梁的變形與剛度設(shè)計(jì)

1、一。一。 彎曲變形概念彎曲變形概念 , ,v 受載荷作用后，梁的軸線(xiàn)將彎曲成為一受載荷作用后，梁的軸線(xiàn)將彎曲成為一條光滑的連續(xù)曲線(xiàn)條光滑的連續(xù)曲線(xiàn),在平面彎曲的情況下，在平面彎曲的情況下，這是一條位于載荷所在平面內(nèi)平面曲線(xiàn)。這是一條位于載荷所在平面內(nèi)平面曲線(xiàn)。梁彎曲后的軸線(xiàn)稱(chēng)為梁彎曲后的軸線(xiàn)稱(chēng)為撓曲線(xiàn)撓曲線(xiàn)。相對(duì)于原截面轉(zhuǎn)過(guò)的角位移相對(duì)于原截面轉(zhuǎn)過(guò)的角位移，稱(chēng)為轉(zhuǎn)角，稱(chēng)為轉(zhuǎn)角 撓曲線(xiàn)是一條連續(xù)光滑平面曲線(xiàn)，其方程是撓曲線(xiàn)是一條連續(xù)光滑平面曲線(xiàn)，其方程是)(xfv 撓度撓度v截面形心在坐標(biāo)截面形心在坐標(biāo)y方向上的位移，其正負(fù)號(hào)與方向上的位移，其正負(fù)號(hào)與y坐標(biāo)軸正負(fù)相符；坐標(biāo)軸正負(fù)相符；轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角橫

2、截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，其正負(fù)號(hào)，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)，橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，其正負(fù)號(hào)，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)，)( xfvdxdvtg O OPyx梁截面有沿垂直方向的線(xiàn)位移梁截面有沿垂直方向的線(xiàn)位移v，稱(chēng)為撓度；，稱(chēng)為撓度；在小變形情況下，有：在小變形情況下，有：二。二。 撓曲線(xiàn)的近似微分方程撓曲線(xiàn)的近似微分方程EIxMx)()(1對(duì)梁，有：對(duì)梁，有：對(duì)平面曲線(xiàn)，有關(guān)系式：對(duì)平面曲線(xiàn)，有關(guān)系式：232)1 ( )(1vvxEIxMvxv)( )(11)1 (232由上兩式可得：由上兩式可得：考慮到彎矩考慮到彎矩M的符號(hào)與撓曲線(xiàn)凸向之間的關(guān)系的符號(hào)與撓曲線(xiàn)凸向之間的關(guān)系 M M00v

3、v00 x xy yM M00v v0b時(shí)，最大撓度發(fā)生在時(shí)，最大撓度發(fā)生在A(yíng)C段，可求得段，可求得則最大撓度為則最大撓度為RABARBPCablyxx1x2四。計(jì)算彎曲變形的疊加法四。計(jì)算彎曲變形的疊加法 小變形情況下，幾個(gè)載荷共同作用下所引起的某一物理量，等小變形情況下，幾個(gè)載荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起的物理量的總和（代數(shù)和或矢量和）。于各載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起的物理量的總和（代數(shù)和或矢量和）。疊加原理：疊加原理：a aBACa aq qa aM M=qa=qa2 2P P=qa=qaBACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)E

4、IPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaEIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaqAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534PBCaAaPBCaAa懸臂梁懸臂梁AB、BC段抗彎剛度分別為段抗彎剛度分別為EI1、 EI2，求，求A處的撓度。處的撓度。四。計(jì)算彎曲變形的疊加法四。計(jì)算彎曲變形的疊加法 小變形情況下，幾個(gè)載荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)所小變形情況下，幾個(gè)載荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起

5、的物理量的總和（代數(shù)和或矢量和）。引起的物理量的總和（代數(shù)和或矢量和）。用疊加法求圖示外伸梁的用疊加法求圖示外伸梁的C和和vC，梁的抗彎剛度是，梁的抗彎剛度是EI。a aBACa aq qa aM M=qa=qa2 2P P=qa=qa (a) 將梁上的載荷分解為三種簡(jiǎn)單載荷單獨(dú)作用的情形。將梁上的載荷分解為三種簡(jiǎn)單載荷單獨(dú)作用的情形。)3()2() 1 ()3()2() 1 (CCCCCCCCvvvv疊加原理：疊加原理：解解 應(yīng)用疊加法求轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)用疊加法求轉(zhuǎn)角和撓度BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)BACaaaP=qa(1)BACaaaM=qa2(

6、2)EIqaavvEIqaEIaqaPAPCCPAPCC4416)2 ()(4)()() 1 (32)()() 1 (，EIqaavvEIqaEIaqaMAMCCMAMCC3362)(4)()() 2(32)()() 2(，(b) 而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨(dú)作用的情形。而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨(dú)作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(3)BACaqaaqa(31)BACaaaq)32()31()3()32()31()3(CCCCCCvvv將將AC剛化剛化將將AB剛化剛化EIqaaEIqavEIqaEIaqaEIqavEIqaCCCC33 , 332)21(8 ,

7、 643)32(32)32(4)31(3)31(b) 而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨(dú)作用的情形。而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨(dú)作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(3)BACaqaaqa(31)BACaaaq)32()31()3()32()31()3(CCCCCCvvv將將AC剛化剛化將將AB剛化剛化EIqaEIqaEIqavvvEIqaEIqaEIqaCCCCCC241138 236444)32()31()3(333)32()31()3(，(d) 應(yīng)用疊加法，將三種情形下轉(zhuǎn)角和撓度疊加。應(yīng)用疊加法，將三種情形下轉(zhuǎn)角和撓度疊加。EIqaEIqaEIqaEIqavvvv

8、EIqaEIqaEIqaEIqaCCCCCCCC24132411341272344444)3()2()1(3333)3()2()1(BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)五。梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)五。梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì) 1.梁的剛度條件梁的剛度條件指梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角不能超過(guò)許可值，即指梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角不能超過(guò)許可值，即 ffmaxmax 彎曲構(gòu)件的剛度條件。彎曲構(gòu)件的剛度條件。2 剛度的合理設(shè)計(jì)剛度的合理設(shè)計(jì) 對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同要求，將最對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件

9、和構(gòu)件的不同要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角限制在一定范圍內(nèi)，即滿(mǎn)足彎曲剛度條件。大撓度和轉(zhuǎn)角限制在一定范圍內(nèi)，即滿(mǎn)足彎曲剛度條件。 BAP=3.5 kNC500500q=1.035 kNm 簡(jiǎn)化電機(jī)軸的尺寸和載荷如圖所示，已知簡(jiǎn)化電機(jī)軸的尺寸和載荷如圖所示，已知E=200GPa，d=130 mm，定子與轉(zhuǎn)，定子與轉(zhuǎn)子的許用間隙子的許用間隙=0.35mm；校核軸的剛度。；校核軸的剛度。mqlPldEEIqlEIPlvfC 10031.0384110035.15481105.313.01020064384548643845483434943443maxmmf 031. 0max解解 (a) 用疊加法求梁的

10、最大撓度用疊加法求梁的最大撓度(b ) 剛度校核剛度校核軸的剛度足夠。軸的剛度足夠。3 提高梁的彎曲剛度的措施提高梁的彎曲剛度的措施 梁的彎曲變形與彎矩梁的彎曲變形與彎矩M（x）及抗彎剛度有關(guān)，而影響梁彎矩的因素又包括載荷、支）及抗彎剛度有關(guān)，而影響梁彎矩的因素又包括載荷、支承情況及梁的有關(guān)長(zhǎng)度。因此，為提高梁的剛度，可采用如下一些措施：承情況及梁的有關(guān)長(zhǎng)度。因此，為提高梁的剛度，可采用如下一些措施：由梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程由梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程:EIxMdxvdv)( 22可見(jiàn)可見(jiàn) 1）. 選擇合理的梁截面，從而增大截面的慣性矩選擇合理的梁截面，從而增大截面的慣性矩I； 2）. 調(diào)整加載方

11、式，改善梁結(jié)構(gòu)，以減小彎矩：使受力部位盡可能靠近支座；或使調(diào)整加載方式，改善梁結(jié)構(gòu)，以減小彎矩：使受力部位盡可能靠近支座；或使集中力分散成分布力；集中力分散成分布力； 3）. 減小梁的跨度；增加支承約束；減小梁的跨度；增加支承約束；其中第三種措施的效果最為顯著，因?yàn)榱旱目玳L(zhǎng)或有關(guān)長(zhǎng)度是以其乘方影響梁的撓度和其中第三種措施的效果最為顯著，因?yàn)榱旱目玳L(zhǎng)或有關(guān)長(zhǎng)度是以其乘方影響梁的撓度和轉(zhuǎn)角的。轉(zhuǎn)角的。六。六。 簡(jiǎn)單靜不定梁簡(jiǎn)單靜不定梁 解除多余約束解除多余約束(個(gè)數(shù)與靜不定次數(shù)相同個(gè)數(shù)與靜不定次數(shù)相同)，代之以約束力，代之以約束力,C CB BA AP PC CB BA AP PR RC C 其次

12、，建立多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件，其次，建立多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件， yc=0得到靜不定梁的靜定基。得到靜不定梁的靜定基。 依此建立補(bǔ)充方程，依此建立補(bǔ)充方程， 0ccRcpyy聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程，得出所有約束力聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程，得出所有約束力 。 圖示桿系中，圖示桿系中，AB和和CD梁的抗彎為梁的抗彎為EI，BD桿的拉壓剛度是桿的拉壓剛度是EA，不計(jì)剪切變形，不計(jì)剪切變形的影響，求的影響，求BD桿的內(nèi)力。桿的內(nèi)力。解解(a) 去除去除D處的多余約束處的多余約束(b) 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系:21DDvvlCl/2BDAC CB BD DA AR RD DRRD DD D(1)(1)(2)(2)(c) 物理關(guān)系物理關(guān)系EIlREIqlvEAlEIlREAlREIlRvDDDDDD382323342331(d) 補(bǔ)充方程補(bǔ)充方程EAlEIlEIqlRREIlREIqlEAlEIlRDDDD2328382333343C CB BD DA AR RD DRRD DD D(1