湖大理論力學(xué)3710]

1、 從運(yùn)動中考察系統(tǒng)平衡，建立理想約束模型，引入虛位移，由主動力在虛位移上的虛功關(guān)系，給出平衡條件；與達(dá)朗貝爾原理結(jié)合，構(gòu)成分析動力學(xué)基礎(chǔ)。 理想約束力不出現(xiàn),平衡條件必要且充分。第八章 虛位移原理與能量法1. 對可變系，平衡條件非充分2. 對物系，求解未知約束力多虛位移原理的優(yōu)越: 分析力學(xué)兩個基本原理之一分析靜力學(xué)基礎(chǔ)，也是分析動力學(xué)基礎(chǔ)。幾何靜力學(xué)的局限 8-1-1 約束及其分類 8-1-2 質(zhì)點(diǎn)系的位形222lyx2022vtlyx 8-1-1 約束及其分類約束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式。事先限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系位置和運(yùn)動的條件。1. 約束與約束方程約束:約束方程:yx( , )x yl 8-1 約束

2、與位形yx( , )x yv0l021nr,.r ,rf021t ,r,.r ,rfn按約束方程不同分類。 (1)定常與非定常(穩(wěn)定與非穩(wěn)定) (2)雙面與單面約束約束方程顯含時間t約束方程不顯含時間t約束方程為等式。約束方程為不等式。定常:非定常:雙面:單面:2. 約束分類: 8-1-1 約束及其分類 8-1 約束與位形 約束方程不包含質(zhì)點(diǎn)速度，或包含速度但是可積分的約束，稱為完整約束。 包含質(zhì)點(diǎn)速度且不可積分成完整約束的，稱為非完整約束。 (3)完整與非完整約束 8-1-1 約束及其分類 8-1 約束與位形CvR積分后 為完整約束。CxR圓輪純滾,約束方程為:222lyx2022vtlyx

3、定常、 雙面、 完整非定常、 單面、 非完整RCvCyx( , )x ylyx( , )x yv8-1 約束與位形 8-1-1 約束及其分類 8-1-2 質(zhì)點(diǎn)系的位形1.自由度k設(shè)n個質(zhì)點(diǎn)，受m個完整約束和l個非完整約束。k =3n-m-l空間剛體系 k =6n-s, s =m+l平面機(jī)構(gòu)k =3n-sk=?k=2n-sk=3n-s=34-(25+1)=1k=35-(26+2)=1=23-5=1確定系統(tǒng)位置的獨(dú)立參數(shù)數(shù)目。AB2O1OC8-1 約束與位形完全確定系統(tǒng)位置的最少參數(shù)，可以是長度，角度，面積等。個數(shù)為。完整約束系統(tǒng)非完整約束系統(tǒng) 滾動圓輪，滾動圓球，行駛自行車各有幾個自由度?2.廣

4、義坐標(biāo)k廣義坐標(biāo)相互獨(dú)立；k廣義坐標(biāo)相互不獨(dú)立。8-1 約束與位形 8-1-2 質(zhì)點(diǎn)系的位形222lyx2022vtlyx定常雙面 完整非定常單面非完整1k 廣義坐標(biāo):l、廣義坐標(biāo):1k yx( , )x yl0lyx( , )x yv 8-1-2 質(zhì)點(diǎn)系的位形 8-1 約束與位形雙擺:2 k12，可選 嗎?;ABABAABBxx yy xy xy，廣義坐標(biāo):均否! 不能完全確定系統(tǒng)位置!yxOAB1l2l218-1 約束與位形 8-1-2 質(zhì)點(diǎn)系的位形:,AAq xy:qtanCCyxtanCCyxn = 2m = 1k = = 3n = 2m= 3k = = 1 = 3l = 1k = 2

5、:,CCq xy確定下列系統(tǒng)自由度并選擇廣義坐標(biāo)。yxOABlyxOvCyxOABrl8-1 約束與位形 8-1-2 質(zhì)點(diǎn)系的位形 (1)直角坐標(biāo)形式:3.質(zhì)點(diǎn)系的位形描述(n個質(zhì)點(diǎn)): (2)廣義坐標(biāo)形式:一個點(diǎn)與一個位形對應(yīng)。利用廣義坐標(biāo)描述質(zhì)系運(yùn)動，幾何約束自然滿足。8-1 約束與位形維位形空間:1 2iiix ,y ,z i, .n。3n 個直角坐標(biāo)，12q ,q ,.q。個最少參數(shù)， 8-1-2 質(zhì)點(diǎn)系的位形8-2-1 虛位移8-2-2 虛功與理想約束8-2-3 虛位移原理8-2-1 虛位移 質(zhì)點(diǎn)在微小時間間隔內(nèi)實(shí)際發(fā)生的位移。 (與受力、控制方程與初始條件相關(guān))位置函數(shù)的微分。 n

6、個質(zhì)點(diǎn)的完整約束系統(tǒng)，k自由度，選廣義坐標(biāo),q,.q ,qk21),.,(21tqqqkiirr 1. 實(shí)位移1dddkiiisssrrrqtqt一組實(shí)位移d1 2 sqs, .k一組廣義實(shí)位移8-2 虛位移與虛位移原理位置函數(shù)的變分。 與實(shí)位移不同，虛位移是約束允許的，與主動力和運(yùn)動初始條件無關(guān)的，不需經(jīng)歷時間的假想的微小位移。 (具有獨(dú)立性，選擇性) 質(zhì)點(diǎn)在某瞬時發(fā)生的一切為約束允許的微小位移。 (與受力、控制方程與初始條件無關(guān))(1 2 3)sqs, , .,k一組廣義虛位移2. 虛位移1kiisssrrqq一組虛位移8-2 虛位移與虛位移原理8-2-1 虛位移 計(jì)算各點(diǎn)的虛位移，確定各

7、虛位移的關(guān)系。 常用幾何法與解析法。3 .虛位移計(jì)算定常約束下，實(shí)位移一定是虛位移中的一個。(多種形式)F12FFF8-2-1 虛位移8-2 虛位移與虛位移原理vCyxOABrl 確定圖示機(jī)構(gòu)中A，B兩點(diǎn)虛位移關(guān)系。cos90cosABrr 用求實(shí)位移的方法，而實(shí)位移與速度成正比，故可用類似速度分析的方法確定各點(diǎn)的虛位移的關(guān)系。相反方向虛位移，結(jié)果如何?cossinvABvC ArrC B()1)幾何法:sincosABrr亦可BrArBrAr8-2 虛位移與虛位移原理8-2-1 虛位移cossinAAxryrsincosAAxryr 幾何法直觀，解析法易求。求變分:k1 選 為廣義坐標(biāo)222

8、cossin0BBxrlry2222sincossinsinBrxrlr 2. 解析法:可見:yxOABrl8-2 虛位移與虛位移原理8-2-1 虛位移ABCD 求圖示機(jī)構(gòu)中，A,D兩點(diǎn)虛位移關(guān)系。cos 902cosBDrrcoscos2ABrrtg2DArr 反向， 方向如何?ArDrDrArBr8-2 虛位移與虛位移原理8-2-1 虛位移2.理想約束rFW8-2-2 虛功與理想約束虛位移具有假想性、任意性，與受力無關(guān)。作用力在虛位移上所作的功光滑面，光滑鉸，剛性桿，不可伸長的柔索等。其約束力的虛功之和為零。0iNirF滿足1.虛功8-2 虛位移與虛位移原理 獨(dú)立于牛頓定律的又一基本原理，

9、 不需證明。也不能證明(目前)。 由虛位移原理可導(dǎo)出牛頓定律與剛體平衡條件。8-2-3 虛位移原理 具有雙面、 理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位形保 持靜止平衡的充要條件是：作用于該質(zhì)系的主動力在該位置的任何一組虛位移上所作的虛功之和等于零，即 虛位移原理:0FiiWFr虛功方程0iiixiyiziF xF yF z或8-2 虛位移與虛位移原理 適用于任意約束質(zhì)點(diǎn)系，包括剛體與變形體，但對變形體需計(jì)入內(nèi)力虛功。 針對靜止平衡系統(tǒng)。 平衡的充要條件。(幾何靜力學(xué)對變形體非充分)vOA8-2 虛位移與虛位移原理8-2-3 虛位移原理給定虛位移，求力的平衡關(guān)系；給定主動力系，求平衡位置或位移；求約束力與內(nèi)

10、力。 本章針對剛體與簡單變形體。應(yīng)用: 力狀態(tài)與虛位移狀態(tài)相互獨(dú)立(無因果關(guān)系)8-2-3 虛位移原理8-2 虛位移與虛位移原理1.解題步驟:給定系統(tǒng)虛位移或受力狀態(tài)。首要條件: 系統(tǒng)須可動(至少1個自由度);不可動時，解除部分約束，代以相應(yīng)的約束力，并視約束力為主動力，進(jìn)行求解。3) 列虛功方程求解。2) 求各力作用點(diǎn)虛位移關(guān)系。8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng) (內(nèi)力虛功為零)第八章 虛位移原理與能量法 圖示滑塊連桿機(jī)構(gòu)，已知OAr，力偶矩M， 求平衡時力F與M之大小關(guān)系。FABCDMo30o30o30O1Or8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)第八章 虛位移原理與能量法給OA ， 各點(diǎn)虛位移如圖

11、:cos30cos60DCrr Arr(AB瞬時平移)CArr33Drr(a)FABCDMo30o30o30O1ODrCrArBr8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)第八章 虛位移原理與能量法cos300DMFr將(a)式代入，得2MFr0FW由 單自由度系統(tǒng)，給定某點(diǎn)虛位移后，其它各點(diǎn)虛位移由約束確定。題型特點(diǎn):已知虛位移，求主動力平衡關(guān)系。用幾何法求虛位移關(guān)系:定常約束下與速度關(guān)系相同。8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)第八章 虛位移原理與能量法若給相反方向虛位移，結(jié)果相同嗎？圖示機(jī)構(gòu)中，桿長O1A=O3C=O3D=l，套筒C可在O2C桿上滑動，圖示位置O1A鉛直，桿CD、AB水平，O2B=BC。求

12、力F與力偶矩M的平衡關(guān)系。ADMo602OB1O3OFlllC8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)第八章 虛位移原理與能量法ADMo602OB1O3OFC(b)給虛位移如圖(b)。由運(yùn)動關(guān)系:CDrr12eCrrcos30ABrr又DrArBrCrrrereCrrrr且12Berr而第八章 虛位移原理與能量法8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)由0FW，有0DrFMlMF83 為所求。.83DArrlrA若給出相反方向虛位移，結(jié)果相同。套筒C虛位移aervvvCerrrr應(yīng)用導(dǎo)出。ADMo602OB1O3OFC(b)DrArBrCrrrer8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)第八章 虛位移原理與能量法如圖所示，

13、4根等長均質(zhì)桿鉸聯(lián)懸掛于重力場中，每桿重量為G，長為l，試求平衡時桿的水平傾角 與 之間的關(guān)系。 完整系統(tǒng)k=2，兩組對稱桿重心豎向坐標(biāo)分別為 xyGGGGllll8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)第八章 虛位移原理與能量法12sin , sinsin22llyyl12cos, coscos22llyyl (a)給對稱虛位移:又 常數(shù)，故coscosllsinsin (b)第八章 虛位移原理與能量法0FW由，得122 ()0Gyy(c)tan3tan將式(a)，(b)代入式(c)得8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)xyGGGGllll1y2y 當(dāng)主動力與坐標(biāo)軸平行時，用解析法求虛位移關(guān)系較方便，應(yīng)注意

14、: (a) y與 正方向一致; (b) 定常約束下，變分運(yùn)算與微分運(yùn)算相同。 y題型特點(diǎn):已知主動力，求該系統(tǒng)平衡位置。系統(tǒng)自由度為2，約束允許圖示對稱虛位移。第八章 虛位移原理與能量法8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng) 惰鉗機(jī)構(gòu)由六根長桿和兩根短桿組成，長桿長2a，短桿長a，各桿之間用鉸鏈相連。它在頂部受力F的作用，問下部力FQ的大小為多少才能使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。圖中 為已知角，且不計(jì)摩擦。QFQFFACBa2a8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)第八章 虛位移原理與能量法cosCxasinCxa 7 sinAya7 cosAyasinBxacosBxa 取為廣義坐標(biāo)FAQBQCWFyF xF x (

15、-7cos2sin)0QFaF a 7ctg2QFF故1k由QFQFFACBa2ayx第八章 虛位移原理與能量法8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)求圖示結(jié)構(gòu)固定端C處的約束力偶矩。 已知力偶矩M，力F1和F2， OAl，ABBC2a，BDDC，=30, =60, OAB=90lACDMo60BOo301F2F2a2aCM第八章 虛位移原理與能量法解除C端轉(zhuǎn)動約束，代以MC，視為主動力。8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)ACDMo60BOo301F2FCMDrBrAr21cos600CDAMF rFrM 21332CaMMF aFal代入虛位移關(guān)系，得0FW由cos303 3ABArrarall又第八章

16、 虛位移原理與能量法8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)給，則rB=2a rD=a 先解除一個約束，代以相應(yīng)約束力，視該約束力為主動力。求靜定結(jié)構(gòu)約束力。題型特點(diǎn):lACDMo60BOo301F2F2a2a如何求FCx, FCy ?8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)第八章 虛位移原理與能量法ACDMo60BOo301F2F1. 求FCxDrBrCxArCxF第八章 虛位移原理與能量法8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng)lACDMo60BOo301F2F2a2a第八章 虛位移原理與能量法2. 求FCy ACDMo60BOo301F2FBrArCyCyF若同時解除C端3個約束，如何求解?再思考:8-3 虛功方程應(yīng)

17、用于剛體系統(tǒng)lACDMo60BOo301F2F2a2aABOFECD 如何求圖示結(jié)構(gòu)中支座D的水平約束力?cos0DxDEFrF r由WF=0，有 去D處水平連桿, 代FDx約束力。 給圖示虛位移。如何求FDy ?DvvErCCECr cosvDxvC EFFC C, vCDECvC Errr /r,C C而代入上式，得再思考:DrCrvCErArDxF第八章 虛位移原理與能量法8-3 虛功方程應(yīng)用于剛體系統(tǒng) 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng) (內(nèi)力虛功不為零) 8-4-1 虛功方程用于變形體的形式卡氏定理與莫爾定理8-4-2 虛變形能的計(jì)算8-4-3 卡氏定理與莫爾定理 虛功方程應(yīng)用于變形體系

18、時，內(nèi)力虛功一般不為零。0ieWW 8-4-1 虛功方程用于變形體的形式 即 外力虛功等于虛變形能。 這就是用于變形體的虛功方程形式。VWe 則有令 為變形體的虛變形能。iWV 式中 為外力虛功， 為內(nèi)力虛功。eWiW 質(zhì)點(diǎn)系的虛功方程可寫為 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng)1Fni212FiFnF彈性變形能 V 也可表示為各力作用點(diǎn)位移i的函數(shù)8-4-2 虛變形能的計(jì)算niVV,21ni21F,.F,.F,FVV iF 圖示變形體受約束無剛體位移，在力系 作用下，各力作用點(diǎn)位移為 ，在緩慢加載下，外力系作功轉(zhuǎn)化為變形體的變形能。彈性變形能V 可表示為各外力的函數(shù)。ni,.,.,FFFF21ii

19、 1 (1) niiVVFF1 (2)niiiVV則則 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng)121100iini,1. 卡氏定理給定圖示虛位移a) 卡氏第一定理8-4-3 卡氏定理與莫爾定理 變形體力學(xué)中的卡氏定理與莫爾定理等能量原理容易由用于變形體的虛功方程導(dǎo)出。(a)真實(shí)受力狀態(tài)1FiF2FnFni21(b)選定虛位移狀態(tài)0n 2 010i 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng)iiiiVF故iiVF 系統(tǒng)應(yīng)變能對某一真實(shí)位移的偏導(dǎo)數(shù)，在數(shù)值上等于這一真實(shí)位移處所施加的相應(yīng)外力。卡氏第一定理:8-4-3 卡氏定理與莫爾定理 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng)由 及 有VWe1niiiVVb) 卡氏第二定理由

20、 有1neiiiVWVVFF及給虛力狀態(tài) 如圖 (僅Fi0)iiiiFFVF故iiFV 彈性系統(tǒng)的應(yīng)變能對于某一個力Fi的偏導(dǎo)數(shù)等于與該力相應(yīng)的位移。導(dǎo)數(shù)為正時，i與力方向一致;為負(fù)時，方向相反?？ㄊ系诙ɡ?(a)真實(shí)受力狀態(tài)1FiF2FnFni21(b)虛設(shè)力狀態(tài)iF 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng)8-4-3 卡氏定理與莫爾定理Fi可以是一對力、 一力偶、 一對力偶， 稱為廣義力。 給定圖示虛力狀態(tài): Fi=1,其余力為零。真實(shí)狀態(tài)為虛位移。2. 莫爾定理由 ， 有VWe1 iV故Vi(求相對線位移) (求轉(zhuǎn)角)(求相對轉(zhuǎn)角)(廣義位移)(a)真實(shí)受力狀態(tài)1FiF2FnFni21(b)虛設(shè)

21、力狀態(tài)1iF 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng)8-4-3 卡氏定理與莫爾定理 系統(tǒng)沿某力Fi方向的位移等于由相應(yīng)單位力引起的內(nèi)力在真實(shí)變形中引起的虛變形能。應(yīng)用虛功方程還可導(dǎo)出功和位移的互等定理。莫爾定理:(各種構(gòu)件變形能的計(jì)算將在材料力學(xué)介紹。)8-4-3 卡氏定理與莫爾定理 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng) 如圖所示,兩根彈性桿的剛度系數(shù)分別為 ,在連接處O懸掛重量為G的重物,試求O點(diǎn)的水平位移與豎直位移。21,kk(a)BA30601k2kGO 1) 用莫爾定理求解。求水平位移時，虛設(shè)圖(b)力狀態(tài)，內(nèi)力如圖；將真實(shí)變形圖(a)作為虛位移，且112F 1232F (b)BA30601k2kO

22、1F 由 ，有iV121322Oxll12123, 22GGllkk故12311()4OxGkk8-4-3 卡氏定理與莫爾定理 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng) 求豎向位移時，虛設(shè)圖(c)所示單位豎向力狀態(tài)，2113()4OyGkk同理可得212F 1132F (c)1F BA30601k2kO 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng)8-4-3 卡氏定理與莫爾定理22221122121211131222222GGVklklkkkk系統(tǒng)變形能2) 用卡氏定理求位移121122213311322224O yVGGGkkGkkkkkk如何用卡氏定理求 ?Ox在結(jié)點(diǎn)O加水平力F FGVV,0OxFVFBA306

23、01k2kGO 8-4 虛功方程應(yīng)用于變形系統(tǒng)8-4-3 卡氏定理與莫爾定理8-5 勢力場中的虛功方程與平衡穩(wěn)定性勢力場中的虛功方程與平衡穩(wěn)定性8-5-1 勢力場中的虛功方程8-5-2 勢力場中平衡的穩(wěn)定性0)(iiziiyiixzFyFxF0)(iiiiiizzVyyVxxV有即 勢力場中的虛功方程。0V代入虛功方程主動力 有勢時，iF111()nnnVV x ,y ,z .x ,y ,z有勢函數(shù)ixiyiziiiVVVFFFxyz 且即對于保守系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)系平衡于勢能取駐值狀態(tài)。第八章 虛位移原理與能量法彈性力學(xué)中瑞利里茲法，就是基于這一方程。8-5-1 勢力場中的虛功方程圖示結(jié)構(gòu)中，4桿及

24、彈簧原長均為l，彈簧剛度為k,求平衡時力F與之關(guān)系。 取不受力時，滑塊A位置為力F零勢能位置；取彈簧原長l為彈性勢能零位置。則圖示位置時2( 32 sin)(2 cos)2kVll Fl l 由 得0V,(2cos1)tgFklCAkBDFllll8-5 勢力場中的虛功方程與平衡穩(wěn)定性8-5-1 勢力場中的虛功方程 由 ，有 0FW02 sin2 cosAkBDABDFyFlyl,ll(2cos1)tgFkl勢力場問題由0V求解，可避免求各虛位移關(guān)系，更為簡便。將彈簧力視為內(nèi)力，用一般形式虛功方程 0FW如何求解?計(jì)入彈簧內(nèi)力虛功，CAkBDFllll8-5 勢力場中的虛功方程與平衡穩(wěn)定性8-

25、5-1 勢力場中的虛功方程8-5-2 勢力場中平衡的穩(wěn)定性 0qqVqVV 單自由度系統(tǒng) :(多元函數(shù)極值判別法!) 若系統(tǒng)在某一位形處，滿足 取駐值，考察VVV則, 0可取極小，極大，拐點(diǎn)或常量？例如:22d(3) 0dq qVq時，22d(1) 0dq qVq時，穩(wěn)定min VV，22d(2) 0dq qVq不穩(wěn)定max VV，時，最小勢能原理8-5 勢力場中的虛功方程與平衡穩(wěn)定性拐點(diǎn) 如圖所示，均質(zhì)桿AB長 ，質(zhì)量 ，彈簧剛度系數(shù) ，當(dāng)桿與鉛直方向夾角 時，彈簧正好為原長,試求桿的平衡位置，并判斷其穩(wěn)定性。 0.6ml 10kgm 200N/mk 0mgABk8-5 勢力場中的虛功方程與

26、平衡穩(wěn)定性8-5-2 勢力場中平衡的穩(wěn)定性取彈簧原長為零勢能狀態(tài)，過B的水平面為重力勢能零勢面，則任意 位置時系統(tǒng)勢能: (1cos )sin02mgkl221(1 cos )cos22lVklmg由 ，有d0dVmgABk8-5-2 勢力場中平衡的穩(wěn)定性8-5 勢力場中的虛功方程與平衡穩(wěn)定性可知再由2222d(coscossin)cosd2Vmgklo220d29 40dV., o2253 8d46 90d.V.,為不穩(wěn)定平衡位置;01為穩(wěn)定平衡位置。8532.mgABk2arccos(1)53.82mgkl10，故8-5 勢力場中的虛功方程與平衡穩(wěn)定性8-5-2 勢力場中平衡的穩(wěn)定性 圖示

27、橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿AB長 l，桿重和滑道摩擦不計(jì)，在主動力 F1 和 F2 作用下于圖示位置平衡，求主動力之間的關(guān)系。 研究整個機(jī)構(gòu)，系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。補(bǔ)充題B1FA2F8-5 勢力場中的虛功方程與平衡穩(wěn)定性8-5-2 勢力場中平衡的穩(wěn)定性1) 幾何法12 (tg )0AFFr 120ABF rFr tg BArr0Ar因0FW,由有sincos ABrr而12tgFF 故B1FA2FArBr8-5 勢力場中的虛功方程與平衡穩(wěn)定性8-5-2 勢力場中平衡的穩(wěn)定性O(shè)yx2) 解析法cos , sinBAxlyl0 0 xFyFBA21建立圖示直角坐標(biāo)系:sin , cosBAxlyl 0FW,由有12(cossin )FFl0即12tgFF故B1FA2F8-5 勢力場中的虛功方程與平衡穩(wěn)定性8-5-2 勢力場中平衡的穩(wěn)定性DBCAOPFQF 圖示操縱汽門