數(shù)字信號處理16

1、FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計l用 表示理想的頻率響應(yīng)。l由于 是關(guān)于 的周期為 的周期函數(shù)，可將其寫作傅里葉級數(shù)的形式 其中w2FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計l通常， 為一個分段常量函數(shù)，在帶與帶之間存在突變。l在這種情況下， 是一個無限長、非因果序列。 目的找到一個長度為 的有限序列 在某種程度上，該序列的離散傅里葉變換 可近似為理想的 。FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計常用的近似準(zhǔn)則使積分平方誤差最小其中FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計利用帕塞瓦爾定理，上式寫為可以

2、看出，當(dāng) 時， 最小。 在均方意義下，通過截短獲得理想無限沖擊響應(yīng)的最佳有限近似。FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計一個因果的FIR濾波器，沖擊響應(yīng)為 可以通過延遲 來獲得 該因果濾波器 和 有相同的幅頻響應(yīng)，它的相頻響應(yīng)相對于 有一個大小為 弧度的線性相位平移。FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計理想低通濾波器理想高通濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計理想帶通濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計理想帶阻濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計理想

3、多電平濾波器FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計理想希爾伯特變換 為偶數(shù) 為奇數(shù)FIR濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計濾波器的最小積分平方誤差設(shè)計理想微分器 吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象- 對給定的理想濾波器的沖激響應(yīng)系數(shù)進行截短，得到的因果FIR濾波器的在其各自的幅度響應(yīng)中呈現(xiàn)振蕩現(xiàn)象 吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象l隨著濾波器長度的增加，通帶和阻帶的波紋數(shù)也增加，而波紋的寬度相應(yīng)地減小l最大波紋的高度保持不變，與濾波器的長度無關(guān)l在其他類型理想濾波器的截短形式的幅值響應(yīng)中也能觀察到類似的振蕩現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象l將截短操作看成是加窗過程來解釋產(chǎn)生吉布斯現(xiàn)象的原因l在頻域

4、、 分別是 和 的離散傅里葉變換。吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象l 是將 和 進行周期連續(xù)卷積得到的 吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象l如果 相對于 的變化是一個以 為中心的窄脈沖，那么 將會非常接近 。l窗函數(shù) 的長度 應(yīng)該非常大。l另一方面， 的長度 又應(yīng)該盡可能的小以減小計算復(fù)雜度。 吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象l 用矩形窗進行簡單的截短 其他l 中存在振蕩現(xiàn)象主要有兩個原因：1.理想濾波器 是無限長的且不是絕對可和的，因此濾波器是不穩(wěn)定的。2.矩形窗有一個突然到零的過渡。吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象l研究窗函數(shù)的傅里葉變換 ，很容易對振蕩行為進行解釋。l 有一個以 為中心的主瓣。l其余波紋都稱為旁瓣。吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象l

5、 的主瓣用其寬度 描述，定義為 兩側(cè)的第一個過零點。l隨著 的增大，主瓣寬度將如預(yù)料一樣減小。l隨著 的增大，每個瓣的寬度減小，然而每個瓣下的面積都保持為常數(shù)。l隨著 的增大，在 的不連續(xù)點之間的波紋出現(xiàn)得越來越近，但振幅沒有減小。吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象l矩形窗在 以外有一個突然到零的過渡，導(dǎo)致 出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象。l減弱吉布斯現(xiàn)象： 1）使用兩邊都是逐漸平滑減小到零的窗函數(shù)，或者 2）使用在通帶到阻帶有平滑的過渡帶的窗函數(shù)固定窗函數(shù)固定窗函數(shù)l使用漸變的窗函數(shù)可以使旁瓣的高度減小，但會使主瓣的寬度相應(yīng)地增加，結(jié)果在不連續(xù)點間出現(xiàn)了更寬的過渡帶。lHann窗：l漢明窗（Hamming）:l布萊克曼窗

6、（Blackman）:固定窗函數(shù)固定窗函數(shù)畫出當(dāng) 時各窗函數(shù)傅里葉變換的幅值固定窗函數(shù)固定窗函數(shù)l每個窗的幅度譜由一個中心在 處的大主瓣，和一系列幅度逐漸減小的旁瓣來描述。 l在濾波器設(shè)計中，一個窗函數(shù)的主要性能取決于以下參數(shù)： 1）主瓣寬度 2） 相對旁瓣電平 固定窗函數(shù)固定窗函數(shù)l主瓣寬度 ：是主瓣兩側(cè)最近的兩過零點之間的距離。l相對旁瓣電平 ：是最大旁瓣與主瓣以dB為單位的幅度差。 固定窗函數(shù)固定窗函數(shù)l可看到：l因此：l通帶和阻帶波紋是一樣的。 固定窗函數(shù)固定窗函數(shù)l最大通帶偏移和最小阻帶值位置間的距離近似等于窗的主瓣寬度 。l過渡帶寬 固定窗函數(shù)固定窗函數(shù)l為了保證從通帶快速過渡到阻

7、帶，窗應(yīng)該有一個非常小的主瓣寬度。l為了減小通帶和阻帶波紋 ，旁瓣下的面積也應(yīng)非常小。l這兩個要求是相互矛盾的。固定窗函數(shù)固定窗函數(shù)l在矩形、Hann、漢明、布萊克曼窗中，波紋值與濾波器的長度或截止頻率 無關(guān)，本質(zhì)上是一個常數(shù)。l另外 在大多數(shù)實際應(yīng)用中， 是一個常數(shù)。固定窗函數(shù)固定窗函數(shù)l矩形窗 dB , dB , lHann窗 dB ， dB ， l漢明窗 dB ， dB ，l布萊克曼窗 dB， dB ，固定窗函數(shù)固定窗函數(shù)l濾波器設(shè)計步驟 1）令 2）根據(jù)指定的 來選擇窗函數(shù) 3）用下式估算 濾波器設(shè)計示例濾波器設(shè)計示例l長度為51， 的低通濾波器 濾波器設(shè)計示例濾波器設(shè)計示例l窗函數(shù)的

8、主瓣寬度的增加與過渡帶寬的增加有聯(lián)系。l旁瓣振幅的減小會引起阻帶衰減的增加?？烧{(diào)節(jié)窗函數(shù)可調(diào)節(jié)窗函數(shù)l多爾夫-切比雪夫（Dolph-Chebyshev）窗 其中可調(diào)節(jié)窗函數(shù)可調(diào)節(jié)窗函數(shù)l多爾夫-切比雪夫窗函數(shù)可以用任何指定的相對旁瓣電平來進行設(shè)計，選擇合適的窗長可以調(diào)整它的主瓣寬度。l濾波器的階數(shù)用下面的式子來估計l其中， 是歸一化過渡帶寬。例如，對低通濾波器可調(diào)節(jié)窗函數(shù)可調(diào)節(jié)窗函數(shù)l多爾夫-切比雪夫窗函的增益響應(yīng)，窗的長度為51，相對旁瓣電平為50dB可調(diào)節(jié)窗函數(shù)可調(diào)節(jié)窗函數(shù)多爾夫-切比雪夫窗的性質(zhì)：l所有的旁瓣是等高的。l用這種窗函數(shù)設(shè)計的濾波器的阻帶逼近誤差在本質(zhì)上具有等波紋行為。l對于給定窗長，相對于其他的窗函數(shù)，它具有最小的主瓣寬度，得到具有最小的過渡帶的濾波器?？烧{(diào)節(jié)窗函數(shù)可調(diào)節(jié)窗函數(shù)lKaiser窗：其中， 是可調(diào)參數(shù)， 是修正的零階貝塞爾函數(shù)，可用冪級數(shù)的形式表示l可以看出：對所有 都有l(wèi) 實際中 可調(diào)節(jié)窗函數(shù)可調(diào)節(jié)窗函數(shù)l 控制加窗濾波器響應(yīng)阻帶上的最小衰減。l 由下式估算l濾波器的階數(shù)估計其中， 是歸一化過渡帶寬。可調(diào)節(jié)窗函數(shù)可調(diào)節(jié)窗函數(shù)l給定 ， ， dBl因此l選 ，從而有 。 可調(diào)節(jié)窗函數(shù)可調(diào)節(jié)窗函數(shù)l因此 其中， 是長度為25， 的 Kai