高中數(shù)學(xué)2.2.1.1對 數(shù)(人教A版必修1)

1、第1課時 對 數(shù)1.1.理解對數(shù)的概念，了解常用對數(shù)和自然對數(shù)理解對數(shù)的概念，了解常用對數(shù)和自然對數(shù). .2.2.能夠進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化能夠進行對數(shù)式與指數(shù)式的互化. .3.3.掌握對數(shù)的三個重要結(jié)論掌握對數(shù)的三個重要結(jié)論. . 1.1.本課重點是對數(shù)的概念、對數(shù)式與指數(shù)式的互化本課重點是對數(shù)的概念、對數(shù)式與指數(shù)式的互化. .2.2.本課難點是對數(shù)概念的理解和本課難點是對數(shù)概念的理解和logloga a1=0,log1=0,loga aa=1, a=1, (a(a0 0且且a1)a1)等恒等式的應(yīng)用等恒等式的應(yīng)用. .alog NaN1.1.對數(shù)對數(shù)(1)(1)請根據(jù)下圖的提示填寫與對數(shù)

2、有關(guān)的概念請根據(jù)下圖的提示填寫與對數(shù)有關(guān)的概念_xaaNlog Nx_指數(shù)指數(shù)對數(shù)對數(shù)冪冪真數(shù)真數(shù)底數(shù)底數(shù)(2)(2)其中其中a a的取值范圍是的取值范圍是_._.2.2.常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)與自然對數(shù)(1)(1)請依據(jù)常用對數(shù)與自然對數(shù)的定義連線請依據(jù)常用對數(shù)與自然對數(shù)的定義連線(2)(2)其中無理數(shù)其中無理數(shù)e=2.718 28.e=2.718 28.a a0 0且且a1a13.3.重要結(jié)論重要結(jié)論(1)(1)負(fù)數(shù)和零負(fù)數(shù)和零_對數(shù)對數(shù). .(2)log(2)loga a1=_(a1=_(a0,0,且且a1).a1).(3)log(3)loga aa=_(aa=_(a0,0,且且a1

3、).a1).沒有沒有0 01 11.1.已知已知10=310=31.011.01x x，如何用對數(shù)表示，如何用對數(shù)表示x?x?提示：提示：由于由于1.011.01x x= ,= ,所以所以x=logx=log1.01 1.01 . .2.log2.log(-2)(-2)3,log3,log1 13,log3,log2 20,log0,log5 5(-1)(-1)有意義嗎？為什么？有意義嗎？為什么？提示：提示：沒有沒有.log.loga aN N中中a a0,0,且且a1,Na1,N0.0.1031033.lg1=_,lne3.lg1=_,lne=_.=_.【解析【解析】10100 0=1,lg

4、1=0.=1,lg1=0.ee1 1=e,lne=1.=e,lne=1.答案：答案：0 10 14.34.3-3-3= = 寫成對數(shù)式為寫成對數(shù)式為_，loglog6 6216=3216=3寫成指數(shù)式為寫成指數(shù)式為_._.【解析【解析】3 3-3-3= = 寫成對數(shù)式為寫成對數(shù)式為loglog3 3 =-3,=-3,loglog6 6216=3216=3寫成指數(shù)式為寫成指數(shù)式為6 63 3=216.=216.答案：答案：loglog3 3 =-3 6=-3 63 3=216=2161271271271271.1.對數(shù)對數(shù)logloga aN N中規(guī)定中規(guī)定a a0 0且且a1a1的原因的原因a

5、 a不能取的值不能取的值原原 因因a a0 0 1212log2（）N N取某些值時，取某些值時，logloga aN N不存在，如根據(jù)指數(shù)的運不存在，如根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)可知，不存在實數(shù)算性質(zhì)可知，不存在實數(shù)x x使使(- )(- )x x=2=2成立，成立，所以所以 不存在，所以不存在，所以a a不能小于不能小于0. 0. a a不能取的值不能取的值原原 因因a=0a=0a=1 a=1 N0N0時，不存在實數(shù)時，不存在實數(shù)x x使使a ax x=N,=N,無法定義無法定義logloga aN N. .N=0N=0時，任意非零實數(shù)時，任意非零實數(shù)x,x,有有a ax x=N=N成立，成立，l

6、ogloga aN N不不確定確定. .N1,logN1,loga aN N不存在不存在. .N=1,logN=1,loga a1 1有無數(shù)個值，不能確定有無數(shù)個值，不能確定. .2.2.對數(shù)對數(shù)logloga aN N的意義的意義對數(shù)對數(shù)logloga aN N可看作一記號，它和可看作一記號，它和“+”+”、“-”-”、“”、“”等符號一樣，表示一種運算，即已知底數(shù)為等符號一樣，表示一種運算，即已知底數(shù)為a(aa(a0,0,且且a1)a1)冪冪為為N N，求冪指數(shù)，求冪指數(shù)x x的運算的運算. .它也表示為求關(guān)于它也表示為求關(guān)于x x的方程的方程a ax x=N(a=N(a0 0且且a1)a

7、1)的解的過程的解的過程. .3.3.負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)的原因負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)的原因由于當(dāng)由于當(dāng)a a0 0且且a1a1時時, , 對任意實數(shù)對任意實數(shù)x x總有總有a ax x0,0,因而因而a ax x=N=N中中N N總總是正數(shù)是正數(shù). .根據(jù)根據(jù)a ax x=N=Nx=logx=loga aN(aN(a0,0,且且a1)a1)可知，在可知，在logloga aN N=x=x中中必須必須N N0,0,也就是說負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)也就是說負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù). . 指數(shù)式與對數(shù)式的互化指數(shù)式與對數(shù)式的互化【技法點撥【技法點撥】1.1.指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法指數(shù)式與對數(shù)式互化的方法(1)(1)解答此

8、類問題的關(guān)鍵是要搞清解答此類問題的關(guān)鍵是要搞清a,x,Na,x,N在指數(shù)式和對數(shù)式中的在指數(shù)式和對數(shù)式中的位置位置. .(2)(2)若是指數(shù)式化為對數(shù)式，關(guān)鍵是看清指數(shù)是幾，再寫成對若是指數(shù)式化為對數(shù)式，關(guān)鍵是看清指數(shù)是幾，再寫成對數(shù)式；若是對數(shù)式化為指數(shù)式，則要看清真數(shù)是幾，再寫成冪數(shù)式；若是對數(shù)式化為指數(shù)式，則要看清真數(shù)是幾，再寫成冪的形式的形式. .2.2.指數(shù)式與對數(shù)式互化在函數(shù)求值問題中的應(yīng)用指數(shù)式與對數(shù)式互化在函數(shù)求值問題中的應(yīng)用利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，可以將對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為指數(shù)運算利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，可以將對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為指數(shù)運算. .例如，例如，(1)(1)利用指數(shù)運算性質(zhì)

9、討論對數(shù)運算性質(zhì)；利用指數(shù)運算性質(zhì)討論對數(shù)運算性質(zhì)； (2)(2)給出指給出指數(shù)式數(shù)式( (對數(shù)式對數(shù)式) )的條件求對數(shù)的條件求對數(shù)( (冪冪) )的值等問題的值等問題. .【典例訓(xùn)練【典例訓(xùn)練】1.1.若若f(10f(10 x x)=x,)=x,則則f(2)=_.f(2)=_.2.2.將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：(1)(1)0 0=1;(2)10=1;(2)10-1.699-1.699=a;=a;(3) =-2;(4) =b.(3) =-2;(4) =b.110log 10012log 0.45【解析【解析】1.1.設(shè)設(shè)t=10t=1

10、0 x x，則，則t t0,x=lgt0,x=lgt. .由由f(10f(10 x x)=x)=x得得,f(t,f(t)=lgt,f(2)=lg2.)=lgt,f(2)=lg2.答案：答案：lg2lg22.(1)log2.(1)log1=0;(2)lga=-1.699;1=0;(2)lga=-1.699;(3)( )(3)( )-2-2=100;(4)( )=100;(4)( )b b=0.45.=0.45.11012【歸納【歸納】解答本題解答本題1 1的關(guān)鍵點及解答題的關(guān)鍵點及解答題2 2時要注意的問題時要注意的問題. .提示：提示：(1)(1)解答題解答題1 1的關(guān)鍵是求函數(shù)解析式，通常采

11、用換元法求的關(guān)鍵是求函數(shù)解析式，通常采用換元法求出具體的函數(shù)解析式，然后代入自變量的值求出函數(shù)值出具體的函數(shù)解析式，然后代入自變量的值求出函數(shù)值. .(2)(2)解答題解答題2 2時，時，分清楚分清楚a a、x x、N N在指數(shù)式與對數(shù)式中的位在指數(shù)式與對數(shù)式中的位置置. .要注意以要注意以1010為底的對數(shù)式的書寫形式為底的對數(shù)式的書寫形式. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知logloga a2=m,log2=m,loga a3=n3=n，求，求a a2m+n2m+n的值的值. .【解析【解析】由由logloga a2=m,log2=m,loga a3=n,3=n,得得a am m=2,a=

12、2,an n=3,=3,aa2m+n2m+n=a=a2m2ma an n=(a=(am m) )2 2a an n=2=22 23=12,3=12,即即a a2m+n2m+n=12.=12. 對數(shù)求值問題對數(shù)求值問題1.log1.loga a1=01=0和和logloga aa a=1(a=1(a0 0，且，且a1)a1)的應(yīng)用的應(yīng)用(1)(1)正向應(yīng)用正向應(yīng)用計算真數(shù)為計算真數(shù)為1 1的對數(shù)值和真數(shù)與底數(shù)相等的對數(shù)值的對數(shù)值和真數(shù)與底數(shù)相等的對數(shù)值. .(2)(2)逆向應(yīng)用逆向應(yīng)用類似于利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較兩個數(shù)的大小類似于利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較兩個數(shù)的大小, ,如如 2 20 0=1=1

13、，在今后對數(shù)大小比較的學(xué)習(xí)中要用到在今后對數(shù)大小比較的學(xué)習(xí)中要用到logloga a1=01=0和和logloga aa a=1.=1.1222. =n(a2. =n(a0,0,且且a1)a1)的應(yīng)用的應(yīng)用(1)(1)證明：設(shè)證明：設(shè) =x,=x,則則a an n=a=ax x, ,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知n=x,n=x,所以所以 =n.=n.(2)(2)應(yīng)用技巧：如果對數(shù)的真數(shù)能化為以對數(shù)的底數(shù)為底數(shù)的應(yīng)用技巧：如果對數(shù)的真數(shù)能化為以對數(shù)的底數(shù)為底數(shù)的冪的形式，那么對數(shù)的值就是冪指數(shù)冪的形式，那么對數(shù)的值就是冪指數(shù). .nalog analog analog a【典例訓(xùn)練【典

14、例訓(xùn)練】1.(1)1.(1)若若 =1,=1,則則x=_;x=_;(2)(2)若若loglogx x8= 8= ，則，則x=_.x=_.2.2.求下列對數(shù)的值：求下列對數(shù)的值：(1)log(1)log2 24 47 7; (2) ; (2) ;(3) ; (4) .(3) ; (4) .312xlog9235lg 1003log (81 3)2log(8 2)【解析【解析】1.(1)1.(1)由由 得得, , =3, =3,所以所以x=-13.x=-13.312xlog1912x9(2)(2)解題流程解題流程答案：答案：(1)-13 (2)(1)-13 (2)2322.(1)log2.(1)l

15、og2 24 47 7=log=log2 2(2(22 2) )7 7=log=log2 22 21414=14;=14;(2) = = ;(2) = = ;(3)log(3)log3 3(81 )=log(81 )=log3 3(3(34 4 )= ; )= ;(4) =7.(4) =7.5lg 10025lg102531239239log 3237222log8 2log(22)log2（）（）【互動探究【互動探究】若把題若把題1(1)1(1)中的對數(shù)式改為中的對數(shù)式改為 =0,=0,如何求如何求x x？【解題指南【解題指南】先把對數(shù)式化為指數(shù)式，再用先把對數(shù)式化為指數(shù)式，再用3 30 0

16、=1=1求出求出x.x.【解析【解析】由由 =0=0得，得，3 30 0= ,= ,所以所以 =1,=1,所以所以x=-4.x=-4.312xlog9312xlog912x912x9【思考【思考】(1)log(1)loga a1=01=0和和logloga aa a=1(a=1(a0 0，且，且a1)a1)化為指數(shù)式是什化為指數(shù)式是什么？么？(2)(2)當(dāng)未知數(shù)當(dāng)未知數(shù)x x在對數(shù)式的底數(shù)或真數(shù)位置時，求解在對數(shù)式的底數(shù)或真數(shù)位置時，求解x x的值應(yīng)注的值應(yīng)注意什么？意什么？提示：提示：(1)log(1)loga a1=01=0a a0 0=1,log=1,loga aa=1a=1a a1 1

17、=a(a=a(a0,0,且且a1).a1).(2)(2)當(dāng)未知數(shù)當(dāng)未知數(shù)x x在對數(shù)式的底數(shù)或真數(shù)位置時，求解出在對數(shù)式的底數(shù)或真數(shù)位置時，求解出x x后應(yīng)注后應(yīng)注意根據(jù)對數(shù)的底數(shù)或真數(shù)的取值范圍檢驗意根據(jù)對數(shù)的底數(shù)或真數(shù)的取值范圍檢驗. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】若若5 5lgxlgx=25,=25,則則x=_.x=_.【解析【解析】由由5 5lgxlgx=25=25得得,5,5lgxlgx=5=52 2, ,所以所以lgxlgx=2,=2,所以所以x=100.x=100.答案：答案：100100 對數(shù)恒等式對數(shù)恒等式 (a(a0,0,且且a1,Na1,N0)0) 的應(yīng)用的應(yīng)用【技法點撥【技法

18、點撥】對數(shù)恒等式及其應(yīng)用對數(shù)恒等式及其應(yīng)用(1)(1)對于對數(shù)恒等式對于對數(shù)恒等式 (a(a0,0,且且a1,Na1,N0)0)要注意格要注意格式：式：它們是同底的；它們是同底的；指數(shù)中含有對數(shù)形式；指數(shù)中含有對數(shù)形式；其值為對其值為對數(shù)的真數(shù)數(shù)的真數(shù). . (2)(2)若指數(shù)式中含有對數(shù)值，解題時可使用對數(shù)恒等式若指數(shù)式中含有對數(shù)值，解題時可使用對數(shù)恒等式 (a(a0,0,且且a1,Na1,N0)0)來化簡求值來化簡求值. .alog NaNalog NaNalog NaN【典例訓(xùn)練【典例訓(xùn)練】1.1.計算：計算：(1) =_;(1) =_;(2) =_.(2) =_.2.2.計算：計算：3

19、1log 42951 log 253221 log 54 log 3log 53lg313210( ).2【解析【解析】1.(1) 1.(1) (2) =5(2) =52=10.2=10.答案：答案：(1)4 (2)10(1)4 (2)102. 2. = =3=35-165-163+33+33 3+5+5-1 -1 = =33311log 4log 4log 4229(9 )34;551 log 2log 255 5 3221 log 54 log 3log 53lg3132102 （ ）322log 5log 3log 54lg3 313 322(10)2 （）29.5【想一想【想一想】用用

20、 (a(a0,0,且且a1,Na1,N0)0)化簡求值的關(guān)鍵是化簡求值的關(guān)鍵是什么？另外計算第什么？另外計算第2 2題常會出現(xiàn)什么問題？題常會出現(xiàn)什么問題？提示：提示：(1)(1)用用 (a(a0,0,且且a1,Na1,N0)0)化簡求值的關(guān)鍵是湊化簡求值的關(guān)鍵是湊準(zhǔn)公式的結(jié)構(gòu)，尤其是對數(shù)的底數(shù)和冪底數(shù)要一致，為此要靈準(zhǔn)公式的結(jié)構(gòu)，尤其是對數(shù)的底數(shù)和冪底數(shù)要一致，為此要靈活應(yīng)用冪的運算性質(zhì)活應(yīng)用冪的運算性質(zhì). .(2)(2)計算第計算第2 2題常會出現(xiàn)冪的運算性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)或用錯的情況題常會出現(xiàn)冪的運算性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)或用錯的情況, ,如：如：10103lg33lg3=1 000=1 000lg3l

21、g3, , alog NaNalog NaN224 log 3log 342(2 ).【易錯誤區(qū)【易錯誤區(qū)】忽視對數(shù)的真數(shù)的取值范圍忽視對數(shù)的真數(shù)的取值范圍【典例】對于【典例】對于a a0,0,且且a1a1，下列說法正確的是，下列說法正確的是( )( )(1)(1)若若M=NM=N，則，則logloga aM=logM=loga aN N; ;(2)(2)若若logloga aM=logM=loga aN N, ,則則M=NM=N；(3)(3)若若logloga aM M2 2=log=loga aN N2 2, ,則則M=NM=N；(4)(4)若若M=NM=N，則，則logloga aM M

22、2 2=log=loga aN N2 2. .(A)(1)(3) (B)(2)(4)(A)(1)(3) (B)(2)(4)(C)(2) (D)(1)(2)(3)(4)(C)(2) (D)(1)(2)(3)(4)【解題指導(dǎo)【解題指導(dǎo)】【解析【解析】選選C.(1)C.(1)錯誤錯誤. .當(dāng)當(dāng)M=N0M=N0時，時，logloga aM M與與logloga aN N均無意義，均無意義，因此因此logloga aM=logM=loga aN N不成立不成立;(2);(2)正確正確. .設(shè)設(shè)logloga aM=logM=loga aN N=x,=x,則有則有M=aM=ax x,N,N=a=ax x,

23、 ,故故M=NM=N；(3)(3)錯誤錯誤. .當(dāng)當(dāng)logloga aM M2 2=log=loga aN N2 2時，有時，有M0M0，N0N0且且M M2 2=N=N2 2，即，即|M|=|N|M|=|N|，但未必有，但未必有M=NM=N；(4)(4)錯誤錯誤. .若若M=N=0M=N=0, ,則則logloga aM M2 2與與logloga aN N2 2均無意義，因此均無意義，因此logloga aM M2 2=log=loga aN N2 2不成立，所以只有不成立，所以只有(2)(2)正確正確. .【閱卷人點撥【閱卷人點撥】通過閱卷后分析，對解答本題的常見錯誤及解通過閱卷后分析，

24、對解答本題的常見錯誤及解題啟示總結(jié)如下：題啟示總結(jié)如下：( (注：此處的注：此處的見解析過程見解析過程) )常常見見錯錯誤誤選選B B 在判斷第在判斷第(4)(4)個說法時，常會忽視個說法時，常會忽視處處M=N=0M=N=0, ,即即真數(shù)等于零時對數(shù)無意義的情況，而導(dǎo)致判斷說真數(shù)等于零時對數(shù)無意義的情況，而導(dǎo)致判斷說法法(4)(4)正確正確. .實質(zhì)是對對數(shù)的定義理解不準(zhǔn)確，對實質(zhì)是對對數(shù)的定義理解不準(zhǔn)確，對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系掌握不好造成的數(shù)與指數(shù)的關(guān)系掌握不好造成的. . 解解題題啟啟示示(1)(1)判斷一個說法錯誤時常用舉反例的方法，而舉反例的判斷一個說法錯誤時常用舉反例的方法，而舉反例的關(guān)鍵

25、是問題要考慮全面關(guān)鍵是問題要考慮全面. .(2)(2)學(xué)會利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系理解對數(shù)的概念，尤學(xué)會利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系理解對數(shù)的概念，尤其要注意對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的取值范圍其要注意對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)的取值范圍. . 【即時訓(xùn)練【即時訓(xùn)練】有下列說法：有下列說法：(1)(1)只有正數(shù)有對數(shù)；只有正數(shù)有對數(shù)；(2)(2)任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；任何一個指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；(3)(3)以以5 5為底為底2525的對數(shù)等于的對數(shù)等于2 2；(4) (4) 成立；成立；(5)(5)由由loglogx x16=216=2得得x x2 2=16,=16,所以所以x=x=4.4.其中正確的個

26、數(shù)為其中正確的個數(shù)為( )( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(A)0 (B)1 (C)2 (D)33log535 【解析【解析】選選B.(1)B.(1)正確正確. .由由a a0,0,且且a1a1知知,a,ax x0(xR)0(xR)，即即N N0,0,結(jié)合結(jié)合a ax x=N=Nx=logx=loga aN N知，負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)，只有知，負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)，只有正數(shù)有對數(shù)；正數(shù)有對數(shù)；(2)(2)錯誤錯誤. .舉反例，例如舉反例，例如(-3)(-3)2 2=9,(-3)=9,(-3)3 3=27=27等等指數(shù)式都無法化成對數(shù)式；指數(shù)式都無法化成對數(shù)式；(3)(3)錯誤錯誤. .以以5 5為底為底2525的對數(shù)，的對數(shù)，即即loglog5 525=2;(4)25=2;(4)錯誤錯誤. . 不成立，因為不成立，因為loglog3 3(-5)(-5)沒沒有意義；有意義；(5)(5)錯誤錯誤. .由由loglogx x16=216=2得得x x2 2=16=16，又，又x x0,x1,0,x1,所以所以x=4.x=4. 3log535 1.1.下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是下列指數(shù)式與對數(shù)式互化不正確的一組是( )( )(A)10(A)100 0=1=1與與lg1=0lg1