第八章多元函數(shù)積分學(xué)-4

1、8.4 三重積分三重積分先把物體任意分成先把物體任意分成n個(gè)小塊，個(gè)小塊，Vi(i=1,2, ,n),在在每小塊每小塊Vi(體積也記為體積也記為Vi)上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn).),(lim. 410iiiniiVVM iiiiiVM ),(. 2 niiiiiniiVMM11),(. 3 一、三重積分的概念一、三重積分的概念。連連續(xù)續(xù)，求求該該物物體體的的質(zhì)質(zhì)量量且且處處的的密密度度為為上上的的點(diǎn)點(diǎn)，它它在在域域設(shè)設(shè)有有一一物物體體占占據(jù)據(jù)空空間間區(qū)區(qū)),(),(),(zyxzyxzyx 引例引例1),(iii 1、三重積分的定義三重積分的定義即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim

2、10 .,)1( 的的平平面面來(lái)來(lái)劃劃分分用用平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，如如果果.lkjizyxv 則則.積積元元素素叫叫做做直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的體體其其中中dxdydz積分區(qū)域積分區(qū)域被積函數(shù)被積函數(shù)積分變量積分變量體積元素體積元素說(shuō)明：說(shuō)明：的體積；域表示空間有界閉區(qū)時(shí)，當(dāng) dVzyxf1),()2(（3）三重積分與二重積分有類似的性質(zhì)）三重積分與二重積分有類似的性質(zhì)1、直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分、直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分二、三重積分的計(jì)算法xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy

3、),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)Dyx 穿穿出出穿穿入入，從從從從21zz函函數(shù)數(shù)，則則的的只只看看作作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間計(jì)計(jì)算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyx

4、zdzzyxfdydx注意：注意：(1) 上述三重積分化為先對(duì)上述三重積分化為先對(duì)z ,再對(duì)再對(duì)y, 最后對(duì)最后對(duì)x的三次積分的三次積分若投影區(qū)域若投影區(qū)域Dxy是是 y 型區(qū)域型區(qū)域，則積分順序?yàn)?，則積分順序?yàn)?z x y)()()()2(xzyzDDxozyozSyx或或，得得面面或或面面投投影影到到將將相相交交不不多多于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)，則則可可的的曲曲面面直直線線與與的的且且穿穿過(guò)過(guò)閉閉區(qū)區(qū)域域軸軸或或軸軸若若平平行行于于 )( xzyzxyyzxzyx或或積積分分順順序序?yàn)闉榻饨庥捎?22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx.),(11221122222 xyx

5、xxdzzyxfdydxI1xy0122 yx: 例例2 2 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三為三次積分，其中次積分，其中 積分區(qū)域積分區(qū)域 為由曲面為由曲面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所圍所圍成的空間閉區(qū)域成的空間閉區(qū)域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖，xozy111 zdxdydz zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .解解,面面投投影影到到將將yoz , 1,0,0: zyzyDyz下的二重積分下的二重積分積分，再求積

6、分，再求先對(duì)先對(duì)yzDx解解如圖如圖,面面投投影影到到將將xoz , 1:22 zxDxz下的二重積分下的二重積分再求再求積分，積分，先對(duì)先對(duì)xzDydzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 11222211zxDydydxdzxdxdydzxyxz 上述計(jì)算三重積分時(shí)，都是先計(jì)算一個(gè)定積分，上述計(jì)算三重積分時(shí)，都是先計(jì)算一個(gè)定積分，再計(jì)算一個(gè)二重積分（即三次積分）。再計(jì)算一個(gè)二重積分（即三次積分）。有些情況下，也可先計(jì)算一個(gè)二重積分，有些情況下，也可先計(jì)算一個(gè)二重積分，再計(jì)算一個(gè)定積分再計(jì)算一個(gè)定積分截面

7、法截面法z例例 5 5 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 橢球面橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區(qū)域所成的空間閉區(qū)域.: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式,0 r,20 . z2、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)，則這樣的三，則這樣的三的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為面上的投影面上的

8、投影在在為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr1)柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系 .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,dzr

9、drddv 2) 柱面坐標(biāo)系下的三重積分形式柱面坐標(biāo)系下的三重積分形式例例1 1 計(jì)算計(jì)算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如圖圖，投投影影到到把把閉閉區(qū)區(qū)域域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例計(jì)計(jì)算算 dxdydzyxI)(22， 其其中中 是是曲曲線線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的曲曲面面與與兩兩平平面面, 2 z8 z所所圍圍的的立立體體.解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區(qū)