數(shù)學(xué)物理方法第十章 格林函數(shù)法

1、積分變換法：無(wú)界區(qū)域的定解問題， 解一般為無(wú)窮積分10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10.1 函數(shù)函數(shù)10 格林函數(shù)格林函數(shù) 0 0( ) 0 xxx( )1x dx2、定義、定義 函數(shù)函數(shù)更普遍的定義為更普遍的定義為10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10 格林函數(shù)格林函數(shù) 100000()4 ( ),( )0|( )|6( )0; ( )( )0 xx1kiiiixxxxxxxxaxxxxxxdxxaaxxH xxHaxxxad 5、 函數(shù)是偶函數(shù)， 函數(shù)是奇函數(shù)、 函數(shù)的、其中 是的單付氏變根、（換為、，拉氏變換也為1。10 格林函數(shù)格林函數(shù) 其中，其中， 為不同時(shí)為零的常數(shù)。為了得到

2、定解問題為不同時(shí)為零的常數(shù)。為了得到定解問題(1)(2) 10.2 泊松方程的邊值問題泊松方程的邊值問題, 的解的積分表達(dá)式，首先引入格林公式的解的積分表達(dá)式，首先引入格林公式一、泊松方程的基本形式一、泊松方程的基本形式 ( , , )( , , )() u x y zv x y zu v du v du vduvd 設(shè)函數(shù)和在區(qū)域 直到邊界 上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，而在 中具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則由高斯格林公式有：第一公式10 格林函數(shù)格林函數(shù) 二、格林公式二、格林公式此式稱為此式稱為化為體積分化為體積分()()()() v u dv udvudu vv udu vv u dvuuvdu vv u

3、 dnn 兩式相減，有格同林理有：即：第二公式10 格林函數(shù)格林函數(shù) 此式稱為此式稱為10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10 格林函數(shù)格林函數(shù) 三、積分公式三、積分公式格林函數(shù)法格林函數(shù)法 目標(biāo)：求解目標(biāo)：求解10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10.1 點(diǎn)源函數(shù)法回顧點(diǎn)源函數(shù)法回顧 由于由于其中其中 為為M與與M0之間的距離之間的距離(3)222000()()()rxxyyzz10 格林函數(shù)格林函數(shù) 000000001(,)() (3), , )(,(,)()()(,) () ()(,) ()()() )1(G M Mu MM x y zG MG M Mu Mu MGMMMM Mu MMMG M Mh MuGGu

4、dG uu G dnnu M （）得：對(duì) （積分，注意以為奇點(diǎn)（在挖去的小球體體積元）同時(shí)利用第二格林函數(shù)，有00)(,) ()MMG M Mh Md 若能由此式化簡(jiǎn)整理得到若能由此式化簡(jiǎn)整理得到u(M),則一定是方程（則一定是方程（1）的解）的解這里這里G就相當(dāng)于格就相當(dāng)于格林第二公式中的林第二公式中的v10 格林函數(shù)格林函數(shù) 10 格林函數(shù)格林函數(shù) 00()()(,) ()uGGudu MG M Mh M dnn 于是有：10 格林函數(shù)格林函數(shù) 負(fù)號(hào)來(lái)自內(nèi)小球面的負(fù)號(hào)來(lái)自內(nèi)小球面的法向與矢徑方向相反法向與矢徑方向相反10 格林函數(shù)格林函數(shù) 注意到格林函數(shù)的對(duì)稱性：注意到格林函數(shù)的對(duì)稱性：0

5、0(,)(,)G M MG MM上式的物理意義很難解釋清楚，右邊第一項(xiàng)，上式的物理意義很難解釋清楚，右邊第一項(xiàng)，G(M,M0)代表代表M0點(diǎn)的點(diǎn)源在點(diǎn)的點(diǎn)源在M點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)，而點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)，而h (M)代表的卻是代表的卻是M點(diǎn)的源。點(diǎn)的源。將上式中的將上式中的G(M0,M)用用G(M,M0)代替且，將代替且，將M和和M0在公式在公式中互換，可得中互換，可得10 格林函數(shù)格林函數(shù) （4）0000,dMMn0其中，d分別表示在區(qū)域 中體分布源和 面分布源內(nèi)對(duì)取體積元和面積元。表示對(duì)求導(dǎo)。0000000000()(,) () (,)()(,)u MG M M h M duG M Mdu MG M M d

6、nn10 格林函數(shù)格林函數(shù) 0000000000()(,) () (,)()(,)u MG M M h M duG M Mdu MG M M dnn物理意義：物理意義：（1）右邊第一項(xiàng)積分代表在積分區(qū)域）右邊第一項(xiàng)積分代表在積分區(qū)域 中體分布源中體分布源h(M0)在在M點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)的總和；點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)的總和；（2）右邊第二、三積分項(xiàng)則是邊界上的源所產(chǎn)生的場(chǎng)。這兩）右邊第二、三積分項(xiàng)則是邊界上的源所產(chǎn)生的場(chǎng)。這兩種影響都是由同一格林函數(shù)給出的。種影響都是由同一格林函數(shù)給出的。上式給出了泊松方程解的積分表達(dá)，但由于上式給出了泊松方程解的積分表達(dá)，但由于G(M,M0)未知未知且不同邊值條件也需做進(jìn)一步的

7、分析。且不同邊值條件也需做進(jìn)一步的分析。10 格林函數(shù)格林函數(shù) 2、泊松方程邊值問題的積分公式、泊松方程邊值問題的積分公式(A)第一類邊界條件第一類邊界條件01()()ug Mf M基本公式變?yōu)榛竟阶優(yōu)?000000()(,) ()()(,)u MG M Mh Mdf MG M Mdn由由邊界條件變?yōu)檫吔鐥l件變?yōu)橹灰灰狦(M,M0)，滿足定解問題，則上式，滿足定解問題，則上式u (M)就都為已知量表示就都為已知量表示000(,)(), (,)0G M MMMMG M M G(M,M0)所構(gòu)成的定解問題即所構(gòu)成的定解問題即 下式稱為泊松方程的下式稱為泊松方程的狄氏問題狄氏問題 (),()u

8、h MMuf M 滿足狄氏問題的格林函數(shù)，簡(jiǎn)稱為滿足狄氏問題的格林函數(shù)，簡(jiǎn)稱為狄氏格林函數(shù)狄氏格林函數(shù)。 10 格林函數(shù)格林函數(shù) 0000000()(,) ()()(,)u MG M Mh Mdf MG M Mdn狄氏積分公式狄氏積分公式0基本積分公式變?yōu)榛痉e分公式變?yōu)?10 格林函數(shù)格林函數(shù) 0000001()(,) ()(,) ()u MG M Mh MdG M Mg M d(B)第二類邊界條件第二類邊界條件1()ug Mn由由邊界條件變?yōu)檫吔鐥l件變?yōu)榈耸讲淮嬖?，因?yàn)榈耸讲淮嬖?，因?yàn)?在第二類在第二類00(,)()G M MMM 齊次邊界條件齊次邊界條件 下無(wú)解。下無(wú)解。0Gn表示在

9、邊界上是絕熱的，由于邊界絕熱，從點(diǎn)源出來(lái)的表示在邊界上是絕熱的，由于邊界絕熱，從點(diǎn)源出來(lái)的10 格林函數(shù)格林函數(shù) 從物理上看，其意義十分明顯。方程從物理上看，其意義十分明顯。方程可看成穩(wěn)定的熱傳導(dǎo)方程在可看成穩(wěn)定的熱傳導(dǎo)方程在M0點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)熱源，而邊界條件點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)熱源，而邊界條件熱量，會(huì)使體積內(nèi)的溫度不斷升高，而不可能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。熱量，會(huì)使體積內(nèi)的溫度不斷升高，而不可能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。00(,)()G M MMM 顯然，為了解決這一矛盾，或者修改格林函數(shù)所滿足的方程顯然，為了解決這一矛盾，或者修改格林函數(shù)所滿足的方程0Gn00(,)()G M MMM 使之與邊界條件使之與邊界條件 相容，相容

10、，0Gn這就要引入所謂的廣義格林函數(shù)方程；或者修改邊界條件使之這就要引入所謂的廣義格林函數(shù)方程；或者修改邊界條件使之與格林函數(shù)所滿足的方程相容，這里不再詳細(xì)討論。與格林函數(shù)所滿足的方程相容，這里不再詳細(xì)討論。10 格林函數(shù)格林函數(shù) 0,0代入基本積分公式，得代入基本積分公式，得 0000001()(,) ()(,) ()u MG M Mh MdG M Mg M d(C)第三類邊界條件第三類邊界條件00(,)(,)0G M MG M Mn若要求若要求G(M,M0)滿足第三類的齊次邊界，即滿足第三類的齊次邊界，即則當(dāng)則當(dāng)G(M,M0)乘乘 ，以，以u(píng)(M)乘上式再相減，得乘上式再相減，得0001(,)()(,)(,) ()uG M Mu MG M MG M Mg Mnn10 格林函數(shù)格林函數(shù) 由上面的討論可見，在各類非齊次邊界條件下解泊松方程由上面的討論可見，在各類非齊次邊界條件下解泊松方程(),uh MM 可以先在相應(yīng)的同類齊次邊界條件下解格林函數(shù)所滿足的方程可以先在相應(yīng)的同類齊次邊界條件下解格林函數(shù)所滿足的方程00(,)()G M MMM 再通過(guò)基本積分公式得到再通過(guò)基本積分公式得到 u (M)。1)格林函數(shù)的定解問題，其方程形式比原泊松方程簡(jiǎn)單，且格林函數(shù)的定解問題，其方程形式比原泊松方程簡(jiǎn)單，且邊界條件又是齊次的，因此求解相對(duì)容易。邊界條件又是齊