Chap7熱量傳輸-導熱

1、董 杰上海交通大學材料科學與工程學院輕合金精密成型國家工程研究中心材料加工過程中的傳輸現(xiàn)象材料加工過程中的傳輸現(xiàn)象Transport Phenomena in Materials Processing 第二篇 熱量傳輸7 導熱分析(Heat Transfer Analysis )董杰董杰 陳娟陳娟材料加工過程傳輸現(xiàn)象7 導熱分析本講提綱本講提綱7.1 導熱問題的求解方法7.2 一維穩(wěn)態(tài)導熱7.3 二維穩(wěn)態(tài)導熱7.4 非穩(wěn)態(tài)導熱7.5 金屬凝固傳熱材料加工過程傳輸現(xiàn)象7 導熱分析7.1 導熱問題的求解方法導熱問題的求解方法導熱問題實際上是固體或靜止流體的傳熱問題，無內(nèi)熱源時的導熱微分方程的一般形

2、式可由能量方程簡化得到。能量方程的直角坐標形式、柱坐標形式和球坐標系分別為：)(222222zTyTxTtT222221)(1zTTrrTrrrtT)sin1)(sinsin1)(12222222TrTrrTrrrtT材料加工過程傳輸現(xiàn)象v求解導熱問題實質(zhì)上是對導熱微分方程的求解。v通過數(shù)學方法原則上可以得到通解。v對實際工程問題，需得到滿足導熱微分方程和具體問題附加條件的特解(particular solution)。v使微分方程得到特解的附加條件(auxiliary condition)或稱單值性條件(monodrome condition)，數(shù)學上稱為定解條件。v幾何條件：求解對象的幾何

3、形狀與尺寸；v物理條件：求解對象的材料物性參數(shù)；v初始條件(時間條件)：初始時刻(t=0)研究對象內(nèi)部的具體溫度分布；v邊界條件： 求解對象邊界上的溫度分布及與環(huán)境的換熱情況。對一般導熱問題，求解對象的幾何形狀(幾何條件)及材料物性(物理條件)都為已知，故對非穩(wěn)態(tài)導熱，定解條件只有初始條件和邊界條件；對穩(wěn)態(tài)導熱，則只有邊界條件。7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象v第一類邊界條件：給出任何時刻的物體表面的溫度分布。典型特例是規(guī)定邊界溫度為常數(shù)TW=constant， 對非穩(wěn)態(tài)導熱，t0時，TW=f1(t)。v第二類邊界條件：給出邊界上的熱流密度分布。特例是熱流密度為定值， qW=constant，

4、 對非穩(wěn)態(tài)導熱，t0時，v第三類邊界條件：給出了周圍介質(zhì)溫度分布Tf及物體與周圍介質(zhì)的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h。以物體被冷卻的場合為例，v對非穩(wěn)態(tài)導熱， h和Tf均為時間t的函數(shù)。 )(2tfnTkW )(fWWTThnTk7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象7.2 7.2 一維穩(wěn)態(tài)導熱一維穩(wěn)態(tài)導熱 導熱微分方程：)(222222zTyTxTtT 對一維穩(wěn)態(tài)導熱：022 xT邊界條件：210TTxTTx處，；處，7 導熱分析單層無限大平板T1T2材料加工過程傳輸現(xiàn)象積分并利用邊界條件得到：xTTTT21112TTdxdT由傅里葉導熱定律可求得熱流密度：)(21TTdxdTq單位時間內(nèi)通過的導熱量：ATTTT

5、AQ)()(2121-一維平板穩(wěn)態(tài)導熱熱阻一維平板穩(wěn)態(tài)導熱熱阻(簡稱熱阻簡稱熱阻)ARttRTQ因此，7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象7 導熱分析通過平壁的導熱量與溫度差成正比，與熱阻成反比，它只適用于無內(nèi)熱源且導熱系數(shù)為定值的平壁一維穩(wěn)態(tài)導熱。當為溫度的函數(shù)時，只要取計算區(qū)域內(nèi)平均溫度的即可。 一維導熱的熱流為： tRTTQ)(21對于由n塊并聯(lián)而成的厚度為的單層組合平壁的總熱阻Rt的倒數(shù)為： niiinititARR1111對于由n塊串聯(lián)而成的多層組合平壁多層組合平壁的總熱阻為： niiinititARR11 )( 平材料加工過程傳輸現(xiàn)象0)( drdTrdrd邊界條件：邊界條件：2211

6、TTRrTTRr 處處，；處處，對一維穩(wěn)態(tài)導熱：對一維穩(wěn)態(tài)導熱：積分并利用邊界條件得到：積分并利用邊界條件得到：)()/ln()/ln(211211TTRRRrTT 由傅里葉導熱定律得到熱流為：由傅里葉導熱定律得到熱流為：)()/ln(22112TTRRLdrdTAAqQr7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象7 導熱分析單層圓筒壁導熱熱阻：)2()ln(12LRRRt對于由n層導熱系數(shù)不同的材料緊密緊密結(jié)合的復合圓筒壁，應(yīng)用串聯(lián)熱阻疊加原則，其總熱流量為： niiiinnitinLrrTTRTTQ11111112ln)()(注意： 在穩(wěn)定條件下，通過圓筒壁的熱流量是一個常量，但熱流密度則是個變量！

7、材料加工過程傳輸現(xiàn)象7 導熱分析接觸熱阻接觸熱阻 當兩固體實際直接接觸時，由于表面粗糙，兩表面不可能處處都接觸當兩固體實際直接接觸時，由于表面粗糙，兩表面不可能處處都接觸（非理想接觸），只能部分接觸，部分形成空隙。（非理想接觸），只能部分接觸，部分形成空隙。1111RRRRtstcRtc接觸熱阻Rs由導熱接觸面流線收縮產(chǎn)生的熱阻Rt流體的導熱熱阻R穿過界面間隙的輻射熱阻 如果理想接觸：界面處的溫度相等，熱流密度相等材料加工過程傳輸現(xiàn)象7.3 7.3 二維穩(wěn)態(tài)導熱二維穩(wěn)態(tài)導熱 02222 yTxT二維導熱微分方程：邊界條件：000000TTyTyTLxTx 處處，；處處，處處，；處處，7 導熱分

8、析條件：該平板在x方向上尺寸有限，在y方向上尺寸無限大，在垂直于紙面的z方向尺寸則很小，因此可忽略z方向的熱量傳輸。材料加工過程傳輸現(xiàn)象)()(),(yYxXyxT 分離變量：222211dyYdYdxXdX 左邊為x的函數(shù)，與y無關(guān)；右邊為y的函數(shù)，與x無關(guān)，故兩者相等必為常數(shù)(設(shè)為2)：0222XdxXd0222YdyYd2稱為分離常數(shù)，也稱微分方程的本征值。以上兩式均為常系數(shù)齊次線性方程。令：axeX byeY 7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象代入以上兩式中： iaaXdxXd 0022222 bbYdyYd0022222通解為：xixieCeCX21yyeCeCY43)sin()cos

9、(sincos21xCxCXxixexi又可以利用恒等式：7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象0 0)sin()cos( , 00121CxCxCXYTx，則時，,.)2 , 1 , 0( , 0)sin( 0)sin()sin()cos( , 0221nLnxLCLCLCXYTLxn其中即，則時，LxnCxXsin)( 20sin)( nnLxnCxX二維導熱方程的通解為，)(sin()cos(),(4321yyeCeCxCxCyxT下面利用邊界條件求上式中的常數(shù)，（1）（2），Xn可進一步寫成通式分離變量值均滿足齊次方程任一,7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象yLnyyyeCeCYCeCeCYT

10、y)/(44343, 00, 0則，則時， 0)/(sinnyLnnLxneAXYT 故故乘乘積積解解0000)/(sin sin0nnnyLnnLxnATTLxneATy，則，時，)()(sin)(sin)()(sin100100LxdLxnALxmLxdLxmTnn 為為偶偶數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)左左邊邊nnnTnnTnnT, 0,2cos1cos0cos000 兩邊同乘Lxmsin并積分(x/L=01)，這里m為n一個特定的積分值，（3）（4）材料加工過程傳輸現(xiàn)象0)(2)sin()(2)sin()sin()sin()()sin()sin(,/101010nmtnmnmtnmdttntmLxd

11、LxnLxmtLx，mn則令根據(jù)積分表時右邊當,.)5 , 3 , 1(,4,2200 nnTAAnTnn 2222sin2)()(sin)(10102nnnnnAAnxnAxALxdLxnA，mn，右邊各項積分和即時當本征值相同右邊材料加工過程傳輸現(xiàn)象,.)5 , 3 , 1(sin41)/(0nLxnenTTnyLn最終解為：最終解為：由于幾何形狀和邊界條件的復雜性，求解和計算很復雜，甚至得由于幾何形狀和邊界條件的復雜性，求解和計算很復雜，甚至得不到解，數(shù)值解法不到解，數(shù)值解法(有限差分等有限差分等)是有效途徑。是有效途徑。練習：請推導具有如下非齊次邊界條件的二維穩(wěn)定導熱的溫度分布： （1

12、）x=0, T=T1; (2) x=L, T=T1; (3) y=, T=T1; (4) y=0, T=f(x);材料加工過程傳輸現(xiàn)象7.4 7.4 非穩(wěn)態(tài)導熱非穩(wěn)態(tài)導熱單一方向的導熱與時間有關(guān)，即非穩(wěn)態(tài)導熱或瞬態(tài)導熱。單一方向的導熱與時間有關(guān)，即非穩(wěn)態(tài)導熱或瞬態(tài)導熱。非穩(wěn)態(tài)導熱特點：(1)物體內(nèi)溫度的變化，存在部分物體不參與變化和整個物體參與變化的兩個階段；(2)不同位置達到指定溫度的時間不同；(3)傳熱過程中，開始時傳遞的熱量較大，隨溫度的變化而逐漸減小。材料加工中的非穩(wěn)態(tài)導熱例子：金屬加熱熱處理(固溶、時效等)鑄件凝固求解非穩(wěn)態(tài)導熱的目的：(1)溫度及熱流量隨時間變化的規(guī)律；(2)達到預

13、定溫度所需要的時間；(3)經(jīng)歷一定時間后物體所能達到的溫度。7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象常物性一維非穩(wěn)態(tài)導熱的微分方程：常物性一維非穩(wěn)態(tài)導熱的微分方程：22xTtT LLfTT 令令過過余余溫溫度度22xt 則則（Tf-周圍介質(zhì)溫度）周圍介質(zhì)溫度）A.無限大平板冷卻過程無限大平板冷卻過程(x方向有限，方向有限，y,z方向無限大方向無限大)：初始條件：初始條件：ifiTTxt)0 ,(0時，7 導熱分析t=0, T=Ti材料加工過程傳輸現(xiàn)象LL0),(),( , 0), 0(0tLkhxtLxt：t時，邊界條件(1) 根據(jù)平板內(nèi)溫度分布對稱性,x=0時，（2）固體表面：傳導熱量=平板表面的對

14、流換熱，0), 0(xt邊界條件：),(),(tLhxtLk， 即0),(),(tLkhxtL7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象分離變量：分離變量：)()(),(tGxXtx 22211dtdGGdxXdX得常微分方程：得常微分方程：002222XdxXdGdtdG22xt求解求解xCxCX sincos21 )exp(23tCG 02GdtdG0222XdxXd7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象0)cos()sin( )()()(), 0(0210 xxxCxCtGxtGxXxt（1）根據(jù)邊界條件1（t0時）求C2：02C0), 0(xtxCXcos1以下根據(jù)初始條件和邊界條件確定系數(shù)以下根據(jù)初

15、始條件和邊界條件確定系數(shù):7 導熱分析所以所以,過余溫度的通解過余溫度的通解:)exp(sincos),(2321tCxCxCtx材料加工過程傳輸現(xiàn)象0)()()sin( )(1tGLXkhxCtGLx0cos)sin(11LCkhLCBiLkhLLLhLkhkLctgnnnnn之比。與表面的對流換熱熱阻的導熱熱阻物理意義：為固體內(nèi)部hkL10),()()(tLkhxtGLX0)()()()(tGLXkhxLXtG)()(),(tGxXtx 0),(),(tLkhxtLxCXcos1khLBi 稱為稱為Biot準則準則（2） 根據(jù)邊界條件2求特征值通過求解此方程，可求出無窮多個特征值n?？刹捎?/p>

16、圖解法求解。7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象圖解法求n7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象 12cos)exp(nnnnxtA 考慮所有特征值n，取乘積，通解有：)exp(23tCG xCXcos1)()(),(tGxXtx （3）以下根據(jù)初始條件，求Anixt )0 ,(0時，時， 1cosnnnixA 12cos)exp(nnnnxtA 7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象 LnmnnLmixdxxAxdx010coscoscos 利用正交函數(shù)利用正交函數(shù): :右邊只有右邊只有m=nm=n時，積分不為零：時，積分不為零：cossin212LLLAnnnn Lnnisin左邊LLLLAnnnnin

17、cossinsin2 7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象Lnn 令令12cos)exp(cossinsin2nnnnnnnixtLLLL最終解：最終解：)cos()exp(cossinsin2122 nnnnnnnfifiLxLtTTTT nnnntgBiBiLLctg 把An代回的通解就得到，- n實際上實際上Bi數(shù)的函數(shù)，數(shù)的函數(shù)，7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象表明：平板中某一時刻給定位置的溫度是表明：平板中某一時刻給定位置的溫度是Bi,Fo和和x/L的函數(shù)。的函數(shù)。),(LxFoBifTTTTfifi 22LtLtFo),(2無量綱數(shù)傅里葉準數(shù)定義FoLt熱擾動發(fā)生時刻至所計算時刻的時間

18、熱擾動發(fā)生時刻至所計算時刻的時間/使熱擾動擴散為使熱擾動擴散為L2的面積上所需時間的面積上所需時間則，則，7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象0 Lx7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象7 導熱分析材料加工過程傳輸現(xiàn)象常物性一維非穩(wěn)態(tài)導熱的微分方程：常物性一維非穩(wěn)態(tài)導熱的微分方程：22xTtT sTT 令過余溫度22xt 則則（Ts-表面溫度）表面溫度）B.半無限大平板單面加熱過程半無限大平板單面加熱過程(表面溫度恒定表面溫度恒定)：初始條件：初始條件：00)0 ,(0sTTxt時，7 導熱分析半無限大平板加熱時溫度分布固定單面加熱時溫度分布邊界條件：邊界條件：0), 0(0tx時，0),(Ttx時，

19、材料加工過程傳輸現(xiàn)象同樣同樣,也可利用變量分離法求解：也可利用變量分離法求解：tx2,如果令上式則寫為:7 導熱分析txerftxdeTTTTtxetxssi2222020)(0erfTTTTssi利用Fourier定律可求得x=0處的熱流密度和單位面積上接收的熱量:)/( 1)(2000mWtTTxTqsxxx)/( )(22000mJtTTdtqQstxxt材料加工過程傳輸現(xiàn)象7.5 金屬凝固傳熱金屬凝固傳熱的特點:是一個非穩(wěn)態(tài)過程,即金屬鑄件和鑄型中的溫度場總是隨時間變化的;金屬凝固會放出潛熱,因此, 可把金屬凝固過程分為兩個階段:(a) 放出過熱熱量階段(b) 凝固潛熱放出階段, 即有

20、源過程凝固傳熱體系是由鑄件、鑄件/鑄型中間層和鑄型組成的多層傳熱體系。凝固傳熱分析的目的:計算金屬凝固過程溫度場;估算鑄件凝固層推進速度:凝固潛熱的簡化處理方法特點:等效比熱法：對有結(jié)晶溫度區(qū)間合金而言，可把結(jié)晶潛熱值加入到合金比熱值中，即，等效溫度法：在傳熱計算時人為地把潛熱換算成可提高合金液的溫度數(shù)。結(jié)均效TLcc1結(jié)晶溫度區(qū)間的平均比熱結(jié)晶溫度區(qū)間結(jié)晶潛熱材料加工過程傳輸現(xiàn)象金屬凝固時的熱量傳輸可看成受到以下幾個熱阻層的控制： （1）液態(tài)金屬層熱阻 （RL=L/L) （2）凝固金屬層熱阻 （RS=S/S) （3）間隙熱阻 （Ri=1/h) （4）鑄型熱阻 （RM=M/M)金屬凝固傳熱分類： A. 主要受鑄型熱阻控制的金屬凝固傳熱