器的遞推公式有：矢量型參量第三章第三章 最佳線性濾波器最佳線性濾波器u最佳線性濾波概述最佳線性濾波概述uWiener-Hopf方程及其求解uWiener濾波的性能u互補(bǔ)Wiener濾波器設(shè)計(jì)u卡爾曼濾波器的遞推算法u卡爾曼濾波器的應(yīng)用卡爾曼濾波器的應(yīng)用000( )( )( )(

50、 )( )(1)(1)(1)(1)( )KalmannnnnnnTTnnnnn應(yīng)用一：雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)中的濾波器設(shè)時(shí)刻 目標(biāo)與雷達(dá)的徑向距離為，表示平均距離，表示平均距離偏移量。目標(biāo)的徑向速度為；方位角為，方位角速度為。雷達(dá)旋轉(zhuǎn)周期為 秒， 秒后的徑向距離、徑向速度、方位角、方位角速度分別為、。假設(shè)雷達(dá)每旋轉(zhuǎn)一周，則完成一次對(duì)目標(biāo)徑向距離偏移量( )nKalman和方位角的測量。試建立矢量濾波器的狀態(tài)方程、測量方程，并進(jìn)行遞推初值選擇。(1)n( )n(1)n( )n( )n(1)n0( )n0(1)n雷達(dá)目標(biāo)目標(biāo)雷達(dá)跟蹤目標(biāo)示意圖121(1)( )( ) (1)( )( )( )( )( )(

51、)( )(1)( )( ) TnnTnnnTnnnnnnnnTn解： 據(jù)題設(shè)，若 不太大，則近似有：外界（如氣流）和內(nèi)部因素可能引起和的隨機(jī)變化，分別用隨機(jī)序列和表示：2( )(1)( )( )nnnTn112212( )(1)0 ( )(1)0,( )( )0EnnEnnn mEnm一般有，2211222122( )( ) ( )( )nnEnEn和滿足平穩(wěn)性，并假設(shè)：12341122213344421( )( ),( )( ),( )( ),( )( )(1)( )( )(1)( )( ) (1)( )( )(1)1)( )( )( ) ( )s nns nns nns nns ns nTs ns ns nns ns nTs ns ns nns ns n s設(shè)狀態(tài)變量狀態(tài)方程：狀態(tài)方程為：令，23412( )( )( ) ,( )0( ) 0