你能證明它們嗎(4)等邊三角形的判定

1、九年級數(shù)學(xué)（上冊）第一章 證明(二)1.你能證明它們嗎（4）等邊三角形的判定市實(shí)驗(yàn)中學(xué)市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 袁東霞袁東霞駛向勝利的彼岸八仙過海w一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)便可成為等邊三角形？w與同伴交流你在探索思路的過程中的具體做法.開啟 智慧ACB600ACB600ACB600w你認(rèn)為有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結(jié)論嗎？w一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)便可成為等邊三角形？駛向勝利的彼岸命題的證明命題的證明 我能行我能行w定理:有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形.證明:AB=AC, B=600(已知),C=B=600.(等邊對等角).A=600(三角形內(nèi)角和定理).A=B（

2、等式性質(zhì)）. AC=CB（等角對等邊）.AB=BC=AC（等式性質(zhì)）. ABC是等邊三角形(等邊三角形的定義).已知:如圖,在ABC中,AB=AC,B=600.求證:ABC是等邊三角形.ACB600幾何的幾何的三種語言三種語言 回顧反思回顧反思駛向勝利的彼岸w定理:有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形.在ABC中,AB=AC,B=600(已知).ABC是等邊三角形(有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形).這又是一個(gè)判定等邊三角形的根據(jù)之一.ACB600駛向勝利的彼岸命題的證明命題的證明 我能行我能行w定理:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.證明:A=B (已知), BC=AC,(等角對

3、等邊). 又B=C(已知), AB=AC,(等角對等邊). AB=BC=AC(等式性質(zhì)). ABC是等邊三角形(等邊三角形的定義).已知:如圖,在ABC中,A=B=C.求證:ABC是等邊三角形.ACB幾何的幾何的三種語言三種語言 回顧反思回顧反思駛向勝利的彼岸w定理:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.在ABC中,A=B=C(已知),ABC是等邊三角形(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形).這又是一個(gè)判定等邊三角形的根據(jù)之一.ACB600600600駛向勝利的彼岸命題的猜想命題的猜想 我能行我能行w1 操作:用兩個(gè)含有300角的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能證明你的結(jié)論嗎？300300300

4、300結(jié)論:在直角三角形中, 300角所對的直角邊等于斜邊的一半.w能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？說說你的理由.w由此你想到，在直角三角形中, 300角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？300300駛向勝利的彼岸命題的證明命題的證明 我能行我能行w定理:在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.在ABC中,ACB=900,A=300(已知),B=600(直角三角形兩銳角互余).又 ACB=900, (已知),ACD=900(平角定義).在ABC與ADC中BC=DC（作圖）, ACB=ACD（已證）, AC=AC（公共邊）,ABCADC（SAS）.ABD是等邊三角

5、形(有一個(gè)角600是的等腰三角形是等邊三角形)BC= BD= AB(等式性質(zhì)).已知:如圖,在ABC中,ACB=900,A=300.求證:BC= AB.2121300ABC證明:如圖, 延長BC至D,使CD=BC,連接AD.D21幾何的幾何的三種語言三種語言 回顧反思回顧反思駛向勝利的彼岸這又是一個(gè)判定兩條線段成倍分關(guān)系的根據(jù)之一.w定理:在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.在ABC中,ACB=900,A=300.BC= AB.(在直角三角形中, 300角所對的直角邊等于斜邊的一半).21ABC300學(xué)無止境學(xué)無止境 例題欣賞例題欣賞這里有一個(gè)化歸的數(shù)

6、學(xué)思想即把問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)純數(shù)學(xué)問題.駛向勝利的彼岸分析:如圖,在ABC中AB=AC=2a,B=ACB=150,CDAB于D.求:CD=?解:B=ACB=150(已知),DAC=B+ACB= 150+150=300(三角形的一個(gè)外角,等于和不相鄰的兩內(nèi)角的和).CD= AC= 2a=a(在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).ACBD1501502121例2.已知:如圖,等腰三角形的底角為150,腰長為2a.求:腰上的高.含300角的直角三角形角的直角三角形 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)駛向勝利的彼岸1.已知:如圖,在ABC中,ACB900,A=300,CDAB于D.

7、求證:BD=AB/4.分析:因?yàn)锳=300,所以BC=AB/2.要證明BD=AB/4,只要能使BD=BC/2即可,此時(shí)若BCD=300就可以了.而由“雙垂直三角形”即可求得.你能規(guī)范地寫出證明過程嗎？你的證題能力有所提高嗎?ACBD三角形三角形, ,認(rèn)識(shí)認(rèn)識(shí)我嗎我嗎 隋堂練習(xí)隋堂練習(xí)2.已知:如圖,點(diǎn)P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,PAQ=600,AHBC于H.(1)求證:AB=AC;(2)試在圖中標(biāo)出各個(gè)角的度數(shù);(3)求出圖中各線段的長度,并說明理由.駛向勝利的彼岸勝利屬于敢想敢干的人！你能與同學(xué)們交流探索證題的全過程嗎?ABCPQH反過來怎么反過來怎么樣樣逆向思逆向思維維w

8、命題:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.是真命題嗎?w如果是,請你證明它.駛向勝利的彼岸心動(dòng) 不如行動(dòng)300ABC已知:如圖,在ABC中,ACB=900,BC=AB/2.求證:A=300.反過來怎么反過來怎么樣樣逆向思逆向思維維在ABD中,ACB=900(已知),AB=AD(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等).又BC=AB/2(已知), BC=BD/2(作圖),AB=BD(等量代換).AB=BD=AD(等式性質(zhì)）.ABD是等邊三角形(等邊三角形意義).B=600(等邊三角形意義).A=300(直角三角形兩銳角互余).駛向勝利的彼岸心動(dòng) 不如行動(dòng)

9、300ABCD證明:如圖, 延長BC至D,使CD=BC,連接AD.幾何的幾何的三種語言三種語言 回顧反思回顧反思駛向勝利的彼岸這是一個(gè)通過線段之間的關(guān)系來判定一個(gè)角的具體度數(shù)(300)的根據(jù)之一.w定理:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.在ABC中ACB=900,BC=AB/2(已知),A=300(在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300).ABC300成功者的搖籃 試一試試一試P141.如圖(1):四邊形ABCD是一張正方形紙片,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),沿著過點(diǎn)D的折痕將A角翻折,使得A落在EF上(如圖(2),

10、折痕交AE于點(diǎn)G,那么ADG等于多少度?你能證明你的結(jié)論嗎?DACBEFDACBEF(1)(2)GA成功者的搖籃 試一試試一試P141.如圖(1):四邊形ABCD是一張正方形紙片,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),沿著過點(diǎn)D的折痕將A角翻折,使得A落在EF上(如圖(2)中A1),折痕交AE于點(diǎn)G,那么ADG等于多少度?你能證明你的結(jié)論嗎?DACBEF(2)GA1答:ADG等于150. 證明:DF=DC/2(中點(diǎn)意義),A1D=AD=CD(正方形各邊都相等),DF=A1D/2(等量代換).DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300).又ADEF(中

11、點(diǎn)意義),A1DA=DA1F=300 (兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).ADG=A1DA/2=150(角平分線意義).300回味無窮n等邊三角形的判定:n定理:有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形.n定理:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.n特殊的直角三角形的性質(zhì):n定理:在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.n定理:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對的銳角等于300.n老師提醒:n反證法還認(rèn)識(shí)你嗎?小結(jié) 拓展知識(shí)的升華獨(dú)立獨(dú)立作業(yè)作業(yè)P9習(xí)題1.3 1,2,3題.祝你成功！習(xí)題1.3 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w1.已知:如圖

12、,ABC是等邊三角形,DEBC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.求證: ADE是等邊三角形. 證明1:ABC等邊三角形(已知), AB=C600(已知), 又 DEBC(已知), 1=B=600,2=C=600 (兩直線平行,同位角相等). A =1=2(等量代換). ADE是等邊三角形 (三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形). BECDAF12習(xí)題1.3 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w2.房梁的一部分如圖所示,其中BCAC,A=300,AB=7.4m,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),DEAC,垂足為E.w求:BC,DE的長. 解:BCAC,A=300,AB=7.4m(已知), BC=AB/2=7.423.7(在

13、直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半), 又 AD=AB/2=7.423.7(中點(diǎn)意義), DE=AD/2=3.721.85(在直角三角形中, 如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半). 答:BC=3.7m,DE=1.85m. 老師提示:對于含300角的直角三角形邊之間,角之間的關(guān)系要作為常識(shí)去認(rèn)可. BECDA300習(xí)題1.3 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w1.已知:如圖,ABC是等邊三角形,過它的三個(gè)頂點(diǎn)分別作對邊的平行線,得到一個(gè)新的DEF,DEF是等邊三角形嗎?你還能找到其它的等邊三角形嗎?請證明你的結(jié)論. 答:(1)DEF是

14、等邊三角形;(2)ABE,ACF,BCD也是等邊三角形.證明(1):ABC是等邊三角形(已知), 又EFBC,DEAC(已知), E600(三角形內(nèi)角和定理). 同理,D=600,F600. BECDAF12=3600(等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè) 角都等于600 ).421342600,51600(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等). 5 DE=F600(等量代換). DEF是等邊三角形(三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形). 習(xí)題1.3 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w1.已知:如圖,ABC是等邊三角形,過它的三個(gè)頂點(diǎn)分別作對邊的平行線,得到一個(gè)新的DEF,DEF是等邊三角形嗎?你還能找到其它的等邊三角形嗎?請證明你的結(jié)論. 答:(1)DEF是等邊三角形; (2)ABE,ACF,BCD也都是等邊三角形.請同學(xué)們來證明(2)中的結(jié)論. BECDAF42135習(xí)題1.3 獨(dú)立作業(yè)獨(dú)立作業(yè)駛向勝利的彼岸w1.已知:如圖,ABC是等邊三角形,過它的三個(gè)頂點(diǎn)分別作對邊的平行線,得到一個(gè)新的DEF,DEF是等邊三角形嗎?你還能找到其它的等邊三角形嗎?請證明你的結(jié)論. 答:(1)DEF是等邊三角形;(2)ABE,ACF,BCD也是等邊三角形.證明(1):ABC是等邊三角形(