隨機變量及其分布方法總結(經典習題及解答)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 概率、統(tǒng)計案例知識方法總結一、離散型隨機變量及其分布列1. 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。常用大寫英文字母X、Y等或希臘字母、等表示。 2.分布列:設離散型隨機變量可能取得值為： x1，x2，x3，取每一個值xi（i=1，2，）的概率為，則稱表x1x2xiPP1P2Pi為隨機變量的分布列 3. 分布列的兩個性質： Pi0，i1，2， P1+P2+=1.常用性質來判斷所求隨機變量的分布列是否正確！二、熱點考點題型 考點一: 離散型隨機變量分布列的性質1隨機變量的概率分布規(guī)律為P(n)(n1，2，3，4

2、)，其中a是常數(shù)，則P()的值為 ABCD答案：D考點二：離散型隨機變量及其分布列的計算2有六節(jié)電池，其中有2只沒電，4只有電，每次隨機抽取一個測試，不放回，直至分清楚有電沒電為止，所要測試的次數(shù)為隨機變量，求的分布列。解：由題知2，3，4，5 表示前2只測試均為沒電， 表示前兩次中一好一壞，第三次為壞， 表示前四只均為好，或前三只中一壞二好，第四個為壞， 表示前四只三好一壞，第五只為壞或前四只三好一壞第五只為好 分布列為2345P三、 條件概率、事件的獨立性、獨立重復試驗、二項分布與超幾何分布1條件概率：稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。2. 相互獨立事件：如果事件A（或B）是否發(fā)

3、生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。如果事件A、B是相互獨立事件，那么，A與、與B、與都是相互獨立事件兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。我們把兩個事件A、B同時發(fā)生記作A·B，則有P（A·B）= P（A）·P（B）推廣：如果事件A1，A2，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。即：P（A1·A2··An）= P（A1）·P（A2）··P(An)3.獨立重復試驗: 在同樣的條件下，重復地、各次之間相互獨立地進行的一

4、種試驗.在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的.4.如果在1次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率計算公式：Pn（k）=CP k（1p）nk,其中，k=0,1,2，,n.5.離散型隨機變量的二項分布:在一次隨機試驗中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨立重復試驗中這個事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是，（k0,1,2,，n，）于是得到隨機變量的概率分布如下：01knP由于恰好是二項展開式中的各項的值，

5、所以稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并記b(k；n，p)6. 兩點分布： X 0 1 P 1p p 7.超幾何分布：一般地，在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則其中，。稱分布列 X 0 1 m P 為超幾何分布列， 稱X服從超幾何分布。 四、熱點考點題型 題型1. 條件概率例1 一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)，每位數(shù)字都可從09中任選，某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：按第一次不對的情況下，第二次按對的概率；任意按最后一位數(shù)字，按兩次恰好按對的概率；若他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率解析：設事件表示

6、第次按對密碼事件表示恰好按兩次按對密碼，則設事件表示最后一位按偶數(shù)，事件表示不超過2次按對密碼，因為事件與事件為互斥事件，由概率的加法公式得：說明：條件概率相當于隨機試驗及隨機試驗的樣本空間發(fā)生了變化，事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率可以看成在樣本空間為事件A中事件B發(fā)生的概率，從而得出求條件概率的另一種方法縮減樣本空間法題型2.相互獨立事件和獨立重復試驗例2某公司是否對某一項目投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定他們三人都有“同意”、“中立”、“反對”三類票各一張投票時，每人必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，他們的投票相互沒有影響規(guī)定：若投票結果中至少有兩張“同意”

7、票，則決定對該項目投資；否則，放棄對該項目投資（）求此公司一致決定對該項目投資的概率；（）求此公司決定對該項目投資的概率；解析：（）此公司一致決定對該項目投資的概率P= ()3（）此公司決定對該項目投資的概率為PC32()2()C33()3答: （）此公司一致決定對該項目投資的概率為（）此公司決定對該項目投資的概率為.說明： 除注意事件的獨立性外, 還要注意恰有次發(fā)生與指定次發(fā)生的區(qū)別, 對獨立重復試驗來說,前者的概率為,后者的概率為題型3: 兩點分布與超幾何分布的應用例3 高二（十）班共50名同學，其中35名男生，15名女生，隨機從中取出5名同學參加學生代表大會，所取出的5名學生代表中，女生

8、人數(shù)X的頻率分布如何？解析：從50名學生中隨機取5人共有種方法，沒有女生的取法是，恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，因此取出的5名學生代表中，女生人數(shù)X的頻率分布為：X012345P題型4: 獨立重復試驗與二項分布的應用例題4：在10件產品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽樣時，抽到次品數(shù)的分布列；（2）放回抽樣時，抽到次品數(shù)的分布列.解：（1）不放回抽樣時，抽到次品數(shù)服從參數(shù)為10,2,3超幾何分布：P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，所以的分布列為012（2）放回抽樣時，抽到次品數(shù)B（3

9、,0.2）：P（=k）=C·0.83k·0.2k（k=0，1，2，3），所以的分布列為0123C0.83C0.82·0.2C0.8·0.22C0.23五、離散型隨機變量的期望和方差1數(shù)學期望: 一般地，若離散型隨機變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 為的數(shù)學期望，簡稱期望2.期望的一個性質: 3.若B（n,p），則E=np 4.方差: 5.標準差:叫做隨機變量的標準差6.方差的性質： ； 7.若B(n，p)，則np(1-p) 六、熱點考點題型題型一：離散型隨機變量的期望與方差 例題1：為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植

10、物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學期望，標準差為。（）求n,p的值并寫出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率解析： (1)由得,從而的分布列為0123456(2)記”需要補種沙柳”為事件A, 則 得 或 例題2：一廠家向用戶提供的一箱產品共10件，其中有2件次品，用戶先對產品進行抽檢以決定是否接收抽檢規(guī)則是這樣的：一次取一件產品檢查（取出的產品不放回箱子），若前三次沒有抽查到次品，則用戶接收這箱產品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽檢，并且用戶拒絕接收這箱產品.（1）求這箱產品被用戶接收的概

11、率；（2）記抽檢的產品件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望解：（1）設“這箱產品被用戶接收”為事件，. 即這箱產品被用戶接收的概率為 （2）的可能取值為1，2，3 =，=，=， 的概率分布列為：123= 七、正態(tài)分布1. 正態(tài)總體的概率密度函數(shù)：式中是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)（期望值）與標準差。當時得到標準正態(tài)分布密度函數(shù)：.2.正態(tài)曲線的性質： 曲線位于x軸上方，與x軸不相交； 曲線是單峰的，關于直線x 對稱； 曲線在x處達到峰值； 曲線與x軸之間的面積為1；3. 是參數(shù)與圖象的關系: 當一定時，曲線隨質的變化沿x軸平移； 當一定時，曲線形狀由確定：越大，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散；越小，

12、曲線越“高瘦”，表示總體分布越集中。(1)P=0.683；(2)P=0.954 (3)P=0.997八、熱點考點題型考點一： 正態(tài)分布的應用例題1：某市組織一次高三調研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，則下列命題不正確的是 （ ）A該市這次考試的數(shù)學平均成績?yōu)?0分；B分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同；C分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同；D該市這次考試的數(shù)學成績標準差為10.答案：B例題2：設隨機變量服從正態(tài)分布,若,則c= ( )A.1 B.2 C.3D.4答案:B九、獨立性檢驗與回歸分析1、獨立性檢驗：列聯(lián)表：為了研究事件與的關系

13、，經調查得到一張列聯(lián)表，如下表所示 合計合計卡方統(tǒng)計量，它的表達式是 經過對統(tǒng)計量分布的研究，已經得到了兩個臨界值：與.當根據具體的數(shù)據算出的時，有的把握說事件與有關；當時，有的把握說事件與有關；當時，事件與無關.2、相關性檢驗對于變量與隨機抽取到的對數(shù)據樣本相關系數(shù) r具有以下性質：當r>0時，表明兩個變量正相關；當r<0時，表明兩個變量負相關；當|r|1,并且|r|越接近1時，兩個變量的線性相關程度越強；當|r|越接近0時，兩個變量的線性相關程度越弱;相關性檢驗的步驟： 作統(tǒng)計假設 根據小概率與在附表中找出的一個臨界值 根據樣本相關系數(shù)計算公式算出值 用統(tǒng)計判斷.當時有95%的把握說兩個變量間具有線性相關關系，當時二者無相關關系。十、熱點考點題型1.獨立性檢驗為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科文科男1310女720已知P（3.841）0.05，P（6.635）0.01.根據表中數(shù)據，得到=4