變分原理與變分法

1、第一章 變分原理與變分法1.1 關(guān)于變分原理與變分法（物質(zhì)世界存在的基本守恒法則）一、 大自然總是以可能最好的方式安排一切，似乎存在著各種安排原理：晝/夜，日/月，陰/陽，靜止/運(yùn)動(dòng) 等矛盾/統(tǒng)一的協(xié)調(diào)體； 對(duì)靜止事物：平衡體的最小能量原理，對(duì)稱/相似原理；對(duì)運(yùn)動(dòng)事物：能量守恒，動(dòng)量（矩）守恒，熵增原理等。變分原理是自然界靜止(相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài))事物中的一個(gè)普遍適應(yīng)的數(shù)學(xué)定律，獲稱最小作用原理。 Examples: 光線最短路徑傳播； 光線入射角等于反射角，光線在反射中也是光傳播最短路徑（Heron）； 光線折射遵循時(shí)間最短的途徑（Fermat）；BAv1aav2CESummary: 實(shí)際上光的傳

2、播遵循最小能量原理；在靜力學(xué)中的穩(wěn)定平衡本質(zhì)上是勢(shì)能最小的原理。二、變分法是自然界變分原理的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法（求解約束方程系統(tǒng)極值的數(shù)學(xué)方法），是計(jì)算泛函駐值的數(shù)學(xué)理論l 數(shù)學(xué)上的泛函定義定義：數(shù)學(xué)空間（集合）上的元素（定義域）與一個(gè)實(shí)數(shù)域間（值域）間的（映射）關(guān)系特征描述法： J:Examples: 矩陣范數(shù)：線性算子（矩陣）空間 數(shù)域 A1 = ； 函數(shù)的積分： 函數(shù)空間 數(shù)域 Note: 泛函的自變量是集合中的元素（定義域）；值域是實(shí)數(shù)域。Discussion： 判定下列那些是泛函：； ； 3x+5y=2； E、Jconsts 試舉另一泛函例子。q(x)xl 物理問題中的泛函舉例x = 0,

3、 固支；x = l, 自由 彈性地基梁的系統(tǒng)勢(shì)能i. 梁的彎曲應(yīng)變能： ii. 彈性地基貯存的能量： iii. 外力位能： iv. 系統(tǒng)總的勢(shì)能： 泛函的提法：有一種梁的撓度函數(shù)（與載荷無關(guān)），就會(huì)有一個(gè)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)勢(shì)能。泛函駐值提法：在滿足位移邊界條件的所有撓度函數(shù)中，找一個(gè)w(x),使系統(tǒng)勢(shì)能泛函取最小值。 最速降線問題 問題：已知空間兩點(diǎn)A和B,A高于B，要求在兩點(diǎn)間連接一條曲線，使得有重物從A沿此曲線自由下滑時(shí)，從A到B所需時(shí)間最短（忽略摩擦力）。作法：i. 通過A和B作一垂直于水平面的平面，取坐標(biāo)系如圖。B點(diǎn)坐標(biāo)(a, b),設(shè)曲線為y = y(x),并已知：x = 0,y = 0；x

4、 = a,y = b ii. 建立泛函： 設(shè)P(x , y)是曲線上的點(diǎn)，P點(diǎn)的速度由能量守恒定律求得： 命ds為曲線弧長的微分，有：xAy 重物從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)的總時(shí)間：pyB T= 泛函駐值提法：在0xa的區(qū)間內(nèi)找一個(gè)函數(shù)y(x)使其滿足端點(diǎn)幾何條件并使T取最小值。 圓周問題 問題：在長度一定的閉曲線中，什么曲線所圍成的面積最大。 作法： i. 假設(shè)所考慮的曲線用參數(shù)形式表示： x = x(s), y = y(s) s為參數(shù)。取s1為曲線上的某一定點(diǎn)，則坐標(biāo)表示x1=x(s1),y1=y(s1),因曲線是封閉的，必存在一個(gè)s2點(diǎn)使x2 = x(s2),y2 = y(s2)與點(diǎn)s1(x1,y1

5、)重合。 ii. 該封閉曲線的周長： L = 該曲線所圍成的面積：R = iii. 轉(zhuǎn)換R的表達(dá)式 由Green公式： 取P =-,Q =, 則： 泛函駐值的提法：等周問題即是在滿足端點(diǎn)條件x(s1) = x(s2), y(s1) = y(s2) 及周長一定 條件下，尋找一個(gè)曲線函數(shù)使泛函R取駐值。 Discussion 懸索線問題：已知空間中A，B兩點(diǎn)及一條長度L>的懸索，單位長的質(zhì)量為m。假設(shè)繩索的長度是不變的，并忽略繩索的彎曲剛度，把此繩索的兩端掛在A，B兩點(diǎn)，求在平衡狀態(tài)下繩索的形狀。 要求：列出懸索線應(yīng)滿足的泛函式及泛函駐值提法。 提示：繩索在平衡狀態(tài)下，其勢(shì)能應(yīng)為最小值。1.

6、2 變分法（泛函駐值的計(jì)算方法）l 關(guān)于計(jì)算固體力學(xué)中的泛函、泛函極值的提法 這里所研究的泛函一般用積分顯式表達(dá)，并不等于所有泛函都能用顯式積分表達(dá)。 所要研究的泛函都可表示成在一定區(qū)間或一定區(qū)域內(nèi)的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)數(shù)）的積分形式，即： a. b. c. 泛函中的可變化函數(shù)稱為自變函數(shù)，或稱宗量（argument），x或y僅是積分變量，是被積函數(shù)的定義域。（被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)概念的推廣） 要說清楚一個(gè)泛函的極值問題，應(yīng)注意： a. 應(yīng)把泛函本身講清楚（即寫出它的形式）； b. 還必須講明白自變函數(shù)的性質(zhì)，如： - 獨(dú)立的自變函數(shù)的個(gè)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)并不獨(dú)立）； - 每個(gè)自變函數(shù)定義的區(qū)間/區(qū)域；

7、 - 這些自變函數(shù)應(yīng)滿足的條件（如：邊界條件及其受約束的條件等）。 c. 除了個(gè)別特殊情況外，一般情況下增加一個(gè)條件會(huì)使泛函極值及相應(yīng)的自變函數(shù)變化性質(zhì)發(fā)生變化。如：極小值可能變大；極大值可能變??；非極值的駐值可能成為極值。l 若干背景知識(shí) 泛函的駐值問題可以轉(zhuǎn)化為等價(jià)的微分方程問題，變分法的理論計(jì)算就是完成這類工作。本章內(nèi)容沿襲此方法，是要把問題的理論基礎(chǔ)講明確。 從近似解的角度出發(fā)，直接求解泛函的駐值，比解微分方程更加方便，也更為實(shí)用。特別計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，帶來了大規(guī)模數(shù)值計(jì)算的可能性（有限元的思想基礎(chǔ)）。 經(jīng)Euler,Lagrange,Dirichlet,Hilbert,Bernoul

8、li等數(shù)學(xué)先驅(qū)的卓越工作，完成了的系統(tǒng)方法。 但把微分方程問題轉(zhuǎn)換為泛函問題還很不成熟。在物理、力學(xué)中，即先猜想一個(gè)泛函的駐值問題，再校對(duì)是否與原微分方程問題等價(jià)。 泛函駐值的計(jì)算（數(shù)值）先驅(qū)工作中以Ritz,Galerkin,Treft著名。l 關(guān)于變分法的一個(gè)預(yù)備定理 若f(x)在a,b上連續(xù)，若對(duì)任意滿足 j(a)= j(b)=0 的連續(xù)函數(shù)j(x),都有： 則 f(x)在a,b上處處為零。反證法：設(shè)x0為a,b中的點(diǎn)，在x0點(diǎn)f(x0)0，可取f(x0)>0, f(x)在區(qū)間上連續(xù)，必存在x0的一個(gè)充分小鄰域上f(x)>0, x0-e<x<x0+e 又 j(x)

9、為任意連續(xù)函數(shù)（滿足邊界條件），可取j(x)也在該鄰域內(nèi)大于零，而在該鄰域外恒等于零。所以有 矛盾！即必須為零；同理可證小于零情況。該定理可推廣多元變量的函數(shù)問題。1.2.1 定積分的駐值（變分）問題目的：通過簡(jiǎn)單泛函的極值分析，獲得建立變分法的基本概念、 計(jì)算步驟（把變分解轉(zhuǎn)化成微分方程）問題：在自變量x的區(qū)間 a，b 內(nèi)決定一個(gè)函數(shù)y(x)，使它滿足邊界條件： ， 并使泛函： 取極值。 計(jì)算方法1：先用變分觀點(diǎn)解釋G.H曲線的增量 y H D B C A G ab xx dx l 設(shè)想已取得了一條曲線GACH方程為：y= y (x)l 在GACH附近另取一條曲線GBDH，令該曲線無限接近G

10、ACH，其方程為： l 是一個(gè)無窮小量，稱為自變函數(shù)的變分（若x不變，即為曲線縱坐標(biāo)的增量）（注意與函數(shù)微分的區(qū)別，這里函數(shù)的變分仍然是一個(gè)函數(shù)）l 相應(yīng)兩條曲線，獲得兩個(gè)泛函值：l 基本引理： 證： 推廣： 另一條認(rèn)識(shí)的思路：DHyx： BCA： G： ba： dx 因?yàn)槭堑倪B續(xù)可導(dǎo)函數(shù)（工程上一般如此），故很小時(shí)，也很小，即 取等式兩端的一階無窮小量，即： （可以從Tailor 展開式去理解）l 稱為泛函V的一階變分，簡(jiǎn)稱變分，即泛函的一階變分是泛函增量中的一階小量部分（把自變函數(shù)的變分作為一階小量）所以，變分的運(yùn)算服從無窮小量的運(yùn)算規(guī)則。計(jì)算方法2：（把求泛函的極值轉(zhuǎn)化成求普通函數(shù)的極值

11、）記： (固定)當(dāng)在y0上取極值，則相應(yīng)于的泛函值 現(xiàn)在成為普通的函數(shù)極值條件： （先不管該條件，現(xiàn)僅研究其導(dǎo)數(shù)計(jì)算） l 上兩式中出現(xiàn)，和并不能獨(dú)立變化，可設(shè)法把項(xiàng)轉(zhuǎn)換成只與有關(guān)的項(xiàng)。l 取分步積分： ?。?代入一階變分式：要選定的函數(shù)滿足邊界條件，所以： ，計(jì)算l 若方括號(hào)內(nèi)的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不為0，則可任選使大于零或小于零，即使V不能獲得極值，故需方括號(hào)的項(xiàng)為零。即： （Euler方程）此即與泛函駐值等價(jià)的微分方程?；颍毫钣勺兎只径ɡ恚喝我膺B續(xù)函數(shù)，方括號(hào)中函數(shù)連續(xù)。Example 最速降線問題： （注不顯含x）代入Euler方程，并乘以函數(shù)Q可得：由于(F中不顯含x)，上式中只要令,把上式配成全微分形式： 這是因?yàn)椋?() （代回原Euler方程，即得全微分）由全微分方程