函數(shù)的凸凹性與拐點(diǎn)

1、§5函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)教學(xué)目的與要求：掌握凸函數(shù)凹函數(shù)的定義掌握可導(dǎo)函數(shù)為凸函數(shù)的充要條件掌握拐點(diǎn)的定義掌握判斷函數(shù)拐點(diǎn)的必要條件和充分條件教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)：可導(dǎo)函數(shù)為凸函數(shù)的充要條件拐點(diǎn)的判別方法教學(xué)內(nèi)容：作函數(shù)的圖形時(shí)，僅知道函數(shù)單調(diào)性是不夠的，還應(yīng)知道其曲線彎曲的情形，即曲線凹凸的概念, 讀者已經(jīng)熟悉函數(shù)和的圖象。它們不同的特點(diǎn)是：曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的下方；而曲線則相反，任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的上方，我們把具有前一種特性的曲線稱為凸的，相應(yīng)的函數(shù)稱為凸函數(shù)：后一種曲線稱為凹的，相應(yīng)的函數(shù)稱為凹函數(shù)。定義1 設(shè)為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上的任意兩點(diǎn)和任意

2、實(shí)數(shù)總有 （1）則稱為上的凸函數(shù). 反之，如果總有 （2）則稱為上的凹函數(shù)。如果（1）、（2）中的不等式改為嚴(yán)格不等式，則相應(yīng)的函數(shù)稱為嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凹函數(shù)。圖6-12中的（a）和(b)分別是凸函數(shù)和凹函數(shù)的幾何形狀，其中。容易證明：若為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則為區(qū)間I上的凹函數(shù)，因此今后只需討論凸函數(shù)的性質(zhì)即可。引理為上的凸函數(shù)的充要條件是：對(duì)于I上的任意三點(diǎn)，總有 （3）(析)必要性 要證(3)式成立, 需證即. 記，則，由的凸性易知上式成立. 充分性 在I上任取兩點(diǎn)在上任取一點(diǎn)·即，由必要性的推導(dǎo)逆過(guò)程，可證得,故為上的凸函數(shù)。 注 同理可證，為上的凸函數(shù)的充要條件是：對(duì)于上任意

3、三點(diǎn)，有 （4）定理6.13 設(shè)為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，則下述論斷互相等價(jià)：為I上凸函數(shù)；為I上的增函數(shù)；對(duì)I上的任意兩點(diǎn)，有 （5）(析) 要證為I上的遞增函數(shù), 只需任取上兩點(diǎn)及充分小的正數(shù)，證明 成立,由是可導(dǎo)函數(shù)，令時(shí)便可得結(jié)論.由于，根據(jù)的凸性及引理有.在以為端點(diǎn)的區(qū)間上，應(yīng)用拉格朗日中值定理和遞增條件，有移項(xiàng)后即得（5）式成立，且當(dāng)時(shí)仍可得到相同結(jié)論設(shè)以為I上任意兩點(diǎn)，。由，并利用與，分別用和乘上列兩式并相加，便得從而為I上的凸函數(shù)。 注1 論斷的幾何意義是：曲線總是在它的任一切線的上方（圖6-14）。這是可導(dǎo)凸函數(shù)的幾何特征。對(duì)于凹函數(shù)，同樣有類似于定理6.13的結(jié)論。定理6.14

4、設(shè)為區(qū)間I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在I上為凸（凹）函數(shù)的充要條件是這個(gè)定理的結(jié)論可由定理6.3和定理6.13推出。注2 一般地說(shuō)，函數(shù)可能在它的定義域里的某些區(qū)間是凹的，在另一些區(qū)間是凸的，這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的凹凸區(qū)間,討論函數(shù)的凹凸區(qū)間，關(guān)鍵是找出凹凸區(qū)間的分界點(diǎn),由上述定理知，二階導(dǎo)數(shù)在其兩側(cè)異號(hào)的點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)、不連續(xù)的點(diǎn)和一階、二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)都是可能凹凸區(qū)間的分段點(diǎn), 例1 討論函數(shù)的凸(凹)性區(qū)間.解 由于，因而當(dāng)時(shí)，時(shí)。從而在上為凸函數(shù)，在上為凹函數(shù)。 例2 若函數(shù)為定義在開區(qū)間（a,b）內(nèi)的可導(dǎo)的凸（凹）函數(shù)，則為的極?。ù螅┲迭c(diǎn)的充要條件是為的穩(wěn)定點(diǎn)，即。證 下面只證明為凸

5、函數(shù)的情形。必要性已由費(fèi)馬定理給出，現(xiàn)在證明充分性。由定理6.13，任?。╝,b）內(nèi)的一點(diǎn)，它與一起有因?yàn)?，故?duì)任何總有即為在內(nèi)的極小值點(diǎn)（而且為最小值點(diǎn)）。 下面的例子是定義1的一般情況例3(詹森（Jensen）不等式)若為上凸函數(shù)，則對(duì)任意有 （6）證 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)，由定義1命題顯然成立，設(shè)時(shí)命題成立，即對(duì)任意及，都有現(xiàn)設(shè)及令則由數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)可推得 =。這就證明了對(duì)任何正整數(shù)，凸函數(shù)總有不等式（8）成立。 例4 證明不等式，其中，均為正數(shù)。證 設(shè)由的一階和二階導(dǎo)數(shù)可見，時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù)，依詹森不等式有從而即又因所以。 例5 設(shè)為開區(qū)間I內(nèi)的凸（凹）函數(shù)，證明在I內(nèi)任一點(diǎn)都存在左、右

6、導(dǎo)數(shù)。證 下面只證凸函數(shù)在存在右導(dǎo)數(shù)，同理可證也存在左導(dǎo)數(shù)和為凹函數(shù)的情形。 設(shè)，則對(duì)（這里取充分小的，使），由引理中的（4）式有令故由上式可見F為增函數(shù)，任取且，則對(duì)任何，只要，也有由于上式左端是一個(gè)定數(shù)，因而函數(shù)在上有下界。根據(jù)定理3.10極限存在，即存在。注 由例5易知開區(qū)間I內(nèi)的凸（凹）函數(shù)一定處處連續(xù)從幾何上看，研究曲線的形態(tài)變化時(shí)，其函數(shù)凹、凸區(qū)間的分界點(diǎn)十分重要，我們稱之為拐點(diǎn), 下面給出拐點(diǎn)的精確定義.定義2 設(shè)曲線在點(diǎn)處有穿過(guò)曲線的切線，且在切點(diǎn)近旁，曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸和嚴(yán)格凹的，這時(shí)稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)。由定義可見，拐點(diǎn)正是凸和凹曲線的分界點(diǎn)，如圖6-15中的點(diǎn)M。例

7、1中的點(diǎn)（0，0）為的拐點(diǎn)。容易驗(yàn)證：正弦曲線有拐點(diǎn)為整數(shù)。讀者容易證明下述兩個(gè)有關(guān)拐點(diǎn)的定理。定理6.15若在二階可導(dǎo)，則為曲線的拐點(diǎn)的必要條件是定理6.16設(shè)在可導(dǎo)，在某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)若在和上的符號(hào)相反，則為曲線的拐點(diǎn)注1 若是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)，在的導(dǎo)數(shù)不一定存在請(qǐng)考察函數(shù)在的情況注2 與函數(shù)的極值點(diǎn)不同，拐點(diǎn)是從幾何角度定義的，是平面上的點(diǎn)，必須用兩個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示,注3 曲線的拐點(diǎn)就是凹凸區(qū)間的分界點(diǎn),因此應(yīng)在使得和二階不可導(dǎo)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)中找拐點(diǎn),注4 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且 則是曲線的拐點(diǎn).從幾何上看，研究曲線的形態(tài)變化時(shí)，其函數(shù)凹、凸區(qū)間的分界點(diǎn)十分重要，我們稱之為拐

8、點(diǎn), 下面給出拐點(diǎn)的精確定義.定義2 設(shè)曲線在點(diǎn)處有穿過(guò)曲線的切線，且在切點(diǎn)近旁，曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸和嚴(yán)格凹的，這時(shí)稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)。由定義可見，拐點(diǎn)正是凸和凹曲線的分界點(diǎn)，如圖6-15中的點(diǎn)M。例1中的點(diǎn)（0，0）為的拐點(diǎn)。容易驗(yàn)證：正弦曲線有拐點(diǎn)為整數(shù)。讀者容易證明下述兩個(gè)有關(guān)拐點(diǎn)的定理。定理6.15若在二階可導(dǎo)，則為曲線的拐點(diǎn)的必要條件是定理6.16設(shè)在可導(dǎo)，在某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)若在和上的符號(hào)相反，則為曲線的拐點(diǎn)注1 若是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)，在的導(dǎo)數(shù)不一定存在請(qǐng)考察函數(shù)在的情況注2 與函數(shù)的極值點(diǎn)不同，拐點(diǎn)是從幾何角度定義的，是平面上的點(diǎn)，必須用兩個(gè)坐標(biāo)來(lái)表示,注3 曲線的拐點(diǎn)就是凹

9、凸區(qū)間的分界點(diǎn),因此應(yīng)在使得和二階不可導(dǎo)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)中找拐點(diǎn),注4 設(shè)在的某鄰域內(nèi)有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且 則是曲線的拐點(diǎn)從幾何上看，研究曲線的形態(tài)變化時(shí)，其函數(shù)凹、凸區(qū)間的分界點(diǎn)十分重要，我們稱之為拐點(diǎn), 下面給出拐點(diǎn)的精確定義.定義2 設(shè)曲線在點(diǎn)處有穿過(guò)曲線的切線，且在切點(diǎn)近旁，曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸和嚴(yán)格凹的，這時(shí)稱點(diǎn)為曲線的拐點(diǎn)。由定義可見，拐點(diǎn)正是凸和凹曲線的分界點(diǎn)，如圖6-15中的點(diǎn)M。例1中的點(diǎn)（0，0）為的拐點(diǎn)。容易驗(yàn)證：正弦曲線有拐點(diǎn)為整數(shù)。讀者容易證明下述兩個(gè)有關(guān)拐點(diǎn)的定理。定理6.15若在二階可導(dǎo)，則為曲線的拐點(diǎn)的必要條件是定理6.16設(shè)在可導(dǎo)，在某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)若在和上的符號(hào)相反，則為曲線的拐點(diǎn)注1 若是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)，在的導(dǎo)數(shù)不一定存在請(qǐng)考察函數(shù)在的情況注2